摘要：提出一種利用擴(kuò)展有限元法（eXtended Finite Element Method，XFEM）和虛擬裂縫模型對(duì)混凝土斷裂過程區(qū)（Fracture Process Zone， FPZ）進(jìn)行研究的方法.利用該方法可以求出裂縫擴(kuò)展過程中混凝土FPZ的長(zhǎng)度及位移和應(yīng)力分布.利用該方法對(duì)一個(gè)三點(diǎn)彎曲混凝土梁進(jìn)行研究，考察骨料粒徑、不同軟化律和不同初始裂縫長(zhǎng)度對(duì)FPZ的影響.

關(guān)鍵詞：混凝土； 擴(kuò)展有限元法； 虛擬裂縫模型； 斷裂過程區(qū)； 裂縫擴(kuò)展； 軟化律

中圖分類號(hào)： TV313 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

Abstract：A method is proposed to study the Fracture Process Zone（FPZ） of concrete based on eXtended Finite Element Method（XFEM） and a fictitious crack model. The length， displacement and stress distribution of FPZ during the crack growth process can be obtained by the method. A threepoints bending concrete beam is studied and the effect of the aggregate size， different softening laws and different initial crack length on FPZ is studied.

Key words：concrete； extended finite element method； fictitious crack model； fracture process zone； crack growth； softening law

0 引 言

混凝土材料是一種準(zhǔn)脆性材料，其斷裂行為的重要特征是真實(shí)裂紋前方存在斷裂過程區(qū)（Fracture Process Zone，F(xiàn)PZ）.在這一區(qū)域存在微裂縫、集料互鎖、粗糙表面的接觸和摩擦等非線性現(xiàn)象，從而使得混凝土的斷裂行為呈現(xiàn)非線性特性.[13]由于FPZ的尺寸通常與混凝土構(gòu)件尺寸在同一數(shù)量級(jí)，采用傳統(tǒng)的線彈性斷裂力學(xué)分析混凝土結(jié)構(gòu)的斷裂問題已不適合.

FPZ是混凝土斷裂力學(xué)中一個(gè)極為重要的概念.混凝土FPZ的研究與混凝土裂縫模型的研究緊密相關(guān)，按采用裂縫模型的不同，對(duì)混凝土FPZ的研究方法可大致分為2類.

1）基于黏聚裂縫模型的方法.這類模型適合于數(shù)值分析，其中適用于混凝土材料的黏聚裂縫模型又以虛擬裂縫模型[4]和裂縫帶模型[5]為代表.

2）基于彈性等效裂縫模型的方法.這類模型一般用于解析計(jì)算混凝土結(jié)構(gòu)斷裂問題，按所使用的彈性等效原則的不同，這類裂縫模型又包括兩參數(shù)斷裂模型[6]、尺寸效應(yīng)模型[7]、等效裂縫模型[8]和雙K斷裂模型[9].

由于解析裂縫模型的適用范圍有限，本文重點(diǎn)關(guān)注黏聚裂縫模型，特別是虛擬裂縫模型.

虛擬裂縫模型將FPZ簡(jiǎn)化為一條虛擬的集中裂縫并將FPZ的非線性行為集中到該虛擬裂縫上考慮.采用虛擬裂縫模型結(jié)合傳統(tǒng)有限元法，可以得到較為準(zhǔn)確的裂縫擴(kuò)展路徑及虛擬裂縫面的張開位移和應(yīng)力等物理量，但由于在傳統(tǒng)有限元法中采用單元邊界模擬裂縫，因此隨著裂縫的擴(kuò)展需不斷進(jìn)行網(wǎng)格重剖以保持單元邊界與裂縫擴(kuò)展路徑一致[10]，這極大地限制該方法的使用.

