胡 瑤，郭生練，劉章君，尹家波

(武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點實驗室，武漢 430072)

水文事件的頻率分析常用于推求給定設(shè)計頻率或重現(xiàn)期的洪水設(shè)計值，為水利工程規(guī)劃、設(shè)計管理決策提供重要依據(jù)[1,2]。水文頻率計算過程涉及兩個關(guān)鍵問題：線型選擇和參數(shù)估計。我國結(jié)合許多長期洪水系列分析結(jié)果和多年設(shè)計工作的實際經(jīng)驗，一直采用P-Ⅲ型曲線，并已寫入規(guī)范[3]。但洪水過程的形成受多種復(fù)雜因素影響，各地水文特性不同，因而統(tǒng)一采用同一線型并不能適用于不同地區(qū)的水文特性的原則[4]。李松仕[5]認為:全國采用單一統(tǒng)一頻率分布線型,不能完美地描述我國各地資料出現(xiàn)的各種情況。因此，選擇何種水文頻率線型，仍是頻率分析中尚需研究的問題。目前，美國主要采用對數(shù)P-Ⅲ(LP3)分布[6]，英國1975年編寫的《洪水研究報告》推薦采用廣義極值(GEV)分布[7]，該分布在歐洲和非洲大陸得到了廣泛的應(yīng)用。

參數(shù)估計方法是洪水頻率分析計算的另一重要內(nèi)容。常見的參數(shù)估計方法有矩法、極大似然法、適線法、權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩和線性矩法。1979年，Greenwood[8]等提出了概率權(quán)重矩，用于存在顯式反函數(shù)分布的參數(shù)估計，如Gumbel分布、GEV分布和Wakeby分布等，宋德敦和丁晶[9]把該法應(yīng)用于近似估計P-Ⅲ分布參數(shù)；1984年，馬秀峰[10]通過引入一個權(quán)函數(shù)，提出了估計P-Ⅲ型分布參數(shù)的權(quán)函數(shù)法，指出權(quán)函數(shù)法可減小矩差，提高P-Ⅲ型曲線偏態(tài)系數(shù)的估計精度；1990年，金光炎[11]論述了水文頻率計算中通用的目估適線法和優(yōu)化適線法，指出了適線法與分析人員的水平和經(jīng)驗有關(guān)，主觀性很強；1990年，Hosking定義了線性矩法[12]。它是在常規(guī)矩的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的用來估計洪水頻率曲線參數(shù)值的一種新方法。線性矩是概率權(quán)重矩的線性組合，對極大值、極小值沒有那么敏感，估計偏差小而且更穩(wěn)健[13,14]。

許多學(xué)者在線型分布和參數(shù)估計方法比較研究方面取得了大量的成果。戴榮等[15]應(yīng)用貝葉斯理論和貝葉斯因子法比較了P-Ⅲ和LP3分布對黃河某站洪水資料擬合情況, 結(jié)果表明：P-Ⅲ稍優(yōu)于LP3分布；葉長青[16]等以3種分布選擇準則對P-Ⅲ、LP3等8種典型頻率分布進行擬合優(yōu)選，結(jié)果表明：適合100% 實測流量與50%高水實測流量的最優(yōu)分布基本一致但存在差別，適合50%高水流量的分布與大洪水點據(jù)擬合得更好。劉潔等[17]應(yīng)用線性矩法估計參數(shù)，比較分析了P-Ⅲ、LP3、廣義邏輯(GL)分布在兩個流域洪水頻率分析計算情況，結(jié)果表明對于小概率事件，LP3和GL分布的設(shè)計洪水值要大于P-Ⅲ曲線分布計算的值，而P-Ⅲ分布的誤差整體小于LP3分布。周芬等[18]采用理想樣本還原準則，對矩法、概率權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法、混合權(quán)函數(shù)法和線性矩法等六種估參方法進行了比較研究，最后得出線性矩法的穩(wěn)健性要明顯優(yōu)于其他方法；楊紹瓊[19]探討了極大似然法、權(quán)函數(shù)法、單權(quán)函數(shù)法、雙權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩法和適線法等幾種參數(shù)估計方法的應(yīng)用，結(jié)果表明：矩法所得的統(tǒng)計參數(shù)和設(shè)計值明顯偏小，估計結(jié)果只可作為初值；概率權(quán)重矩所得的統(tǒng)計參數(shù)表現(xiàn)出較好的不偏性和有效性，參數(shù)估計效果優(yōu)于矩法。

為尋求最佳的概率模型來擬合樣本分布，以使估計的樣本參數(shù)最能反映總體的內(nèi)在分布特性，使計算的結(jié)果更加合理可靠，本文選取了不同的分布函數(shù)和參數(shù)估計方法構(gòu)建了P-Ⅲ型分布和經(jīng)驗適線法(P-Ⅲ/CF)、P-Ⅲ型分布和線性矩法(P-Ⅲ/LM)、GEV分布和線性矩法(GEV/LM)、對數(shù)P-Ⅲ型分布和常規(guī)矩法(LP3/MM)組合模型，應(yīng)用這4個洪水頻率分析模型估計設(shè)計洪水，并比較不同模型的計算結(jié)果。

