郭守存，李殿起，尚志強(qiáng),張春鵬，魏爽

(沈陽工業(yè)大學(xué)， 遼寧 沈陽 110023)

·設(shè)計(jì)計(jì)算·

基于MATLAB的非圓行星齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

郭守存，李殿起，尚志強(qiáng),張春鵬，魏爽

(沈陽工業(yè)大學(xué)， 遼寧 沈陽 110023)

非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)是液壓馬達(dá)的重要組成部分，非圓行星齒輪的設(shè)計(jì)正確與否將影響液壓馬達(dá)的工作特性。本文將基于MATLAB對(duì)4-6型非圓行星齒輪的節(jié)曲線和齒廓進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過三維軟件完成非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)的建模,在建模的基礎(chǔ)上對(duì)齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行特性分析，為非圓行星齒輪液壓馬達(dá)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

非圓齒輪；MATLAB；節(jié)曲線；齒廓

0 前言

隨著機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，對(duì)機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的復(fù)雜化、多樣化的要求愈來愈多，當(dāng)今的齒輪傳動(dòng)很難滿足人們的需求。人們突破傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)圓形齒輪傳動(dòng)的局限而發(fā)明了實(shí)現(xiàn)變傳動(dòng)比的非圓齒輪。通過研究發(fā)現(xiàn)非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)具有傳動(dòng)穩(wěn)定、結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)精度高 、速比變化范圍大和易于實(shí)現(xiàn)齒輪動(dòng)平衡等優(yōu)點(diǎn)[1]。近年來，以非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)為泵體的低速大扭矩液壓馬達(dá)的運(yùn)用也日益凸顯，但是大部分泵體都采用3-4型非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)[2]，如圖1所示。為了進(jìn)一步分析仿真和實(shí)驗(yàn)研究非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)在液壓馬達(dá)中的工作特性，本文將基于MATLAB軟件對(duì)4-6型非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，首先對(duì)齒輪節(jié)曲線和齒廓的非線性問題進(jìn)行求解[3，4]，其次通過SolidWorks三維建模完成對(duì)非圓行星齒輪的機(jī)構(gòu)整體設(shè)計(jì)，再次在建模的基礎(chǔ)上進(jìn)行機(jī)構(gòu)特性分析?；贛ATLAB軟件簡化了設(shè)計(jì)過程，提高了設(shè)計(jì)精度和減少了計(jì)算誤差，為非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)的研究及其應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。

1.太陽能 2.行星輪 3.內(nèi)齒圈圖1 3-4型非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)Fig.1 3-4 non-circular planetary gear mechanism

1 基于MATLAB對(duì)節(jié)曲線設(shè)計(jì)

非圓齒輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中的支承是依靠非圓太陽輪及非圓內(nèi)齒圈節(jié)曲線的特殊幾何形狀及運(yùn)動(dòng)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的, 因此合理的節(jié)曲線設(shè)計(jì)是非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)正常工作的關(guān)鍵。

圖2是4-6型非圓齒輪行星輪系簡圖[5]，非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)包括：內(nèi)齒圈1、行星輪2和太陽輪3。行星輪是標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪,內(nèi)齒圈和太陽輪是非圓齒輪。內(nèi)齒圈的節(jié)曲線邊數(shù)是n1，太陽輪節(jié)曲線的邊數(shù)是n3，行星輪2的節(jié)圓半徑是r2。

坐標(biāo)系O1x1y1是靜坐標(biāo)系，坐標(biāo)系O3x3y3是動(dòng)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)在內(nèi)齒圈和太陽輪的中心，坐標(biāo)系O2x2y2是與太陽輪固連的動(dòng)坐標(biāo)系，在初始位置，坐標(biāo)軸O1y1、O2y2和O3y3在同一個(gè)方向上。行星輪分別與內(nèi)齒圈和太陽輪嚙合，行星輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，太陽輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度后，行星輪的節(jié)圓與內(nèi)齒圈的節(jié)圓曲線在C點(diǎn)接觸，與太陽輪在D點(diǎn)接觸。C點(diǎn)是內(nèi)齒圈和行星輪的絕對(duì)瞬心，D點(diǎn)是太陽輪和行星輪的相對(duì)瞬心，O1點(diǎn)是內(nèi)齒圈和太陽輪的絕對(duì)瞬心，根據(jù)文獻(xiàn)中的三心定理C,D,O1三點(diǎn)必在一條連線上[6]。

選定內(nèi)齒圈1為高階橢圓節(jié)曲線。

(1)

圖2 非圓行星齒輪結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Non-circular planetary gear structure

令C點(diǎn)為節(jié)曲線切線的正向和非圓齒輪內(nèi)齒圈向徑r1之間的夾角為μ1，由數(shù)學(xué)微分幾何方面的知識(shí)可知[7]：

(2)

(3)

在動(dòng)坐標(biāo)系O3x3y3中，D的極徑為r3，D點(diǎn)的極角為φ3。太陽輪的回轉(zhuǎn)角速度ω3，由此得到動(dòng)坐標(biāo)O3x3y3的回轉(zhuǎn)角速度為

(4)

(5)

(6)

太陽輪節(jié)曲線的極坐標(biāo)方程為

(7)

在工程應(yīng)用中, 聯(lián)立以上方程式，求內(nèi)齒圈的節(jié)曲線方程和極角方程是很難得到解析解的, 而是通過數(shù)值積分的方法求解r3和φ3[8]。本文采用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值求解，取Rz=47.175 mm，e=0.0729，n1=6，并把節(jié)曲線以圖形形式表示出來,如圖3所示。