為克服傳統(tǒng)有限元法分析斷裂問題時(shí)遇到的網(wǎng)格重剖難題，BELYTSCHKO等[11]提出擴(kuò)展有限元法（eXtended Finite Element Method，XFEM），基于單位分解定理，在傳統(tǒng)有限元連續(xù)位移場(chǎng)中引入能描述裂紋兩側(cè)位移間斷特性的非連續(xù)位移項(xiàng)，使裂紋的描述獨(dú)立于計(jì)算網(wǎng)格，因而無須隨著裂紋的擴(kuò)展不斷進(jìn)行網(wǎng)格重剖.擴(kuò)展有限元法結(jié)合虛擬裂縫模型被很多學(xué)者應(yīng)用于混凝土結(jié)構(gòu)的斷裂問題研究，成功再現(xiàn)許多試驗(yàn)結(jié)果，顯示出很好的應(yīng)用前景.[1214]

本文提出一種基于XFEM和虛擬裂縫模型的混凝土FPZ計(jì)算方法，利用該方法可以準(zhǔn)確計(jì)算混凝土結(jié)構(gòu)裂縫擴(kuò)展過程中虛擬裂縫的范圍、張開位移和應(yīng)力分布等.

1 虛擬裂縫模型的擴(kuò)展有限元法

1.1 虛擬裂縫模型

虛擬裂縫模型是在黏聚裂縫模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，該模型把混凝土裂縫分解為2部分（見圖1）：真實(shí)物理裂縫區(qū)（完全開裂區(qū)）和虛擬裂縫區(qū)（微裂區(qū)）.[1]前者代表宏觀的自由表面裂縫，裂縫表面無應(yīng)力作用；后者將帶狀FPZ簡(jiǎn)化為一條分離裂縫，即虛擬裂縫，虛擬裂縫表面由于微裂縫作用、集料互鎖等仍然可以承受應(yīng)力作用，且承擔(dān)應(yīng)力的大小與虛擬裂縫的張開位移相關(guān).虛擬裂縫模型概念清楚、模型簡(jiǎn)潔，被認(rèn)為是基本的混凝土裂縫模型.

虛擬裂縫模型采用如下假定：1）材料非線性完全集中于虛擬裂縫區(qū)，虛擬裂縫以外的區(qū)域?yàn)榫€彈性材料；2）虛擬裂縫表面存在的黏聚應(yīng)力τ與虛擬裂縫的張開位移w有關(guān)，一般可用τw張拉軟化律曲線表示.常用的線性和雙線性軟化律見圖2，曲線下方的面積即為混凝土材料的斷裂能Gf=∫w00τdw，其意義是形成單位面積裂縫所吸收的能量.

虛擬模型的引入使得對(duì)FPZ的研究可以通過對(duì)虛擬裂縫的研究進(jìn)行，通過研究虛擬裂縫張開位移及其表面的應(yīng)力分布即可獲取FPZ的變形和應(yīng)力情況.

1.2 XFEM

由于虛擬裂縫面上的黏聚應(yīng)力τ通常為虛擬裂縫張開位移的非線性函數(shù)，由式（5d）可知fcoh一般也為節(jié)點(diǎn)位移未知量的非線性函數(shù)，因此有限元方程系統(tǒng)的式（5a）和式（6）必須采用迭代方法求解.相關(guān)求解思路及裂縫擴(kuò)展過程模擬方法可參見文獻(xiàn)[14]，這里不再詳述.

2 虛擬裂縫計(jì)算方法

虛擬裂縫的范圍及其上分布的黏聚應(yīng)力和虛擬裂縫張開位移可以在有限元方程系統(tǒng)的迭代求解過程中予以求解，思路如下.

虛擬裂縫擴(kuò)展路徑被單元邊界分割為許多候選虛擬裂縫段，見圖5a.在計(jì)算過程中，對(duì)每個(gè)候選虛擬裂縫段計(jì)算其高斯積分點(diǎn)上的裂縫張開位移w.

