何 啟，戴 波(1.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，南京 210098；2.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098)

1 研究背景

近些年建成或在建的大壩規(guī)模越來越大，如二灘、向家壩、錦屏一級、溪洛渡等[1]。因此，建立大壩安全自動化監(jiān)測系統(tǒng)，分析變形規(guī)律及時進(jìn)行預(yù)報至關(guān)重要。許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究：楊杰等[2]利用誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ǖ腂P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對大壩位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及預(yù)報研究；何鮮峰等[3]對實(shí)測數(shù)據(jù)與確定性分量預(yù)測結(jié)果的殘差序列進(jìn)行分析，把混沌分量預(yù)報模型和分形預(yù)測模型疊加構(gòu)成混合預(yù)測模型；閆濱等[4]把單純形法嵌入遺傳算法并與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有機(jī)結(jié)合，構(gòu)成遺傳單純形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法模型；何政翔等[5]把模糊聚類和多元逐步回歸法進(jìn)行結(jié)合對大壩變形資料進(jìn)行分析并作出預(yù)報；此外還有多尺度小波分析的自回歸預(yù)測[6]，小波消噪與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]結(jié)合等預(yù)測方法。

大壩監(jiān)測系統(tǒng)既含已知信息，又有確定、未確定的信息，因此可以把大壩看成一個灰色系統(tǒng)?；疑碚撚糜陬A(yù)測的模型主要是GM(1,1)，它可對時間短、數(shù)量少、波動性不大的數(shù)據(jù)序列建模，預(yù)測效果良好。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在較大量訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上才可以準(zhǔn)確地反映非線性函數(shù)的映射關(guān)系，這在大壩蓄水初期是較難實(shí)現(xiàn)的。而馬爾可夫鏈預(yù)測理論是通過狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來推測系統(tǒng)未來發(fā)展變化的，適用于數(shù)據(jù)隨機(jī)波動性較大的情況[8]。本文結(jié)合3者的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)建灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測模型，首先利用灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對少量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，揭示大壩水平位移的整體變化趨勢，然后將其相對誤差作為隨機(jī)波動數(shù)據(jù)序列，利用加權(quán)馬爾可夫鏈確定相對誤差的轉(zhuǎn)移概率來修正模型預(yù)測值，提高預(yù)測精度[9]。

2 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測模型的構(gòu)建

由于原始數(shù)據(jù)數(shù)量的有限性，數(shù)據(jù)本身的波動性和無序性，欲將灰色模型預(yù)測精度控制在一定范圍內(nèi)比較困難。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量數(shù)據(jù)才能取得良好的預(yù)測效果，故引入灰色理論構(gòu)建灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可減少對樣本數(shù)量的依賴。雖然灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測中優(yōu)于傳統(tǒng)GM模型，但一些預(yù)測值的相對誤差較大，難以滿足預(yù)測要求[10]，而馬氏鏈適用于數(shù)據(jù)波動性較大的預(yù)測問題。

2.1 GM(1，1)模型

記原始序列X(0)={x(0)(k1),x(0)(k2),…,x(0)(kn)}，x(0)≥0,k=1,2,3,…,n，X(1)為X(0)對原始數(shù)據(jù)作一次累加：

(1)

GM(1，1)模型為：

(3)

k=1,2,…,n

(4)

GM(1，1)模型預(yù)測值與實(shí)際值的相對誤差為：

(5)

式(5)反應(yīng)的是擬合值與原始值的偏離程度。

2.2 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

n個參數(shù)的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的微分方程表達(dá)式為：

(6)

式中：y2,…,yn為系統(tǒng)輸入?yún)?shù)；y1為系統(tǒng)輸出參數(shù)；a,b1,b2,…,bn-1為微分方程系數(shù)。

式(9)的時間響應(yīng)式為：

(7)

令：

式(10)可以作如下轉(zhuǎn)化：

(8)

將轉(zhuǎn)化后的公式用擴(kuò)展的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行映射得到n個輸入值、1個輸出值。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如下圖1所示。

圖1 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Grey neural network topology

圖1中，t為輸入?yún)?shù)序號；y2(t),…,yn(t)為網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)?shù)；ω21,ω22,…,ω2n，ω31,ω32,…,ω3n為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值；y1為網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值。

2.3 加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的基本步驟

根據(jù)實(shí)測資料建立訓(xùn)練樣本，利用灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可擬合出一條非線性函數(shù)曲線，確定大壩變形的趨勢，然后利用馬爾可夫鏈的“無后效”性分析相對誤差的波動規(guī)律，修正預(yù)測值。對幾種傳統(tǒng)馬爾可夫鏈預(yù)測方法的對比研究表明:加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測理論在數(shù)據(jù)序列隨機(jī)波動性較大的預(yù)測中精度最高[11]。