1 洪水頻率分析模型簡介

1.1 P-Ⅲ/CF模型

中國《水利水電工程設(shè)計洪水計算規(guī)范》[3]推薦采用P-Ⅲ型分布和經(jīng)驗適線，簡記為P-Ⅲ/CF洪水頻率分析模型。P-Ⅲ分布函數(shù)的概率密度函數(shù)為：

(1)

式中：α、β和μ分別為P-Ⅲ分布函數(shù)的形狀、尺度和位置參數(shù)。

(2)

若樣本系列為不連序的洪水系列X，其最大調(diào)查期為N，調(diào)查的歷史洪水個數(shù)為a，實測系列的年數(shù)為n，實測系列中含特大洪水個數(shù)為l。本文采用統(tǒng)一樣本法計算，計算公式如下。

N年中前a個洪水的經(jīng)驗頻率為：

(3)

實測系列中除特大值外的n-l個洪水的經(jīng)驗頻率為：

(4)

1.2 P-Ⅲ/LM模型

采用P-Ⅲ型分布，用線性矩法估計參數(shù)，建立P-Ⅲ/LM洪水頻率分析模型。若不連序的洪水系列X服從P-Ⅲ型分布，令由小到大排列樣本為{xm,m=1,2,…,n0} (n0=n-l+a)，則線性矩λ1，λ2，τ3對應(yīng)的樣本矩l1,l2,l3的計算公式如下：

l1=b0l2=2b1-b0

l3=6b2-6b1+b0τ3=l3/l2

(5)

含歷史洪水的不連續(xù)系列的前三階概率權(quán)重矩公式如下：

(8)

當(dāng)已知λ1，λ2，τ3，則Ex，Cv，Cs的計算公式如下。

當(dāng)|τ3|<1/3時，則：

Z=3 πτ23

(9)

當(dāng)1/3<|τ3|<1時，則：

Z=1-|τ3|

(10)

Ex=λ1Cv=λ2π1/2α1/2Γ(α)/Γ(α+1/2)

Cs=2α-1/2Sign(τ3)

(11)

P-Ⅲ分布參數(shù)與線性矩法的關(guān)系及具體演算過程見文獻[20]。

1.3 GEV/LM模型

采用GEV分布，用線性矩法估計參數(shù)，建立GEV/LM洪水頻率分析模型。

GEV分布函數(shù)為：

(12)

式中：μ，α和k分別為GEV分布函數(shù)的位置、尺度和形狀參數(shù)，其中α>0。

GEV分布函數(shù)的不連序系列線性矩λ1，λ2，τ3的計算方法與P-Ⅲ分布一致。

則μ，α，k的計算公式如下：

α=λ2k/[(1-2-k)Γ(1+k)]μ=λ1-α[1-Γ(1+k)]/k

(13)

其中k無顯示表達式，只能用近似方法求解k：

k≈0.785 90c+2.955 4c2[c=2/3(3+τ3)-ln 2/ln 3]

(14)

文獻[21]中推導(dǎo)出Ex，Cv，Cs的計算公式為：

Ex=μ+α[1-Γ(1+k)]/k=λ1

(15)

Cv=α[Γ(1+2k)-Γ2(1+k)]1/2/(|k|Ex)

(16)

Cs=Sign(k) [-Γ(1+3k)+3Γ(1+2k)Γ(1+k)-

2Γ3(1+k)]/[Γ(1+2k)-Γ2(1+k)]3/2

(17)

GEV分布參數(shù)與線性矩法的關(guān)系及具體計算過程見文獻[21]。

1.4 LP3/MM模型

美國規(guī)范推薦采用對數(shù)P-Ⅲ分布，用矩法估計參數(shù)，即LP3/MM洪水頻率分析模型[6]。對數(shù)P-Ⅲ分布是將對應(yīng)超過概率的水文變量的樣本數(shù)據(jù)取以10為底的對數(shù)，其設(shè)計值通過下式計算：

(18)

K值可以通過以下公式估計：

(19)

式中：k=G/6；Kp為頻率因子；G為取對數(shù)后的偏態(tài)系數(shù)。

當(dāng)偏態(tài)系數(shù)G介于1.0和-1.0之間時，K值可以通過以下公式計算獲得：

(20)

式中：Kn為標(biāo)準正態(tài)離差。

(21)

標(biāo)準差S和偏態(tài)系數(shù)G的計算公式為：

(23)