1）首先由裂縫擴(kuò)展路徑計(jì)算裂縫與單元邊界交點(diǎn)在整體笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)xi和xj，見圖5b.

求得高斯點(diǎn)的裂縫張開位移后，判斷候選虛擬裂縫段屬于黏聚裂縫還是真實(shí)裂縫，僅當(dāng)候選虛擬裂縫段上所有高斯點(diǎn)的張開位移w均滿足0≤w≤w0時(shí)，才認(rèn)為該段裂縫位于FPZ，屬于黏聚裂縫；若有至少一個(gè)高斯點(diǎn)張開位移滿足w>w0，則該裂縫段成為自由表面裂縫.

在每一次平衡迭代計(jì)算過程中均需對(duì)所有的候選虛擬裂縫段進(jìn)行上述計(jì)算.同時(shí)需注意，一旦候選虛擬裂縫段變成真實(shí)裂縫的一部分，則在后續(xù)計(jì)算中該裂縫段將不再作為候選的虛擬裂縫段.在計(jì)算過程中，對(duì)每一個(gè)裂縫段采用3個(gè)高斯點(diǎn)計(jì)算其張開位移.

當(dāng)系統(tǒng)平衡方程得到滿足時(shí)，黏聚裂縫段及其高斯點(diǎn)的張開位移即被確定，同時(shí)還可計(jì)算其長(zhǎng)度和黏聚應(yīng)力分布，從而確定FPZ的長(zhǎng)度、張開位移和應(yīng)力分布.

3 數(shù)值算例

3.1 算例1 雙懸臂梁

對(duì)于該算例，文獻(xiàn)[13]給出用偽邊界積分（Pseudo Boundary Integral，PBI）方法得到的解，本算例以此作為比較的標(biāo)準(zhǔn).由于在偽邊界積分方法中裂紋的擴(kuò)展路徑是預(yù)先指定的，為保持一致性，本算例指定裂縫沿水平方向擴(kuò)展，即沿圖6中虛線所示路徑擴(kuò)展.有限元模型采用119×59的均勻網(wǎng)格，按平面應(yīng)變問題進(jìn)行計(jì)算，裂縫每一步擴(kuò)展長(zhǎng)度為4 mm.

圖7和8分別給出裂縫擴(kuò)展至第9、34和58步時(shí)的虛擬裂縫張開位移和虛擬裂縫表面的應(yīng)力分布.圖中的裂縫張開位移和裂縫表面應(yīng)力分別用臨界裂縫張開位移w0和混凝土抗拉強(qiáng)度ft進(jìn)行無量綱化處理.

計(jì)算結(jié)果顯示采用本文方法計(jì)算得到的虛擬裂縫張開位移和表面應(yīng)力分布與文獻(xiàn)[13]給出的結(jié)果完全一致，這說明本文方法和程序準(zhǔn)確.

3.2 算例2 三點(diǎn)彎曲混凝土梁試件

混凝土梁試件見圖9.梁的幾何尺寸為：厚度t=b=150 mm，l=600 mm.取文獻(xiàn)[15]給出的C3等級(jí)的混凝土進(jìn)行研究，其彈性模量和抗拉強(qiáng)度分別為E=34.65 GPa，ft=3.5 MPa，計(jì)算時(shí)取ν=0.1.

3.2.1 不同骨料粒徑及不同軟化律的影響

考慮3種不同骨料粒徑對(duì)FPZ的影響，對(duì)應(yīng)的

最大骨料粒徑dmax分別為8，16和32 mm.不同的骨料粒徑主要影響混凝土材料的斷裂能，3種骨料粒徑對(duì)應(yīng)的斷裂能及采用線性和雙線性軟化律所需的參數(shù)見表1.

