小物和小理的物理對話錄(33)———通量、電通量與磁通量

◇北京何龍蔣煒波孟衛(wèi)東(特級教師)

前言:小物和小理是2名普通的高中生,他們酷愛物理,在學(xué)習(xí)高中物理的過程中,小物經(jīng)常向小理提出許多刁鉆而有趣的物理問題,了解他們的故事也能讓你的物理達(dá)到新的高度．

1對話錄

小物:學(xué)習(xí)了這么久的電場和磁場,我感覺自己在一些較難的問題上已經(jīng)比較清楚了,電和磁的統(tǒng)一關(guān)系也愈發(fā)明了,尤其是電磁感應(yīng)和電磁場的學(xué)習(xí)讓我更加理解了電與磁的本質(zhì)聯(lián)系．

小理:我也是一樣的感覺,以前一直覺得電學(xué)很抽象,很難懂,但是當(dāng)我仔細(xì)研究，深入理解了電與磁的種種現(xiàn)象之后,也覺得對電與磁的學(xué)習(xí)更加輕松了．

小物:這幾天我有一種感覺,那些很深很難的問題已經(jīng)能夠解釋了,但是總覺得一些基本的概念還不夠清晰．

小理:哦?什么概念你覺得不夠清晰?

小物:回想起來,電場部分的很多概念,像電場、電勢能、電勢、電勢差等,現(xiàn)在看來這些概念的建立體系還是比較有邏輯的,一環(huán)接一環(huán)，能夠依次推導(dǎo)得出.磁場的概念也是如此,不過有一個概念感覺突然就出現(xiàn)了,沒有找到概念的來源,一直覺得很別扭,這個概念就是磁通量．

小理:我也覺得當(dāng)時突然就冒出這么一個物理量了,然后就是學(xué)習(xí)電磁感應(yīng)的時候使用磁通量的概念計算感應(yīng)電動勢．

小物:對啊,這么重要的一個概念就只是這樣突然冒出來,不應(yīng)該??！應(yīng)該有依據(jù)或者推導(dǎo)吧?或者說磁通量的物理意義究竟是什么呢?

小理:這個我也不大清楚,讓我想想……

2小理的思考

物理每一章節(jié)的概念學(xué)習(xí)都是非常成體系的,前后概念之間的聯(lián)系也非常緊密,相互之間能夠有較為清晰的邏輯聯(lián)系．并且每一個概念都有相應(yīng)的具體推導(dǎo)過程、存在的意義以及概念運用等環(huán)節(jié)．相比之下,磁通量的定義和得到方式的確比較突兀,沒有交代清楚概念的起源和存在的意義．

2.1　流量的概念

我們知道物理中有一個概念叫作流量,用于描述液體的流動,其定義為通過橫截面積的液體體積除以時間,即q=V/t. 將公式稍加變形,可以得到流量的另一種計算方式

即流體的流量等于流體的流速與流體路徑的橫截面積的乘積．這里需要注意的是，橫截面積S與流速是相互垂直的,不是成任意角度的．

在物理上,速度和面積都是矢量,速度的矢量方向自不必說,面積的矢量方向為與該面相垂直的法線方向,因此再這樣的數(shù)學(xué)工具下,流量的計算方式可抽象為

θ為速度方向和面積法線方向的矢量夾角,因此可知流量有正負(fù)之分,但是正負(fù)號并不代表流量的大小,也不表示流量方向(事實上由矢量運算規(guī)則可知流量為標(biāo)量,沒有方向),正負(fù)號可表示流體相對某一選擇的橫截面是“流入”或是“流出”．

2.2　通量的概念

通量的概念可以借鑒流量的概念得到,即某一矢量與某一面積的矢量點乘為該矢量對應(yīng)的通量,即

Φ=A·S=AScosθ.

矢量通量描述的是矢量“穿入”或者“穿出”該面積的“流量”,但是經(jīng)過抽象之后,通量已經(jīng)脫離流量的概念了.具體到一些實際情況下可以退化到流量,比如液體的流量.空氣流動的流量都屬于通量概念．

2.3　電場的通量

電場強(qiáng)度也是矢量,因此電場也有相應(yīng)的通量——電通量,其定義方式為電場強(qiáng)度與面積的矢量點乘,即

Φ=E·S=EScosθ.