2 實例分析

丹江口水庫是漢江中下游防洪和水資源開發(fā)的關(guān)鍵性水利樞紐工程，也是南水北調(diào)中線工程的水源工程。丹江口水庫流域面積9.52萬km2，約占漢江集水面積的60%，多年平均來水量約363億m3。本次研究采用丹江口水庫的歷史調(diào)查洪水和1929-2014年(共86 a)的實測洪峰系列資料，其中1935年做特大值處理。歷史調(diào)查洪峰系列為1583、1867、1852、1832、1693和1921年，最大調(diào)查考證期為432 a。分別采用P-Ⅲ/CF、P-Ⅲ/LM、GEV/LM、LP3/MM 4個模型，分析比較丹江口水庫設(shè)計洪水的估算結(jié)果。

為比較我國規(guī)范推薦的P-Ⅲ/CF模型估算結(jié)果與其他模型的差別，采用相對偏差(Relative Bias)作為評價指標(biāo)，其計算公式為:

(24)

表1列出了樣本系列統(tǒng)計特征值的估計結(jié)果。表2給出了4種模型估計的設(shè)計洪水與相對偏差。

表1 丹江口水庫4種洪水頻率分析模型的統(tǒng)計特征值估計結(jié)果Tab.1 Estimated statistical characteristic values of four flood frequency analysis models for the Danjiangkou reservoir

表2 丹江口水庫設(shè)計洪水估算成果及偏差對比表Tab.2 Comparison of design flood estimators and deviations for the Danjiangkou reservoir

由表2可知，當(dāng)重現(xiàn)期T=10 000 a時，P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型的洪峰設(shè)計值與P-Ⅲ/CF模型的設(shè)計值的偏差最大，其中GEV/LM模型與P-Ⅲ/CF模型的偏差為12.14%，在3種模型中偏差為最小；當(dāng)重現(xiàn)期T≥10 a時，P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型洪峰設(shè)計值與P-Ⅲ/CF模型的設(shè)計值的偏差隨著重現(xiàn)期的增大而增大；當(dāng)重現(xiàn)期T≥1 000 a時，GEV/LM模型的設(shè)計值與P-Ⅲ/CF模型的偏差最小，而當(dāng)T<1 000 a時，LP3/MM模型的設(shè)計值與P-Ⅲ/CF模型的偏差最小。

圖1是丹江口水庫年最大洪峰流量的4種模型頻率曲線對比圖。由圖1可知， P-Ⅲ/CF模型的設(shè)計值在頻率曲線圖的上下尾端比P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型偏大明顯，而在實測資料的范圍內(nèi)差別不是很顯著；在頻率曲線圖的上下尾端，P-Ⅲ/LM模型的設(shè)計值比P-Ⅲ/CF模型的偏小較明顯，造成該現(xiàn)象的主要原因是L矩估參方法對洪水系列中的極大值和極小值沒有那么敏感。

圖1 丹江口水庫年最大洪峰流量4種頻率曲線對比圖Fig. 1 Plots of the four frequency curves for annual maximum peak flood series at the Danjiangkou reservoir

P-Ⅲ/CF模型估算的小概率設(shè)計洪水明顯大于其他模型的主要原因有：P-Ⅲ/CF模型的經(jīng)驗頻率公式計算結(jié)果偏大。中國目前采用的數(shù)學(xué)期望公式在推求設(shè)計洪水時具有較大的偏差和均方差，盡管在連序系列中，數(shù)學(xué)期望公式頻率估計是無偏的，但擴展到不連序系列后，其頻率估計是有偏的。與其他公式相比，數(shù)學(xué)期望公式n/(m+1) 上端偏大下端偏小，對工程設(shè)計偏安全；P-Ⅲ/CF模型的參數(shù)估計方法人為性大。一般總是要盡可能照顧歷史洪水(或大洪水)點據(jù)，要盡量靠近它，這樣，所求得的所謂萬年一遇洪水必然偏大很多。

3 結(jié) 語

設(shè)計洪水計算一直是水文學(xué)研究的熱點和難點。本文建立了P-Ⅲ/CF、P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM 4個頻率分析模型，對丹江口水庫1929-2014年的實測洪峰系列資料和歷史調(diào)查洪水進行分析計算，通過分析比較發(fā)現(xiàn)：

(1)不同模型的計算結(jié)果，在實測系列的范圍內(nèi)差別不是很大，而在外延推求稀遇洪水時的差別就很明顯，說明了在推求設(shè)計洪水時，需要慎重選擇合適的線型和參數(shù)估計方法。

(2)中國規(guī)范估算的小概率設(shè)計洪水均明顯大于其他模型，其中當(dāng)重現(xiàn)期T=10 000 a時，P-Ⅲ/CF模型的設(shè)計值比P-Ⅲ/LM、GEV/LM和LP3/MM模型分別偏大14.62%、12.14%和15.12%。

(3)丹江口水庫萬年一遇校核洪水比國外模型估計值偏大很多，有必要在其他流域開展類似的比較研究，分析我國規(guī)范設(shè)計洪水計算偏大的原因。

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