劉海

（江西服裝學(xué)院商貿(mào)分院　計(jì)算機(jī)教研室,江西　南昌　330201）

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基于AIC法則和極大似然法的系統(tǒng)辨識(shí)分析探討

劉海

（江西服裝學(xué)院商貿(mào)分院計(jì)算機(jī)教研室,江西南昌330201）

摘要：系統(tǒng)辨識(shí)在當(dāng)今社會(huì)中獲得了廣泛的應(yīng)用，本文運(yùn)用參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)帶有白噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，分析研究關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)的原理和辨識(shí)過(guò)程.并設(shè)計(jì)M序列作為系統(tǒng)的輸入與干擾信號(hào)，運(yùn)用AIC法則對(duì)系統(tǒng)的階次進(jìn)行辨識(shí)，然后用極大似然法則對(duì)系統(tǒng)參數(shù)采取辨識(shí)并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析討論.

關(guān)鍵詞：AIC法則；極大似然法；系統(tǒng)辨識(shí)

前言

在當(dāng)今社會(huì)中系統(tǒng)辨識(shí)被廣泛的應(yīng)用，可以說(shuō)，只要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定數(shù)學(xué)模型和估計(jì)參數(shù)的場(chǎng)合，都需要用到辨識(shí)技術(shù).而系統(tǒng)辨識(shí)的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行或者是試驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，并按照給定的“系統(tǒng)等價(jià)準(zhǔn)則”從一群候選數(shù)學(xué)模型集合里，確定一個(gè)與系統(tǒng)特性等價(jià)的數(shù)學(xué)模型.也就是說(shuō)只要是系統(tǒng)的輸入輸出來(lái)確定描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型，是系統(tǒng)辨識(shí)研究的對(duì)象.在進(jìn)行系統(tǒng)分析的一個(gè)重要方面是根據(jù)輸入時(shí)間函數(shù)與系統(tǒng)的特性來(lái)確定輸出信號(hào)，系統(tǒng)辨識(shí)主要有模型階次辨識(shí)與參數(shù)辨識(shí)兩種.今后，隨著社會(huì)的發(fā)展，人類將更加深入地研究大范圍復(fù)雜工程的應(yīng)用，涉及的系統(tǒng)辨識(shí)會(huì)更多，包括非線性系統(tǒng)辨識(shí)，高維時(shí)變系統(tǒng)的辨識(shí)，多變量開(kāi)環(huán)或閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識(shí)，整體和多級(jí)辨識(shí)以及辨識(shí)的可分離性理論等方面.本文將運(yùn)用參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)帶有白噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，白噪聲在工程上人為是不可產(chǎn)生的，實(shí)際工程上，通常用M序列來(lái)代替白噪聲輸入信號(hào).本文用AIC法則來(lái)判定系統(tǒng)的階次，應(yīng)用確定階的Akaike信息準(zhǔn)則確定系統(tǒng)模型的階，根據(jù)確定系統(tǒng)模型階的算法闡述程序編制思路；辨識(shí)出模型階之后，選擇極大似然算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并且列表與真值和辨識(shí)算法計(jì)算結(jié)果的比較和分析.

1　系統(tǒng)辨識(shí)的基本步驟

在系統(tǒng)辨識(shí)中，系統(tǒng)辨識(shí)主要是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)間函數(shù)來(lái)確定描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型，所以在系統(tǒng)辨識(shí)的基本步驟中，首先是先驗(yàn)知識(shí)，先驗(yàn)知識(shí)主要包括系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、數(shù)據(jù)和其他方面的已存在的知識(shí).其作用是對(duì)選擇的模型結(jié)構(gòu)、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)與決定辨識(shí)方法等都非常重要的.并且用在不同目的的模型中都表現(xiàn)出很大的差別.其次是建模，建模的目的對(duì)于確定模型的結(jié)構(gòu)和辨識(shí)方法也有重要意義.然后是辨識(shí)，辨識(shí)是從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取有關(guān)系統(tǒng)信息的過(guò)程，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)之一是要使所得到的數(shù)據(jù)能包含系統(tǒng)更多的信息.主要包括輸入信號(hào)設(shè)計(jì)，采樣區(qū)間設(shè)計(jì)，預(yù)采樣濾波器設(shè)計(jì)等.結(jié)構(gòu)辨識(shí)也就是選擇模型類中的數(shù)學(xué)模型M的具體表達(dá)形式.除線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可通過(guò)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)外，一般的模型結(jié)構(gòu)主要通過(guò)先驗(yàn)知識(shí)獲得.系統(tǒng)辨識(shí)的基本步驟，具體流程如圖1所示.

