付海珊

摘 要 交會(huì)測(cè)量是控制點(diǎn)加密的常用方法，由未知點(diǎn)向控制點(diǎn)觀測(cè)進(jìn)而得出未知點(diǎn)坐標(biāo)的后方交會(huì)法，其應(yīng)用非常的廣泛，所以對(duì)其精度的研究應(yīng)更加得到關(guān)注，本文從角度，邊長(zhǎng)，邊角同測(cè)的后方交會(huì)的近似精度評(píng)定公式和考慮起算的數(shù)據(jù)存在誤差時(shí)的嚴(yán)密精度評(píng)定式出發(fā)，分別討論三種不同的后方交會(huì)的精度影響因素，并關(guān)注這些因素的變化從而導(dǎo)致待定點(diǎn)精度的變化。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)實(shí)例，分別對(duì)邊長(zhǎng)，角度，邊角同測(cè)等后方交會(huì)的精度及坐標(biāo)進(jìn)行分析與比較。

關(guān)鍵詞 后方交會(huì)；測(cè)量平差；精度分析

中圖分類號(hào) S29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

文章編號(hào) 1674-6708（2016） 154-0049-03

在測(cè)量中常常遇到控制點(diǎn)因建筑物阻擋等其他原因造成不能通視，不得不臨時(shí)增設(shè)測(cè)量點(diǎn)來(lái)進(jìn)行測(cè)量或工程施工放樣。加設(shè)控制點(diǎn)方法有許多，一種較好的方法是在視野遼闊、通式條件好且不容易受到毀損的未知點(diǎn)上用全站儀向已知點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)的后方交會(huì)，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，角度、距離、控制點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化對(duì)其精度有很大的影響，本文通過(guò)對(duì)常用后方交會(huì)的原理及精度評(píng)定出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)演算得出這些影響因素是如何影響其精度的，然后在野外進(jìn)行試驗(yàn)從而驗(yàn)證這些規(guī)律，本文最后結(jié)合工程實(shí)例，通過(guò)后方交會(huì)解算的精度影響因素研究，從而提高未知點(diǎn)精度，進(jìn)而提高工程質(zhì)量。

1 后方交會(huì)

1.1 定義

定義1（測(cè)角后方交會(huì)）：后方交會(huì)是指僅在未知點(diǎn)P上架設(shè)儀器，向最低三個(gè)或三個(gè)以上的已知控制點(diǎn)4、B、C觀測(cè)兩個(gè)水平夾角a，B，從而計(jì)算未知點(diǎn)的坐標(biāo)。

由于測(cè)距儀以及全站儀逐漸的廣泛使用，后方交會(huì)還有如下的兩種解釋：邊長(zhǎng)角度同測(cè)的后方交會(huì)以及僅僅測(cè)邊后方交會(huì)。

定義2（測(cè)邊后方交會(huì)）：在未知點(diǎn)P上向控制點(diǎn)，觀測(cè)兩個(gè)水平距離PA、PB的邊長(zhǎng)以、6，再利用三邊求解三角形，從而加密P點(diǎn)的坐標(biāo)。

定義3（邊角同測(cè)后方交會(huì)）：在未知的控制點(diǎn)上P上安置儀器，再向已知點(diǎn)A、β觀測(cè)兩個(gè)邊長(zhǎng)的距離以及水平角y，進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)。

1.2 計(jì)算原理

后方交會(huì)計(jì)算的方法種類有很多，不同種類的后方交會(huì)的計(jì)算方法也盡不相同。

1.2.1 測(cè)角后方交會(huì)

如下圖的圖l表示，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（Xa，Ya）、B（Xa，Ya）、c（x，，y），觀測(cè)角度分別為a，β，再求待定點(diǎn)P的坐標(biāo)（Xa，Ya）。

1.2.2邊角后方交會(huì)

隨著全站儀的全面普及，邊角同測(cè)在測(cè)量中用的越來(lái)越廣泛，其計(jì)算可分為以下兩種情況，第一種情況如圖2，A、β位已知點(diǎn)，所以A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離SAB以及方位角aBA為已知。觀測(cè)量為PB的邊長(zhǎng)S以及LAPB的角度B。顯然在這樣的圖形中觀測(cè)邊位于觀測(cè)角的右邊。

1.2.3測(cè)邊后方交會(huì)

仍在圖1中，S、s：、S3為三角形的已知邊長(zhǎng)，厶1、厶2、厶3為測(cè)量的邊長(zhǎng)，厶1、厶2為輔助角，求待定點(diǎn)的坐標(biāo)P （xp，yp）。從理論上來(lái)說(shuō)，只需要兩點(diǎn)的后方距離交會(huì)就可計(jì)算未知點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)有3個(gè)已知點(diǎn)或更多點(diǎn)存在時(shí)候，則存在一個(gè)或?qū)€(gè)多余觀測(cè)。