對(duì)應(yīng)峰值載荷時(shí)虛擬裂縫表面的張開位移和應(yīng)力分布分別見圖10和11.不論是采用線性軟化律還是雙線性軟化律，不同骨料粒徑對(duì)應(yīng)的虛擬裂縫表面張開位移和表面應(yīng)力分布呈大致相同的規(guī)律，但FPZ的長(zhǎng)度卻不同.大致來說，骨料粒徑越大，對(duì)應(yīng)峰值載荷的FPZ長(zhǎng)度越大，特別是采用線性軟化曲線時(shí)這種現(xiàn)象非常明顯.需注意的是，當(dāng)載荷達(dá)到峰值載荷時(shí)，混凝土FPZ并未發(fā)展至飽和程度，這可以從圖10中x=0時(shí)w0看出.

裂縫擴(kuò)展過程中FPZ長(zhǎng)度最大時(shí)虛擬裂縫表面的位移和應(yīng)力分布分別見圖12和13.

不同骨料粒徑對(duì)應(yīng)的虛擬裂縫表面的位移分布遵循的基本規(guī)律相同，但采用線性軟化律和雙線性軟化律得到的虛擬裂縫表面應(yīng)力分布卻大不相同.這是因?yàn)榇藭r(shí)FPZ已充分發(fā)展.從圖12和13中可以看出：x=0時(shí)，虛擬裂縫張開位移已經(jīng)達(dá)到臨界值w0，而對(duì)應(yīng)的虛擬裂縫表面應(yīng)力為0；在整個(gè)FPZ上位移從0至w0連續(xù)變化，由于雙線性軟化律曲線存在轉(zhuǎn)折點(diǎn)，因此此時(shí)的應(yīng)力分布曲線也必然出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn).

加載過程中FPZ長(zhǎng)度隨所加集中載荷的變化曲線見圖14.不論是采用線性軟化律還是雙線性軟化律，當(dāng)載荷相同時(shí)，F(xiàn)PZ長(zhǎng)度隨骨料粒徑增加而增大；FPZ長(zhǎng)度在峰值載荷處并未達(dá)到最大值，在峰值載荷過后裂縫進(jìn)入非穩(wěn)定擴(kuò)展路徑并擴(kuò)展至一定階段時(shí)，F(xiàn)PZ長(zhǎng)度達(dá)到最大值.在骨料粒徑相同的情況下，采用雙線性軟化律得到的FPZ長(zhǎng)度大于采用線性軟化律得到的長(zhǎng)度；采用雙線性軟化律得到的峰值載荷和FPZ長(zhǎng)度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的載荷均小于采用線性軟化律時(shí)得到的結(jié)果.

3.2.2 不同初始裂縫長(zhǎng)度影響

為考察不同初始裂縫長(zhǎng)度對(duì)虛擬裂縫張開位移和表面應(yīng)力分布的影響，考慮線性軟化律情況，令初始裂縫長(zhǎng)度從0.01b變化至0.25b.

不同初始裂縫長(zhǎng)度時(shí)虛擬裂縫張開位移和表面應(yīng)力分布分別見圖15和16.

隨著初始裂縫長(zhǎng)度的增大，虛擬裂縫張開位移增大，而虛擬裂縫的表面應(yīng)力變小.需指出的是，在初始裂縫從0.01b變化至0.25b過程中，虛擬裂縫長(zhǎng)度保持不變；若初始裂縫長(zhǎng)度達(dá)到0.30b，則虛擬裂縫的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化.

4 結(jié) 論

提出一種利用XFEM結(jié)合虛擬裂縫模型對(duì)混凝土FPZ進(jìn)行研究的方法，數(shù)值算例表明該方法準(zhǔn)確可靠.對(duì)一個(gè)三點(diǎn)彎曲混凝土梁試件在裂縫擴(kuò)展過程中的FPZ特性進(jìn)行研究，結(jié)果如下.

1）不同骨料粒徑對(duì)應(yīng)的混凝土FPZ的位移和應(yīng)力分布遵循大致相同的規(guī)律.

