李 蕾，張 葆，李全超

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機(jī)載紅外系統(tǒng)主反射鏡的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

李 蕾1,2，張 葆1，李全超1

（1. 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 中國(guó)科學(xué)院航空光學(xué)成像與測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

反射鏡輕量化設(shè)計(jì)一直是光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的一項(xiàng)挑戰(zhàn)性課題。針對(duì)某機(jī)載紅外光學(xué)系統(tǒng)的主反射鏡，提出了一種基于SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法的反射鏡輕量化設(shè)計(jì)流程，建立了反射鏡拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型，以最小化鏡體自重和拋光載荷作用下的鏡面矢高位移RMS值為優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)考慮對(duì)稱約束和拔模約束，對(duì)反射鏡進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)了新的反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)，并將其與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比。采用拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)的反射鏡具有更高的輕量化率，同時(shí)能夠獲得較高的面形精度。

紅外系統(tǒng)；主反射鏡；輕量化設(shè)計(jì)；拓?fù)鋬?yōu)化

0 引言

機(jī)載紅外系統(tǒng)是載機(jī)進(jìn)行目標(biāo)探測(cè)、搜索、警戒、預(yù)警的重要設(shè)備，在現(xiàn)代空戰(zhàn)中起著舉足輕重的作用[1]。為實(shí)現(xiàn)高靈敏度、大視場(chǎng)、高空間分辨率要求，現(xiàn)代紅外光學(xué)系統(tǒng)一般采用大口徑折反式系統(tǒng)。主鏡作為系統(tǒng)中的主要部件，其鏡面面形直接影響了系統(tǒng)成像質(zhì)量。此外，機(jī)載環(huán)境對(duì)載荷重量有極其嚴(yán)格的要求，因此，在盡量減輕鏡體重量的同時(shí)，使鏡面在自重、加工載荷等外部載荷的作用下的面形精度滿足設(shè)計(jì)要求，具有十分重要的意義。

傳統(tǒng)的反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)多為三角形、扇形和六邊形輕量化孔形式，針對(duì)這種布局固定的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)僅以加強(qiáng)筋的截面尺寸和形狀、輕量化孔尺寸等作為優(yōu)化變量，存在著不能改變結(jié)構(gòu)拓?fù)涞娜毕?，?yōu)化效果十分有限。

隨著近年來(lái)結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展，連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法開(kāi)始被應(yīng)用于反射鏡輕量化設(shè)計(jì)。Shutian Liu等人[2]將拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用于大口徑空間反射鏡的設(shè)計(jì)，在考慮拔模約束和拋光載荷的條件下，提出了一種單元分組策略，獲得了材料的最優(yōu)化空間分布，但是其優(yōu)化過(guò)程以結(jié)構(gòu)整體剛度為優(yōu)化目標(biāo)，沒(méi)有直接考慮光學(xué)性能指標(biāo)。Kang-Soo Park等人[3]在優(yōu)化過(guò)程中以鏡面面形誤差RMS為優(yōu)化目標(biāo)，但是僅能獲得反射鏡背部材料的平面分布。

針對(duì)現(xiàn)有方法的不足，本文將拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用于某機(jī)載紅外系統(tǒng)的主反射鏡輕量化設(shè)計(jì)中，以最小化鏡面面形誤差為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了新的反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)，并將其與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比。

1 反射鏡拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)描述

1.1 連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法

目前常用的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法有均勻化法[4]、SIMP法（Solid Isotropic Material with Penalization，各項(xiàng)同性材料懲罰模型）[5]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法[6]、水平集法[7]等。其中，SIMP法具有單元設(shè)計(jì)變量描述簡(jiǎn)單、便于實(shí)施的優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)前應(yīng)用最成熟的方法。

SIMP法又稱為人工材料法（Artificial Material Method）或密度法（Density Method），該方法引入一種密度可變材料，以在[0, 1]范圍內(nèi)連續(xù)變化的單元相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量。迭代過(guò)程中，為了抑制中間密度單元，獲得相對(duì)密度成0-1分布的清晰結(jié)構(gòu)，SIMP法采用如下材料插值模型懲罰中間密度單元：