2 精度影響因素的研究

2.1 角度后方交會(huì)的影響因素

在角度后方交會(huì)中（或三點(diǎn)后方交會(huì)），如圖1。其P點(diǎn)的X、Y方向的坐標(biāo)精度，即不考慮初始數(shù)據(jù)誤差的影響，故P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差為：

故P點(diǎn)的坐標(biāo)的精度就可用參數(shù)K1、K2、K3來(lái)顯現(xiàn)。由于K1、K2、K3是通過(guò)觀測(cè)的角度變化而變化的，且K1、K2、K3可有引數(shù)查表，所以m，的值與交會(huì)點(diǎn)P相對(duì)于已知點(diǎn)的位置（圖形位置）有關(guān)，且與觀測(cè)角度的位置有關(guān)。

2.2 邊長(zhǎng)后方交會(huì)的影響因素

在前面的計(jì)算與精度評(píng)定中，已推算出P點(diǎn)的X、y方向的精度表達(dá)式，所以P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差為：

現(xiàn)在考慮全站儀的標(biāo)稱誤差，即：m2s a2+（6*s）2，式子中，a為固定誤差；b為比例誤差，以毫米（ mm）為單位；S為測(cè)距的邊長(zhǎng)值，以千米（km）為單位。

正常情況下，在工程測(cè)量中，所測(cè)的邊長(zhǎng)大多在lkm到2km之內(nèi)，所以當(dāng)交會(huì)點(diǎn)點(diǎn)位分布適宜，所測(cè)的兩條邊的距離其差值不會(huì)很大（大多數(shù)在lkm之內(nèi)），這樣按標(biāo)稱誤差的公式估算，兩條測(cè)邊的m，值和m。值非常接近，故對(duì)于精度的約算來(lái)說(shuō)，從而可以來(lái)說(shuō)兩條所測(cè)的測(cè)邊精度一樣或大約一樣，即：所以P點(diǎn)的誤差又可以寫成如下面的式子：

從以上的推導(dǎo)式子可以看出測(cè)邊后方會(huì)的影響因素主要由交會(huì)角度y、儀器的標(biāo)稱精度以及所測(cè)的距離有關(guān)，具體是如何影響其精度也將在后面的實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出來(lái)。

2.3 邊角同測(cè)后方交會(huì)的影響因素研究

將上式中的（7）式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到如下式子：

從公式可以看出，邊角后方交會(huì)的精度與測(cè)角、測(cè)邊以及交會(huì)圖形有關(guān)，現(xiàn)在我們作以下式分析。

1）當(dāng)y =90。時(shí)，此時(shí)m2，=oo，所以邊角后方交會(huì)測(cè)量中應(yīng)當(dāng)盡量避免三角形中并未測(cè)量的邊長(zhǎng)與已知邊相垂直或者大約垂直。即y應(yīng)避免在75。到90。之間的區(qū)域。

2）當(dāng)y=0。時(shí)，此時(shí)m，的值最小，所以在邊角后方交會(huì)的布設(shè)圖形中其角度y應(yīng)該< 30。為宜。當(dāng)待定點(diǎn)P在已知邊上或者其延長(zhǎng)線上的時(shí)候，m2，的值主要決定于值的大小。由極值理論知，當(dāng)s1=s2時(shí)，s1與s2的相乘的結(jié)果最大，故當(dāng)未知的點(diǎn)P在已知邊附近，且離已知點(diǎn)較近時(shí)候，為邊角同測(cè)的后方交會(huì)的最適宜布設(shè)點(diǎn)位的空間。

3）若取3=5+5 ppm，m=+10”，S。=l.Okm.可以計(jì)算不一樣的s1或s2以及y角所決定的邊角同測(cè)的后方交會(huì)圖形中的點(diǎn)位精度。故可畫出點(diǎn)位誤差的等值線圖。

3 實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)概況

實(shí)驗(yàn)實(shí)例：為了研究各后方交會(huì)中的影響因素時(shí)如何影響其精度的，現(xiàn)在在學(xué)校的西南角取實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，按照以上原理方法現(xiàn)場(chǎng)模擬，按照?qǐng)D1的圖形模擬實(shí)驗(yàn)，用不同的方法取得不同的數(shù)據(jù)，按照公式求得未知點(diǎn)坐標(biāo)，再研究其是如何變化，并繪制誤差等直線圖。

實(shí)驗(yàn)的控制點(diǎn)和未知點(diǎn)的觀測(cè)均使用科利達(dá)全站儀儀器，且控制點(diǎn)坐標(biāo)均為假設(shè)，該儀器經(jīng)檢定達(dá)到使用精度的要求，并在有限期之內(nèi)。其觀測(cè)角的精度為0 5”，測(cè)距的精度為0.5mm+lx 10-6d。