圖1系統(tǒng)辨識(shí)的具體流程

2　辨識(shí)輸入信號(hào)M序列發(fā)生器的設(shè)計(jì)

m序列是一種線性反饋的移位寄存器產(chǎn)生的周期很長(zhǎng)的也是最常見(jiàn)的偽隨機(jī)序列，也是最長(zhǎng)線性反饋移存器，簡(jiǎn)稱m序列,如圖2.

圖2 M序列的產(chǎn)生原理圖

從圖2序列的產(chǎn)生原理圖所示，偽隨機(jī)序列是由反饋移位寄存器產(chǎn)生，并分成了兩類，包括線性反饋移位寄存器與非線性反饋移位寄存器.而周期最長(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)字序列也被叫做最大長(zhǎng)度線性反饋移位寄存器，是由線性反饋移位寄存器產(chǎn)生的.圖2則是一個(gè)一般線性反饋移存器的組成，圖中一級(jí)移存器的狀態(tài)用xi表示，xi=0或1，i=（1-4）.m序列的設(shè)計(jì)是數(shù)字電路在通信里非常常用的一種形式，其硬件設(shè)計(jì)組成有五片74HCl64串連構(gòu)成，反饋信號(hào)則是由異或門MC40送出，需要注意的是鐘振蕩器不能由非門構(gòu)成的RC多諧振蕩器組成，原因是頻率特別低，我們用計(jì)數(shù)器分頻后實(shí)現(xiàn)(此處省略關(guān)于具體的硬件電路設(shè)計(jì)).

m序列作為一種最常用的偽隨機(jī)碼，在實(shí)際電路里M序列是由移位寄存器產(chǎn)生的，而本文是通過(guò)在MATLAB中用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)的.通過(guò)編寫一個(gè)M函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)要求的實(shí)際硬件電路.通過(guò)仿真可得M序列的圖形如圖3所示.

圖3 M序列

3　利用AIC準(zhǔn)則對(duì)系統(tǒng)的階數(shù)的辨識(shí)

AIC信息準(zhǔn)則是20世紀(jì)70年代日本學(xué)者赤池提出的，基于信息度量的信息準(zhǔn)則及利用信息準(zhǔn)則判定模型階次的方法.AIC信息準(zhǔn)則的定義為l1:MC(m)=-21ogL(0lz)+2M(16)上式中的logL(0lY)=logL(0IYi)為模型參數(shù)極大i=l似然估計(jì)的對(duì)數(shù)似然函數(shù),它是各觀測(cè)對(duì)數(shù)似然函數(shù)之和,為獨(dú)立的模型參數(shù)個(gè)數(shù).采用的是模型階次判定準(zhǔn)則，使得隨機(jī)變量的真正概率分布相對(duì)于它的估計(jì)的概率分布的熵為最大，也就是使觀測(cè)數(shù)據(jù)z所估計(jì)的隨機(jī)變量的y的概率分布g (y)與其真正的概率分布的f(y)之間的擬合度B（f,g）為最大.

B(f,g)為信息熵,由于具有真正概率分布的f（y）的隨機(jī)變量y的熵是一定的，所以式（3-2）第二項(xiàng)為常數(shù)，而第一項(xiàng)可寫成

可見(jiàn)，要使J（g）最大，也就是要求式（3.2-3）最大，因此必須對(duì)EyIng[y/θ(z)]做出估計(jì)，利用極大似然法，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以得

式中θ0-為真實(shí)參數(shù)；F-Fisher信息矩陣.