如果面積不是平面而是曲面,那么可以將面積分為若干個小塊面積,求出每一塊面積的電通量之后，再將每一部分的電通量進(jìn)行求和就行了,因為電通量本身是標(biāo)量．

電通量有什么物理運用價值呢?我們看一個例子:帶電荷量為Q的正電荷,位于一個半徑為R的球面的球心處,球面處的電場與球面始終垂直,那么穿過球面的電通量為

可見電通量與場源電荷直接相關(guān),而且對于確定的電荷量,不論我們選擇的球面的半徑多大,球面對應(yīng)的電通量都是一個確定的值,這個值由場源電荷的電荷量決定．可見,電通量的值由場源電荷決定,但是又等于場源電荷,那么電通量描述的是什么呢?

在高中物理中我們形象地利用電場線來描述電場的強(qiáng)弱和方向,即電場線的疏密程度表示電場的強(qiáng)度大小,電場線的切線方向即為電場強(qiáng)度的方向.那么如何描述電場線的疏密程度呢?常用的方式是選定一個和電場垂直的單位面積,比較穿過面積的電場線的條數(shù)即可.自然穿過垂直的單位面積的電場線數(shù)量越多,場強(qiáng)越強(qiáng)．也就是說，場強(qiáng)可以用穿過垂直單位面積的電場線數(shù)量(N)表示,即E=N/S,因此電場線的數(shù)量為N=ES.

可以看到這就是電通量,因此電通量描述的就是電場線的數(shù)量,這樣就能夠解釋為什么包裹點電荷的面的電通量不變化了,因為點電荷發(fā)出的電場線數(shù)量不會變化,因此穿過球面的電場線數(shù)量始終恒定且只由電源決定,即電通量只由場源電荷決定!

不光如此,當(dāng)我們明白這其中的聯(lián)系之后,可以用一種全新的方法求解電場強(qiáng)度,即穿過閉合曲面的電通量始終與閉合曲面包圍的電荷量成正比,即

E·S=4πkQ.

這就是著名的高斯定理,于是對于點電荷周圍的電場強(qiáng)度,可以這樣求解:在距離點電荷r處,作一個半徑為r的以點電荷為球心的球面,由對稱性可知，球面上場強(qiáng)處處相等且垂直于球面,因此

E·S=ES=4πkQ.

因此高斯定理和庫侖定律是等效的,但是高斯定理的使用在很多時候更加方便,比如平行板電容器的電容計算公式的推導(dǎo)．

2.4　平行板電容器電容

如圖1所示，真空中(介電常數(shù)ε為1)的平行板電容器極板的帶電荷量為Q,間距為d,極板面積為S,假定極板間電場是勻強(qiáng)電場,那么畫一個長方體面包裹住一塊極板,則由高斯定理可知

ES=4πkQ.

圖1

又U=Ed,因此電容為

2.5　磁場的通量

與電通量類似,磁通量的計算方式直接利用通量的定義可以得到

Φ=B·S=BScosθ.

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積垂直的時候,磁通量就等于磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積的乘積,與教材上的計算結(jié)果完全相同．因為磁感線的疏密程度反映了磁感應(yīng)強(qiáng)度,因此穿過垂直磁場的單位面積的磁感線數(shù)量即是磁感應(yīng)強(qiáng)度，即B=N/S， 磁感線的數(shù)量為N=BS.

這就是此時的磁通量,因此磁通量也可以理解為垂直穿過單位面積的磁感線的數(shù)量,和電通量的結(jié)論完全一致．這樣理解就不會覺得磁通量的概念很突兀了,有了通量的概念作鋪墊,我們對磁通量的理解就能夠更加深入了．

故事到了最后,小物又給小理提出了一個問題,磁場有沒有類似電場的高斯定理呢?即穿過閉合曲面的磁通量與曲面包裹的什么東西有關(guān)呢?

(作者單位：清華大學(xué)附屬中學(xué))