E＝xE0，＞1，∈[0, 1] (1)

式中：E為彈性張量；E0為實(shí)體材料的彈性張量；為單元相對(duì)密度（＝/0，為單元實(shí)際密度，0為實(shí)體材料密度）；為懲罰因子，用于懲罰中間密度單元。通過(guò)選取大于1的懲罰因子，可降低中間密度材料對(duì)彈性張量的貢獻(xiàn)程度，使設(shè)計(jì)結(jié)果趨近于0-1分布。已有文獻(xiàn)證明，懲罰因子的取值應(yīng)不小于3[5]，能夠獲得一個(gè)比較理想的結(jié)果。式(1)建立了單元相對(duì)密度與彈性張量的直接關(guān)系函數(shù)，拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為以相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量的尺寸優(yōu)化問(wèn)題，能夠采用傳統(tǒng)的準(zhǔn)則法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法、移動(dòng)漸近線法（MMA）等進(jìn)行求解。

1.2 優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

以某機(jī)載紅外系統(tǒng)的主反射鏡為設(shè)計(jì)對(duì)象，該系統(tǒng)采用同軸折反式光學(xué)系統(tǒng)，主鏡外徑400mm，中心孔徑100mm，鏡厚55mm。鏡體材料選用鋁合金6061，其具體參數(shù)詳見(jiàn)表1。鋁合金材料密度小、重量輕，并且具有優(yōu)異的加工性能，可直接在鏡體背部加工出復(fù)雜的輕量化孔和支撐結(jié)構(gòu)，極大地縮短了加工周期，降低了加工成本[8-9]。

表1 鋁合金6061參數(shù)表

反射鏡采用背部三點(diǎn)支撐，Vukobratovich[10]給出了三點(diǎn)支撐的最優(yōu)支撐半徑為0.645max，此時(shí)反射鏡在重力作用下面形誤差PV值最小，本例支撐半徑為129mm。

反射鏡拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是在滿足載荷重量要求的前提下，設(shè)計(jì)出使鏡面變形最小的反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)。優(yōu)化過(guò)程中，將反射鏡水平放置，此時(shí)鏡面變形主要由反射鏡自重導(dǎo)致。此外，考慮加工載荷，尤其是鏡面拋光過(guò)程中的拋光壓力，可能導(dǎo)致鏡面出現(xiàn)較大局部變形，嚴(yán)重影響反射鏡的光學(xué)性能。因此，設(shè)計(jì)過(guò)程中要同時(shí)考慮重力載荷和拋光壓力的影響。

光學(xué)表面變形一般用面形誤差的峰谷值（PV）和均方根值（RMS）來(lái)定量描述，而表面變形通?？梢杂萌コ齽傮w位移后的矢高位移（即沿光軸方向位移）或表面法向位移來(lái)表示[11]，其RMS值可表示為：

式中：為光學(xué)表面節(jié)點(diǎn)總數(shù)；U為第個(gè)節(jié)點(diǎn)處的矢高位移或法向位移。

光學(xué)表面誤差和光學(xué)系統(tǒng)波前差之間的關(guān)系存在著簡(jiǎn)單的表達(dá)式，在被一個(gè)變形的光學(xué)表面反射后，光線的波前誤差為：

WFE＝2scos(3)

式中：WFE為波前差；s為光學(xué)表面誤差；為入射角。因此，光機(jī)集成分析中通常利用光學(xué)表面誤差RMS和PV值來(lái)對(duì)光學(xué)表面變形對(duì)光學(xué)系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行定量描述。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中多以結(jié)構(gòu)整體剛度、固有頻率等間接指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，本文直接以最小化矢高位移RMS值為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化過(guò)程中直接考慮光學(xué)性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)約束選取為反射鏡體積。此外，考慮反射鏡的外形和加工條件，還應(yīng)考慮一些工藝約束，如對(duì)稱約束、拔模約束等。

