概率高考重點題型及解題策略

◇山東劉賀

隨著高考改革的不斷推進(jìn),對概率部分考查由以前的單一知識點命題向著綜合性開放性發(fā)展,由純知識性向著實踐性應(yīng)用型改進(jìn).命題不僅僅是考查書本知識,更重要的是運用課本知識解決現(xiàn)實生活中的問題.在知識的交會點命題是近幾年高考命題的一大熱點,命題的考查內(nèi)容主要有古典概型、幾何概型的概率,互斥事件、對立事件、相互獨立事件及獨立重復(fù)試驗的概率,還有一些超幾何分布的特殊概率等．現(xiàn)就將概率高考的重點題型及解題策略總結(jié)如下,供備考同學(xué)們參考使用．

1古典概型的概率

例1(2015年北京)A、B2組各有7位病人,他們服用某種藥物后康復(fù)時間(單位:d)記錄如下:

A組: 10,11,12,13,14,15,16．

B組: 12,13,15,16,17,14,a．

假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨立,從A、B2組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙.

(1) 求甲的康復(fù)時間不少于14 d的概率;

(2) 如果a=25,求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率;

(3) 當(dāng)a為何值時,A、B2組病人康復(fù)時間的方差相等?(結(jié)論不要求證明)．

(1) 甲有7種取法,康復(fù)時間不少于14 d的有3種取法,所以概率P=3/7;

(3) 把B組數(shù)據(jù)調(diào)整為a、12、13、14、15、16、17或12、13、14、15、16、17、a,可見當(dāng)a=11或a=18時,與A組數(shù)據(jù)方差相等.(可利用方差公式加以證明,本題不需要.)

2幾何概型的概率

例2(2015年福建卷) 如圖1,點A的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2,若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于________.

圖1

解幾何概型問題,要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見題型的求解方法.當(dāng)實驗結(jié)果由等可能的無限多個事件組成時,利用古典概型求概率顯然是不可能的,可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長度的比值(1個變量)、面積的比值(2個變量)、體積的比值(3個變量或根據(jù)實際意義)來求,這是解決幾何概型有關(guān)概率問題的關(guān)鍵所在．

3獨立事件、互斥事件的概率

例3(2015年四川卷) 某市A、B2所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A中學(xué)推薦3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,2校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn),由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人組成代表隊.

(1) 求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率.

(2) 某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2) 根據(jù)題意,X的可能取值為1、2、3.

所以X的分布列為:

X123P1/53/51/5

因此,X的期望為

將隨機變量的取值及相應(yīng)的概率寫成分布列形式后，注意pi≥0 (i=1,2,…)；p1+p2+p3+…+pn=1．可用于檢驗所求分布列是否正確．?dāng)?shù)學(xué)期望E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn. 所謂X的數(shù)學(xué)期望就是X所有取值的平均數(shù).如果X的不同值出現(xiàn)的概率都相等,它就是簡單平均數(shù)；如果X的不同值出現(xiàn)的概率不全相等,它就是加權(quán)平均數(shù).解決應(yīng)用問題一定要注意弄清題意,找出題中的關(guān)鍵字詞.在本題中,就要分清楚集訓(xùn)隊與代表隊的區(qū)別.求概率時,如果直接求比較復(fù)雜,就應(yīng)該先求其對立事件的概率.超幾何分布和二項分布是中學(xué)中的2個重要概率分布,本題的概率分布就是一個超幾何分布問題.解好此類問題，不僅要學(xué)好課本知識，更重要的是運用課本知識解決現(xiàn)實生活中的一些問題．作為備考同學(xué)應(yīng)予以高度重視.

總之,高考涉及的概率問題一般有等可能事件的概率(即古典概型)、幾何概型、條件概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立的事件同時發(fā)生的概率(包括n次獨立重復(fù)試驗)．高考中對概率的考查主要以大題形式出現(xiàn),重點在分布列問題與其他章節(jié)內(nèi)容相結(jié)合,但始終離不開各種概率的一般解決求法．可見概率在高考中的考查由課本走向了社會,由單一知識向縱深、知識交會發(fā)展,尤其是概率與統(tǒng)計交會、概率與線性規(guī)劃、概率與現(xiàn)實生活中的一些問題是近幾年高考命題的熱點,這種由簡單思維向復(fù)雜轉(zhuǎn)化,用課本知識解決現(xiàn)實問題是高考改革的方向,這種能力的轉(zhuǎn)化作為備考同學(xué)是應(yīng)該具備的．

(作者單位：山東省青島經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué))