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        無處不在的“轉(zhuǎn)化與化歸”

        2016-03-16 03:15:04龍艷文
        新高考·高一數(shù)學(xué) 2016年2期
        關(guān)鍵詞:解題思想數(shù)學(xué)

        龍艷文

        數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過程,這就是充滿無窮魅力的轉(zhuǎn)化與化歸思想.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過,“不斷變換你的問題”,“我們必須一再變化它,重新敘述它、變換它,直到最后成功地找到一些有用的東西為止”,那么如何認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化與化歸的思想呢?我們通過對(duì)下面幾個(gè)場(chǎng)景的分析與點(diǎn)評(píng),也許能帶給大家一些啟示.

        【場(chǎng)景一】

        一天,數(shù)學(xué)家覺得自己已受夠了數(shù)學(xué),于是他跑到消防隊(duì)去宣布他想當(dāng)消防員.

        消防隊(duì)長(zhǎng)說:“您看上去不錯(cuò),可是我得先給您一個(gè)測(cè)試.”

        消防隊(duì)長(zhǎng)帶數(shù)學(xué)家到消防隊(duì)后院小巷,巷子里有一個(gè)貨棧,一只消防栓和一卷軟管.

        消防隊(duì)長(zhǎng)問:“假設(shè)貨棧起火,您怎么辦?”

        數(shù)學(xué)家回答:“我把消防栓接到軟管上,打開水龍頭,把火澆滅.”

        消防隊(duì)長(zhǎng)說:“完全正確!最后一個(gè)問題,假設(shè)您走進(jìn)小巷,而貨棧沒有起火,您怎么辦?”

        數(shù)學(xué)家疑惑地思索了半天,終于答道:“我就把貨棧點(diǎn)著.”

        消防隊(duì)長(zhǎng)大叫起來:“什么?太可怕了!您為什么要把貨棧點(diǎn)著?”

        數(shù)學(xué)家回答:“這樣我就把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)我已經(jīng)解決過的問題了.”

        【點(diǎn)評(píng)】上述笑話反映了為研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)通過變換使問題轉(zhuǎn)化的思想,即有現(xiàn)成的方法就用現(xiàn)成的方法來解,沒有現(xiàn)成的方法就轉(zhuǎn)化為一個(gè)以前解過的方法來解.轉(zhuǎn)化的基本策略是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

        【場(chǎng)景二】

        曹沖稱象的故事,其問題解決主要分為兩步:

        第一步:把大象的質(zhì)量(很難解決)轉(zhuǎn)化為在石頭的質(zhì)量(容易解決);

        第二步:通過解決石頭的質(zhì)量來解決大象的質(zhì)量,如圖1所示.

        曹沖稱象的解決過程正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想和化整為零的方法,如要解決一塊不規(guī)則的橡皮泥的體積,可將它制成長(zhǎng)方體來求,等等,都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.數(shù)學(xué)問題的解決,總離不開轉(zhuǎn)化與化歸,如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等,各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段,轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中,數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸,它既是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力.

        【場(chǎng)景三】

        生:我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,有哪些地方用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想?

        師:其實(shí)我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)從小學(xué)一年級(jí)就開始滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想,如小學(xué)先學(xué)加法運(yùn)算,然后將減的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加的運(yùn)算,同樣除的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘的運(yùn)算.高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、三角函數(shù)中公式間的轉(zhuǎn)化、角與角之間的轉(zhuǎn)化等等.

        【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)是客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映,數(shù)學(xué)知識(shí)體系中充滿了轉(zhuǎn)化,數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是.通過符號(hào)法則,有理數(shù)四則運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算;解方程就是應(yīng)用消元、降次方法的一種轉(zhuǎn)化;平面圖形經(jīng)過延拓、折疊構(gòu)成空間形體,而空間問題通常需要轉(zhuǎn)化成平面問題來加以研究解決;高維向低維轉(zhuǎn)化,多元向一元轉(zhuǎn)化,高次向低次轉(zhuǎn)化,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化,無限向有限的轉(zhuǎn)化等,都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

        【場(chǎng)景四】

        分析:α是未知角,而α,α+β為已知角,按照轉(zhuǎn)化和化歸的基本原則,將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題,即利用sinβ=sin[(α+β)a]將求sinβ的問題轉(zhuǎn)化為求α,α+β的三角函數(shù)值.

        【點(diǎn)評(píng)】三角變換問題的解決中,我們需要觀察角、函數(shù)名之間的差異,運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系,選擇恰當(dāng)?shù)墓?,促使差異的轉(zhuǎn)化.如從函數(shù)名稱的角度采取切化弦(有時(shí)也可考慮“弦化切”),異名化同名(使函數(shù)的名稱盡量統(tǒng)一)的策略;從角的角度抓住角之間的規(guī)律(如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等)而采取異角化同角的策略.

        【轉(zhuǎn)化與化歸的基本原則】(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決;(2)簡(jiǎn)單化原則:將復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單問題,通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解決,達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據(jù);(3)和諧化原則:化歸問題的條件或結(jié)論,使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式,或者轉(zhuǎn)化命題,使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或使其方法符合人們的思維規(guī)律;(4)直觀化原則:將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決;(5)正難則反原則:當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí),可考慮問題的反面,設(shè)法從問題的反面去探求,使問題獲解.

        綜上所述,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法并非數(shù)學(xué)獨(dú)有,當(dāng)你面對(duì)問題,思維受阻時(shí),想要尋求簡(jiǎn)單方法,如利用某種轉(zhuǎn)化使問題得到解決,這種轉(zhuǎn)化是有效的,同時(shí)也是成功的思維方式.

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