圖3 非圓行星齒輪節(jié)曲線Fig.3 Non-circular planetary gear pitch curve

2 基于MATLAB對(duì)非圓齒廓設(shè)計(jì)

齒輪副是有一個(gè)齒輪的齒廓推動(dòng)另一個(gè)齒輪的齒廓傳遞運(yùn)動(dòng)的，所以深入探討齒輪的傳動(dòng)性能，不僅要研究齒輪副及輪系的節(jié)曲線，并且要研究齒廓的形成過程[9]。

用齒廓法求非圓齒輪的可用齒廓,分別求出內(nèi)齒圈和太陽輪齒廓，齒廓分為左右齒廓，下面介紹求取右齒廓的方法。

圖4 非圓齒輪齒廓的形成Fig.4 The formation of tooth profile of non-circular gear

(8)

式中，tu為齒輪基圓的半徑和齒輪齒槽的對(duì)稱線之間的夾角。

(9)

式中，x為行星齒輪2的變位系數(shù)。

(10)

式中，αs為Fs點(diǎn)的壓力角。

(11)

圖5 非圓行星齒輪齒廓Fig.5 The tooth profile non-circular planetary gear

3 非圓齒輪三維建模及特性分析

通過MATLAB對(duì)節(jié)曲線和齒廓設(shè)計(jì)，將分別繪制太陽輪和內(nèi)齒圈齒廓導(dǎo)入SolidWorks進(jìn)行三維建模[10]，根據(jù)已知行星輪的參數(shù)直接從標(biāo)準(zhǔn)庫中調(diào)取標(biāo)準(zhǔn)行星齒輪，并進(jìn)行非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)的裝配，如圖6所示。

圖6 非圓行星齒輪三維視圖Fig.6 3D views of non-circular planetary gear

下面通過SolidWorks中motion分析對(duì)非圓行星齒輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析[11]，對(duì)非圓太陽輪添加一個(gè)扭矩，并分別對(duì)太陽輪和行星輪之間、行星輪和內(nèi)齒圈之間添加接觸約束，使其非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)可以正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

(1)行星齒輪齒廓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈擺線,如圖7所示。在太陽輪運(yùn)轉(zhuǎn)一周的過程中，相鄰行星輪之間容積發(fā)生多次變化，當(dāng)非圓齒輪應(yīng)用到液壓馬達(dá)中，將會(huì)比普通齒輪液壓馬達(dá)工作效率高。

圖7 行星輪的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 Motion trajectory of planetary gear

(2)當(dāng)太陽輪給定一個(gè)穩(wěn)定的扭矩時(shí)，非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)太陽輪的角速度變化是一個(gè)幾乎水平的直線，如圖8所示。在非圓齒輪運(yùn)動(dòng)的過程中由于齒輪間的接觸摩擦?xí)a(chǎn)生微小的變化。

圖8 太陽輪的角速度Fig.8 Angular velocity of solar gear

(3)行星齒輪機(jī)構(gòu)行星輪的角速度變化規(guī)律如圖9所示。當(dāng)太陽輪輸入一個(gè)穩(wěn)定的扭矩，行星齒輪的角速度呈現(xiàn)出一定規(guī)律的變化，在周期性曲線上有很明顯的鋸齒形波動(dòng)，說明在非圓行星齒輪運(yùn)動(dòng)過程中，會(huì)出現(xiàn)不同程度的波動(dòng)。當(dāng)非圓齒輪機(jī)構(gòu)運(yùn)用到液壓馬達(dá)或其他機(jī)構(gòu)時(shí)，也就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的影響。

圖9 行星輪的角速度Fig.9 Angular velocity of planetary gear

4 結(jié)論

(1)本文基于MATLAB對(duì)高階橢圓非圓行星齒輪進(jìn)行設(shè)計(jì)，其他同類型非圓齒輪，如齒輪節(jié)曲線是短幅外擺線、三段圓弧等設(shè)計(jì)與本文設(shè)計(jì)方法相同。

(2)本文基于MATLAB軟件對(duì)節(jié)曲線和齒廓的非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解，保證了求解結(jié)果的精度，也簡化了計(jì)算過程和計(jì)算誤差。

(3)非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)考慮了變位系數(shù)x,防止齒輪跟切的同時(shí)，提高了齒輪齒根嚙合強(qiáng)度。

(4)通過對(duì)非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)特性分析，得知在非圓齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中會(huì)產(chǎn)生一些波動(dòng)。

(5)本文通過三維軟件進(jìn)行建模，有利于分析非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性,并通過分析反應(yīng)出非圓行星齒輪的應(yīng)用前景。

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Structural design of non-circular planetary gear based on MATLAB

GUO Shou-cun，LI Dian-qi，SHANG Zhi-qiang，ZHANG Chun-peng，WEI Shuang

(School of Mechanical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110023, China)

Non-circular planetary gear mechanism is a key element of hydraulic motor. A properly designed non-circular planetary gear is essential for the operating characteristics of the hydraulic motor. An analysis of the pitch curve and tooth profile for 4-6 non-circular planetary gear were put forward and programmed by the MATALB software，and a 3D structural design model of non-circular planetary gear was obtained. Based on characteristic analysis of the model, some theoretical basis are presented for the design and application of non-circular planetary gear hydraulic motor.

non-circular gear; MATLAB; pitch curve; tooth profile

2015-10-13；

2015-12-24

國家自然科學(xué)基金(No.51105257,No.51310105025)；遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長計(jì)劃(No.LQJ2014012)；中國博士后科學(xué)基金(No.2015M571327)

郭守存(1988-)，男，沈陽工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)榉菆A齒輪的嚙合原理及應(yīng)用。

TH132.424

A

1001-196X(2016)04-0049-04