綜上所述，基于SIMP材料插值模型的反射鏡拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：

式中：是由設(shè)計(jì)變量所組成的向量；x表示第個(gè)單元的相對(duì)密度；為單元總數(shù)；()為目標(biāo)函數(shù)；為光學(xué)表面節(jié)點(diǎn)總數(shù)；U為第個(gè)節(jié)點(diǎn)處的矢高位移；V表示第個(gè)單元的體積；*是事先指定的體積上限；min是單元相對(duì)密度的下限值。這是一種“軟殺”（soft kill）方法，空單元并不是從結(jié)構(gòu)中直接刪除，而是用一種弱材料代替。采用這種方法的原因是：設(shè)計(jì)過(guò)程中，每一步迭代都需要根據(jù)上一步中結(jié)構(gòu)的有限元分析結(jié)果來(lái)判斷單元的添加或刪除，采用弱材料替代空單元，就可以將這些“空單元”包含到分析過(guò)程中，為下一步迭代提供必要的信息。

優(yōu)化過(guò)程中，采用單元靈敏度作為更新設(shè)計(jì)變量的依據(jù)。靈敏度是目標(biāo)函數(shù)相對(duì)于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，可以衡量設(shè)計(jì)變量的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生的影響。對(duì)于式(4)所描述的問(wèn)題，單元靈敏度定義為矢高位移RMS值相對(duì)于單元設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)：

2 反射鏡拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用

2.1 反射鏡設(shè)計(jì)模型

反射鏡初始設(shè)計(jì)模型如圖1所示，模型采用C3D8R（八節(jié)點(diǎn)六面體減縮積分）單元進(jìn)行離散，單元數(shù)16371，節(jié)點(diǎn)數(shù)19605。將支撐孔和鏡面（6.5mm）區(qū)域定義為非設(shè)計(jì)區(qū)域，其他區(qū)域均為設(shè)計(jì)區(qū)域。

圖1 初始設(shè)計(jì)模型

定義反射鏡光軸方向?yàn)樨Q直方向，鏡面朝上，背部3個(gè)支撐孔施加固支約束。鏡體承受重力載荷（＝9.81N/kg），同時(shí)在鏡面施加均布載荷0.2kPa，模擬拋光壓力。其他設(shè)計(jì)參數(shù)定義為：*＝0.30（0為初始模型體積），＝3，min＝0.001，即相對(duì)密度低于0.001的單元視為空單元，同時(shí)施加對(duì)稱約束和拔模約束。

拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖2所示，本文采用Abaqus/ATOM進(jìn)行優(yōu)化求解，每次迭代首先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行一次有限元分析，然后根據(jù)有限元分析結(jié)果計(jì)算單元靈敏度，并更新單元相對(duì)密度。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

2.2 設(shè)計(jì)結(jié)果分析和對(duì)比

優(yōu)化過(guò)程經(jīng)歷45次迭代達(dá)到收斂，最終獲得拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖3所示。拓?fù)鋬?yōu)化僅能給出大致的材料分布，從圖中可以看到材料分布在3個(gè)支撐點(diǎn)內(nèi)側(cè)形成一個(gè)六邊形布局，每個(gè)支撐點(diǎn)位置向鏡體邊緣伸出兩條平行的加強(qiáng)筋，且距離支撐點(diǎn)越遠(yuǎn)，高度越低。

顯然，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果難以直接應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)，且筋板結(jié)構(gòu)存在不連續(xù)處，需要根據(jù)實(shí)際加工條件，進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，新的輕量化反射鏡形式如圖4所示，該結(jié)構(gòu)輕量化率達(dá)到72.8%。

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化后的輕量化反射鏡

根據(jù)2.2中所述，利用面形誤差PV和RMS值，可定量評(píng)價(jià)光學(xué)表面變形對(duì)光學(xué)系統(tǒng)性能的影響。為了比較拓?fù)鋬?yōu)化后反射鏡的PV和RMS值，建立了如圖5所示的對(duì)比模型，采用傳統(tǒng)的三角形輕量化孔形式，輕量化率為61.7%，小于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。在軸向和徑向重力載荷作用下對(duì)兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比分析，通過(guò)面形擬合獲得了鏡面變形PV值和RMS值。為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)剛度，對(duì)其進(jìn)行了模態(tài)分析。此外，考慮機(jī)載低溫環(huán)境，分析了環(huán)境溫度－20℃和－40℃條件下的鏡面變形。對(duì)比分析結(jié)果如表2所示。