2）在外載荷達(dá)到峰值載荷時(shí)，混凝土FPZ并未發(fā)展至飽和程度；在峰值載荷過后，當(dāng)結(jié)構(gòu)裂縫繼續(xù)非穩(wěn)定擴(kuò)展至某一階段時(shí)混凝土FPZ方發(fā)展至飽和.

3）在相同載荷水平下，骨料粒徑越大，對(duì)應(yīng)的FPZ長(zhǎng)度越大.

4）隨著結(jié)構(gòu)初始裂縫長(zhǎng)度的增大，F(xiàn)PZ的張開位移增大，而應(yīng)力卻減小.

本文提出的方法原則上適用于任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)裂縫擴(kuò)展過程中的FPZ的研究，且可以考慮任意軟化律，但本文只對(duì)I型斷裂問題進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)于II型甚至復(fù)合型斷裂問題，本文方法是否有效尚需進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐世烺. 混凝土斷裂力學(xué)[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2011： 129169.

[2]陳瑛， 姜弘道， 喬丕忠， 等. 混凝土黏聚開裂模型若干進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展， 2005， 35（3）： 377390.

CHEN Ying， JIANG Hongdao， Qiao Pizhong， et al. Developments on concrete cohesive model[J]. Advances in Mechanics， 2005， 35（3）： 377390.

[3]卿龍邦， 李慶斌， 管俊峰， 等. 基于虛擬裂縫模型的混凝土斷裂過程區(qū)研究[J]. 工程力學(xué)， 2012， 29（9）： 112116.

QING Longbang， LI Qingbin， GUAN Junfeng， et al. Study of concrete fracture process zone based on fictitious crack model[J]. Engineering Mechanics， 2012， 29（9）： 112116.

[4]HILLERBORG A， MODER M， PETERSON P E. Analysis of crack propagation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements[J]. Cement and Concrete Research， 1976， 6（6）： 773782.

[5]BAANT Z P， OH B H. Crack band theory for fracture of concrete[J]. Matériaux et Construction， 1983， 16（3）： 155177.

[6]JENQ Y S， SHAH S P. Two parameter fracture model for concrete[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1985， 111（10）： 12271241.

[7]BAANT Z P. Size effect in blunt fracture： concrete， rock， metal[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1983， 110（4）： 518535.

[8]NALLATHAMBI P， KARIHALOO B L. Determination of specimensize independent fracture toughness of plain concrete[J]. Magazine of Concrete Research， 1986， 38（135）： 6776.

[9]XU S L， REINHARDT H W. A simplified method for determining doubleK fracture parameters for threepoint bending tests[J]. International Journal of Fracture， 2000， 104（2）： 181209.

[10]楊慶生， 楊衛(wèi). 斷裂過程的有限元模擬[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 1997， 14（4）： 3338.

YANG Qingsheng， YANG Wei. Finite element simulation of fracture process[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 1997， 14（4）： 3338.

[11]BELYTSCHKO T， GRACIE R， VENTURA G. A review of extended/generalized finite element methods for material modeling[J]. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering， 2009， 17（4）： 043001.

[12]MOS N， BELYTSCHKO T. Extended finite element method for cohesive crack growth[J]. Engineering Fracture Mechanics， 2002， 69（7）： 813833.

[13]ZI G， BELYTSCHKO T. New cracktip elements for XFEM and applications to cohesive cracks[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2003， 57（15）： 22212240.

[14]張曉東， 丁勇， 任旭春. 混凝土裂紋擴(kuò)展過程模擬的擴(kuò)展有限元法研究[J]. 工程力學(xué)， 2013， 30（7）： 1421.

ZHANG Xiaodong， DING Yong， REN Xuchun. Simulation of the concrete crack propagation process with the extended finite element method[J]. Engineering Mechanics， 2013， 30（7）： 1421.

[15]SHAH S P. Fracture toughness of cementbased materials[J]. Materials and Structures， 1988， 21（2）： 145150.

（編輯 武曉英）