根據(jù)馬爾可夫鏈理論，首先計算灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型ε(k)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，然后對同一狀態(tài)下的概率進(jìn)行加權(quán)求和，其最大值對應(yīng)的狀態(tài)即為加權(quán)馬爾可夫鏈的預(yù)測狀態(tài)，并依此對灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)果進(jìn)行修正[12]。具體步驟如下。

(2)按(1)所建立的分級標(biāo)準(zhǔn)，確定各擬合值相對誤差所對應(yīng)的狀態(tài)。

(3)“馬氏性”檢驗(yàn)。通常用χ2統(tǒng)計量來檢驗(yàn)隨機(jī)離散序列的馬氏鏈。設(shè)所討論的序列包含m個可能的狀態(tài)，(fij)ij∈E代表狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，將(fij)ij∈E的各列之和除以各行各列的總和得到“邊際概率”，記為：

(9)

(4)計算各階自相關(guān)系數(shù)。即:

(10)

式中：rk為第k階自相關(guān)系數(shù)；xl為第l時段的相對誤差；n表示相對誤差序列長度。

對各階相關(guān)系數(shù)規(guī)范化：

(11)

作為各種步長的馬爾可夫鏈的權(quán)重。

p(K)=(p(K)ij)ij∈E

(12)

(6)以離預(yù)測值最近的K個相對誤差值為初始狀態(tài)，根據(jù)其相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測該時段相對誤差的狀態(tài)概率p(K)i,i∈E,K為步長，K=1,2,…,m。

(7)確定預(yù)測狀態(tài)。對同一狀態(tài)的各預(yù)測概率進(jìn)行加權(quán)求和，得到相對誤差的轉(zhuǎn)移概率為：

(13)

max{pi,i∈E}所對應(yīng)的狀態(tài)為該時段相對誤差的預(yù)測狀態(tài)。

(8)利用狀態(tài)特征值結(jié)合線性插值的方法對預(yù)測值進(jìn)行推斷[13]， 先計算狀態(tài)特征值：

(14)

(15)

也可用上限法：

x)

(17)

(9)對后續(xù)時間預(yù)測，將前一時間預(yù)測值加入原序列中重新構(gòu)置馬爾可夫鏈，重復(fù)步驟(1)～(8)可進(jìn)行預(yù)測。

3 實(shí)例分析

某水電站大壩為碾壓混凝土重力壩，位于福建省境內(nèi)，該工程除發(fā)電外，在防洪、航運(yùn)、水產(chǎn)養(yǎng)殖等方面也發(fā)揮著效益。水電站建成后，是閩西南最大水電站，也是省網(wǎng)主要電源之一，可以擔(dān)任省網(wǎng)調(diào)峰、調(diào)頻任務(wù)，同時對增加網(wǎng)內(nèi)有調(diào)節(jié)能力的水電比重發(fā)揮作用，改善了省網(wǎng)電源北重南輕布局。

3.1 預(yù)測因子的選擇與處理

為加快學(xué)習(xí)的速度，可對訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)按如下公式進(jìn)行歸一化處理：

X′=0.1+0.8 (X-Xmin)/(Xmax-Xmin)

(18)

式中：Xmax、Xmin分別表示每組樣本數(shù)據(jù)的最大、最小值。

3.2 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大壩變形預(yù)測結(jié)果

根據(jù)4號壩段PL7正垂線 方向(上下游方向?yàn)檎?位移監(jiān)測資料建立灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。選取蓄水初期2003年11月14日至2003年12月20日的實(shí)測數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本用于擬合計算，共37組，取12月20-26日6組數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本，評價模型的預(yù)測性能。

根據(jù)原數(shù)據(jù)序列建立灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并運(yùn)用Matlab程序訓(xùn)練、預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表1所示。

表1 水平位移預(yù)測結(jié)果與實(shí)測值的相對誤差Tab.1 Prediction of horizontal displacement and the relative error of the measured value

從表1中可以看出，灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)適應(yīng)于小樣本預(yù)測，但某些相對誤差相對較大，因此可用加權(quán)馬爾科夫鏈理論對結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步修正。

3.3 加權(quán)馬爾可夫鏈擬合及預(yù)測結(jié)果

(2)根據(jù)狀態(tài)區(qū)間確定各擬合值相對誤差對應(yīng)的狀態(tài)如表2中“5”縱欄所示。

表2 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果、相對誤差及狀態(tài)Tab.2 Grey neural network predicting, relative residuals and states

(3)不妨直接對37組相對誤差作馬氏性檢驗(yàn)，根據(jù)步驟(5)和表2的資料可計算進(jìn)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

(4)根據(jù)步驟(4)計算各階自相關(guān)系數(shù)，如表3所示。

(5)根據(jù)步驟(5)計算相對誤差的K步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣p(K)：