3.2 角度后方交會(huì)的分析

現(xiàn)按圖1的形狀假設(shè)儀器，分別測(cè)定三個(gè)方向值，從而就可以解算出夾角a，β。再按三角形基本知識(shí)進(jìn)而求得S角度，由于m，的值可由K表示，如式K=將其轉(zhuǎn)為函數(shù)圖形表示。

當(dāng)P點(diǎn)越過(guò)已知點(diǎn)C之后，誤差繼續(xù)增大，K值由4.8一直增大到無(wú)窮。當(dāng)S =1700時(shí)，K=10.8。S=165。時(shí)，K=19.9。此后速度則迅速加快。P點(diǎn)從三角形中心點(diǎn)向危險(xiǎn)圓移動(dòng)時(shí)，在S=600β（P點(diǎn)在AB邊的直線上）之前，K值變化緩慢，越過(guò)AB線后K值的變化不斷加快，占- 800時(shí)，K80= 13.6。當(dāng)P越過(guò)危險(xiǎn)圓之后，誤差開始減小，S=1o0時(shí)，K1oo =20.4；在S=112.80時(shí)，K有最小值，且Kn2= 14.06。當(dāng)S繼續(xù)增大，K值又迅速增大直至無(wú)窮。

由以上分析可知，在進(jìn)行三點(diǎn)后方交會(huì)時(shí)，P點(diǎn)的位置選擇非常關(guān)鍵應(yīng)避免危險(xiǎn)圓附近區(qū)域以及遠(yuǎn)離已知點(diǎn)的區(qū)域。

3.3 邊角后方交會(huì)的分析

將收集到的數(shù)據(jù)按公式解算出誤差結(jié)果，并繪制下表，如表1所示。

顧及到圖像的勻稱性以及操作的具體現(xiàn)場(chǎng)，采納圖2中的角度β為0?～180?，假設(shè)要求的邊長(zhǎng)S2為已知邊的0-5倍；通過(guò)精度公式（β，S2，m），求得它們之間的關(guān)系，再以交會(huì)的角度β來(lái)作為縱軸，邊長(zhǎng)S2來(lái)作為橫軸，并畫出誤差等值線圖，由圖形可以由如下分析。

1）當(dāng)邊長(zhǎng)S2的長(zhǎng)度在低于已知邊的長(zhǎng)度6倍時(shí)候，其角度β無(wú)論在什么范圍變動(dòng)的時(shí)候，待定點(diǎn)P的中誤差的最大值都沒有超出120mm。

當(dāng)角度β在0?～20?、60?～120?、160?～180?的范圍內(nèi)的時(shí)候。未知點(diǎn)的點(diǎn)位誤差相對(duì)較小，并且與已知邊的邊長(zhǎng)S2，大小沒有多大聯(lián)系。

當(dāng)邊長(zhǎng)S2是O～5倍的已知邊的長(zhǎng)度時(shí)，角度B無(wú)論怎樣變化，未知點(diǎn)的誤差總是不超過(guò)±60mm。

當(dāng)角度β在40。左右，邊長(zhǎng)S2超過(guò)已知邊的邊長(zhǎng)大約4倍的時(shí)候，未知點(diǎn)誤差相對(duì)較大；當(dāng)角度β在132?左右，邊長(zhǎng)S2超過(guò)已知邊的邊長(zhǎng)大約4倍的時(shí)候，未知點(diǎn)誤差相對(duì)較大。角度誤差等值曲線圖中，相對(duì)集中的兩個(gè)空間內(nèi)突現(xiàn)了較高的未知點(diǎn)的誤差。

4 結(jié)論

通過(guò)后方交會(huì)測(cè)量精度影響，所得到的主要結(jié)論如下。

1）在角度后方交會(huì)的測(cè)量中（三點(diǎn)后方交會(huì)），角度對(duì)其影響較大，其角度在30?～60?之間，未知點(diǎn)點(diǎn)位誤差較??；此外還與已知點(diǎn)的位置有一定的關(guān)系，當(dāng)圖形對(duì)稱時(shí)精度較高。

2）在測(cè)邊后方交會(huì)測(cè)量中，可以看出，當(dāng)邊長(zhǎng)為已知的時(shí)候，其交會(huì)角y在90?～ll0?附近時(shí)候，未知點(diǎn)點(diǎn)位誤差較??；當(dāng)角度一定時(shí)候，邊長(zhǎng)選擇盡量選取短邊：

3）在進(jìn)行邊角同測(cè)的后方交會(huì)中，故在待定的邊長(zhǎng)與已知邊的邊長(zhǎng)構(gòu)成90?水平角的時(shí)候形成最佳圖像，這個(gè)時(shí)候待定點(diǎn)達(dá)到最佳的精度；當(dāng)待定點(diǎn)與控制點(diǎn)的長(zhǎng)度越小時(shí)，其精度越好。