圖5 傳統(tǒng)輕量化結(jié)構(gòu)

軸向重力載荷是拓?fù)鋬?yōu)化所采用的工況，鏡面變形如圖6所示。該工況下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的面形誤差PV值為99.5nm，RMS值為23.9nm，均小于采用三角形輕量化孔的結(jié)構(gòu)。

徑向重力加載條件下的鏡面變形如圖7所示。該工況下傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的鏡面面形略優(yōu)于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)。這是由于拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)的工況是軸向重力加載，未考慮徑向重力載荷，但是兩種結(jié)構(gòu)的鏡面變形RMS值分別僅為6.0nm和4.1nm，相差不大，且遠(yuǎn)低于光學(xué)設(shè)計(jì)公差，完全滿足設(shè)計(jì)要求。

表2 分析結(jié)果對(duì)比

圖6 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)（左）和傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)（右）在軸向重力加載下的鏡面變形云圖

圖7 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)（左）和傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)（右）在徑向重力加載下的鏡面變形云圖

針對(duì)機(jī)載低溫環(huán)境，分析了－20℃和－40℃條件下的鏡面變形。結(jié)果表明，隨著溫度降低，鏡面面形誤差RMS和PV值均增大，且拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的鏡面面形略優(yōu)于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)。然而，溫度變化導(dǎo)致的面形誤差RMS值和PV值都很小，相對(duì)于重力的影響可忽略不計(jì)。由于反射鏡采用鋁合金材料，因此只需將支撐結(jié)構(gòu)選用相同的材料，即可使結(jié)構(gòu)具有較高的溫度適應(yīng)性，將溫度變化對(duì)鏡面變形的影響降至最低。

模態(tài)分析結(jié)果表明，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的一階固有頻率也高于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，表明其具有更高的動(dòng)態(tài)剛度。注意到，兩種結(jié)構(gòu)的固有頻率數(shù)值都較大，這是由于模態(tài)分析時(shí)，僅對(duì)反射鏡在背部三點(diǎn)固支條件下進(jìn)行分析，未考慮支撐結(jié)構(gòu)的影響。

綜上所述，采用拓?fù)鋬?yōu)化方法獲得的反射鏡輕量化方案由于傳統(tǒng)的輕量化結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)論

采用SIMP法，以鏡面矢高位移RMS值為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)機(jī)載紅外系統(tǒng)主反射鏡進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)的反射鏡在滿足結(jié)構(gòu)輕量化的同時(shí)獲得了較高的面形精度。鏡體輕量化率達(dá)到72.8%，鏡面面形誤差RMS值僅為23.9nm，滿足設(shè)計(jì)要求，且優(yōu)于傳統(tǒng)輕量化結(jié)構(gòu)。

利用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行反射鏡輕量化設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)，克服了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的盲目性和參數(shù)化設(shè)計(jì)的局限性，極大提高了設(shè)計(jì)效率。

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Topology Optimization of Primary Mirror in Airborne Infrared System

LI Lei1,2，ZHANG Bao1，LI Quanchao1

(1.,,,,130033,; 2.,100049,)

The lightweight design of mirror has always been a challenging task in the field of opto-mechanical structure design. For the lightweight design of the primary mirror in an airborne infrared optical system, a lightweight mirror design procedure is proposed based on the SIMP topology optimization method. The mathematical model of topology optimization is established. With the objective of minimizing the RMS value of surface sag displacements under the load of gravity parallel to the optical axis and polishing pressure, the mirror is optimized by using topology optimization method while symmetry and casting constraint considered. According to the topology optimization result, a new lightweight mirror configuration is designed. The proposed mirror is compared with a traditional lightweight structure. The comparison results show that the lightweight ratio of the mirror obtained by using topology optimization method is higher than the traditional one. And a high optical surface accuracy can be achieved.

infrared system，primary mirror，lightweight design，topology optimization

TH745

A

1001-8891(2016)08-0648-05

2016-02-02；

2016-04-05.

李蕾（1989-），男，研究實(shí)習(xí)員，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目（61405192）。