表3 各階自相關(guān)系數(shù)和各種步長的馬爾可夫鏈權(quán)重Tab.3 The weights of Markov chain of various steps and various auto-relative coefficients

同理，將計算出的預(yù)測值加入原序列中重新構(gòu)置馬爾可夫鏈，重復(fù)過程 (1)-(7)計算得2003年12月22日-2003年12月26日的預(yù)測值，相對誤差范圍為0.055%～1.625%，精度較高。本文又采用GM(1,1)模型進(jìn)行對比預(yù)測，結(jié)果見表5和圖2。

表4 2003-12-21水平位移狀態(tài)預(yù)測Tab.4 Prediction of horizontal displacement state on 2003-12-21

表5 不同模型預(yù)測結(jié)果比較Tab.5 Comparison of the results of different prediction model

圖2 不同模型預(yù)測結(jié)果比較Fig.2 Comparison of the results of different prediction model

通過對比3種方法的預(yù)測結(jié)果，可知灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-加權(quán)馬爾可夫鏈模型的預(yù)測誤差顯著降低，實(shí)測值與預(yù)報值更為接近，預(yù)測精度優(yōu)于其他兩種模型，為小樣本、波動性大的數(shù)據(jù)預(yù)測提供了新的方法參考。

4 結(jié) 語

本文針對蓄水初期階段大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)有限且波動性大的特點(diǎn)，結(jié)合灰色理論適應(yīng)于小樣本、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高效準(zhǔn)確擬合非線性函數(shù)、馬爾可夫鏈適應(yīng)于波動性比較大數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)，建立了灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-加權(quán)馬爾可夫鏈模型。通過某碾壓混凝土壩4號壩段蓄水初期水平位移監(jiān)測資料進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果表明該模型對小樣本、數(shù)據(jù)序列波動大進(jìn)行預(yù)測精度較高。由本文還可得到如下結(jié)論。

(1)灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-加權(quán)馬爾可夫鏈模型不僅可對大壩變形進(jìn)行短期高精度預(yù)報，隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的增加也可為中長期預(yù)報提供理論方法。

(2)在完成一步預(yù)測后，將預(yù)測信息重新加入原模型進(jìn)行下一步預(yù)測，可對資料數(shù)據(jù)進(jìn)行動態(tài)更新，跟蹤大壩變形的發(fā)展變化趨勢，也提高了預(yù)測精度。

□

[1] 吳中如.水工建筑物安全監(jiān)控理論及其應(yīng)用[M].南京:河海大學(xué)出版社,1990.

[2] 楊 杰,吳中如,顧沖時，等.大壩變形監(jiān)測的BP網(wǎng)絡(luò)模型與預(yù)報研究[J].西安理工大學(xué)學(xué)報,2001,17(1):25-29.

[3] 何鮮峰,顧沖時,谷艷昌，等.分形-混沌混合預(yù)測模型在大壩安全監(jiān)測中的應(yīng)用[J].武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2008,41(1):45-49.

[4] 閏 濱,周 晶.基于遺傳單純形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大壩變形監(jiān)控模型[J].水力發(fā)電學(xué)報,2007,26(4):110-114.

[5] 何政翔,張慧莉.模糊聚類方法應(yīng)用于大壩變形監(jiān)測資料分析[J].水力發(fā)電,2013,(11):59-61.

[6] 徐 偉,何金平.基于多尺度小波分析的大壩變形自回歸預(yù)測模型[J].武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2012,45(3):286-289.

[7] 黃世秀,洪天求,高 飛，等.基于小波消噪及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大壩變形分析[J].人民長江,2011,42(9):90-93.

[8] 杜 川,梁秀娟,王中凱，等.改進(jìn)灰色-馬爾科夫模型在年降水量預(yù)測中的應(yīng)用研究[J].節(jié)水灌溉,2014,(6):32-36.

[9] 楊皓翔,梁 川.基于加權(quán)灰色一馬爾可夫鏈模型的城市需水預(yù)測[J].長江科學(xué)院院報,2015,32(7):15-21.

[10] 薛鵬松,馮民權(quán),邢肖鵬.基于馬爾科夫鏈改進(jìn)灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的水質(zhì)預(yù)測模型[J].武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2012,45(3) 319-324.

[11] 夏樂天,朱元牲.馬爾可夫鏈預(yù)測方法的統(tǒng)計試驗(yàn)研究[J].水利學(xué)報,2007,10(增):372-378.

[12] 趙 玲,許宏科.基于灰色加權(quán)馬爾可夫SCGM(1,1)的交通事故預(yù)測[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2012,48(31):11-15.

[13] 夏樂天.馬爾可夫鏈預(yù)測方法及其在水文序列中的應(yīng)用研究[D].南京：河海大學(xué),2005.

[14] 顧沖時,吳中如.碾壓混凝土壩安全診斷與預(yù)警的理論和方法[M].南京:河海大學(xué)出版社，2012.