根據(jù)極大似然估計(jì)值的漸近性及正態(tài)隨機(jī)變量和隨機(jī)變量之間的關(guān)系，式（3-3）第二項(xiàng)漸近的具有自由度為r 的x2分布.并可得到

從上而得到，采用最小AIC方法判定模型階數(shù)，可以歸結(jié)為在不同的模型階次下，先利用極大似然法估計(jì)出相應(yīng)階次模型下的各個(gè)參數(shù)，然后再考慮到獨(dú)立參數(shù)數(shù)目下，求出在該模型階次下的AIC值.于是，具有最小AIC值的模型階次就是應(yīng)確定的模型階次.設(shè)干擾信號(hào)為白噪聲系統(tǒng)模型一般表達(dá)式為：

a(z-1)y(k)=b(z-1)u(k)+ε(k)（3.3-13）

式中：a(z-1)=1-1.8z-1-1.3z-2+0.4z-3b(z-1)=1.1z-1+0.288z-2

開(kāi)始任意取一組于模型相對(duì)應(yīng)的階數(shù)，由已知的輸入，輸出根據(jù)極大適然法就可以求相應(yīng)的系數(shù)贊N，并且計(jì)算此時(shí)AIC的值，在取一組模型的任意階數(shù)值，重復(fù)以上過(guò)程，通過(guò)比較得到AIC取得最小值時(shí)候，就是該模型所辨識(shí)的最優(yōu)階數(shù).

通過(guò)對(duì)源程序的仿真可得到AIC值，其最小的值對(duì)應(yīng)的階次就是系統(tǒng)要辨別的階次，可得na=3，nb=2可見(jiàn)與給點(diǎn)題目的階次相同.

4　基于遞推極大似然法的模型參數(shù)辨識(shí)

極大似然法由高斯提出，并由費(fèi)希爾(R．A．Fisher)發(fā)展，是現(xiàn)代辨識(shí)的參數(shù)估計(jì)方法之一.從本質(zhì)上講是一類概率性貝葉斯估計(jì)方法，是一種應(yīng)用比較廣泛的常用估計(jì)方法，這種估計(jì)方法用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)辨識(shí)，可以獲得良好的估計(jì)

?效果.極大似然法需要構(gòu)造一個(gè)以測(cè)量數(shù)據(jù)和未知參數(shù)有關(guān)的似然函數(shù)，并通過(guò)極大化這個(gè)函數(shù)獲得模型的參數(shù)辨識(shí).由上可知，極大似然法將參數(shù)估計(jì)問(wèn)題歸結(jié)為似然函數(shù)值為最大時(shí)候的最優(yōu)化問(wèn)題，所以極大似然函數(shù)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)候，必須掌握可觀測(cè)變量y的聯(lián)合概率密度分布，也就是合理確定相應(yīng)的似然函數(shù).通過(guò)仿真可辨識(shí)得到系統(tǒng)的參數(shù)

a1=1.813, a2=-1.1989, a3=-0.421

b1=1.098, b2=0.289

可見(jiàn)辨識(shí)的參數(shù)與實(shí)際值還是存在一定的誤差，一方面可能數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度取得還不夠長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)證明數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，得到的值越準(zhǔn)確，所以要求獲取的數(shù)據(jù)盡可能長(zhǎng)些，另一方面可能存在一些因客觀原因而存在的一些誤差.

5　結(jié)論

系統(tǒng)辨識(shí)的過(guò)程分為幾個(gè)階段，開(kāi)始是對(duì)系統(tǒng)的階次進(jìn)行辨識(shí)，并在階次已知的前提下再對(duì)對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)的過(guò)程.AIC法則得到了廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)解決了許多系統(tǒng)的階次問(wèn)題，在本設(shè)計(jì)中準(zhǔn)確的辨識(shí)出了系統(tǒng)的階數(shù)，并且在得到系統(tǒng)階數(shù)的前提下，利用極大似然法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)，基本上與給出的參數(shù)相同.但是該方法也存在一些問(wèn)題，按此方法估計(jì)出來(lái)的模型階次不是漸近一致的，并且只適用于低階系統(tǒng)，對(duì)于高階系統(tǒng)會(huì)引起較大的誤差，并且AIC估計(jì)的模型的階數(shù)偏高，為此Kashyap和Schwar利用貝葉斯方法提出了BIC準(zhǔn)則，可以看做是對(duì)它的改進(jìn).

其中α可以看做是對(duì)高階的懲罰，αInN=2時(shí)候，也就就變成了AIC準(zhǔn)則了.

參考文獻(xiàn)：

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收稿日期：2015年10月19日

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）02-0014-02