用好先后原則解好排列組合

◇河北劉淑蘋

計(jì)數(shù)問(wèn)題是高考必考內(nèi)容之一,常以選擇或填空等客觀題形式出現(xiàn)．題小但考查能力要求較高,而且此類問(wèn)題又是計(jì)算概率的基礎(chǔ)．解好此類問(wèn)題除了熟練相關(guān)的原理外,掌握一定的解題策略也是必需的．下面對(duì)應(yīng)用較頻繁的幾個(gè)先后原則,舉例說(shuō)明．

1先分類后分步

分類加法原理與分步乘法原理是解答此類問(wèn)題的基礎(chǔ)．解題中要明確分類的對(duì)象,確定好分類原則,做到不重不漏．再對(duì)每類進(jìn)行分步解決．

例12人進(jìn)行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負(fù)為止,則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有().

A10種;B15種;

C20種;D30種

先勝3局者獲勝,在決出勝負(fù)時(shí)共賽了幾局并不明確,因此需要先對(duì)可能的比賽局?jǐn)?shù)進(jìn)行分類討論, 再對(duì)每類下面每局的勝負(fù)情況進(jìn)行分步處理．處理此類比賽問(wèn)題需要注意,決出勝負(fù)的最后一局的結(jié)果是確定的,即一定是勝的一方贏得此局．這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤剑?/p>

2先特殊后一般

對(duì)于有限制條件的特殊元素進(jìn)行優(yōu)先處理,是解決此類問(wèn)題的重要原則．特殊通常體現(xiàn)在元素特殊、條件特殊或位置特殊等．

例2用0,1,2,…,9這10個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),其中含有2個(gè)奇數(shù)數(shù)字和3個(gè)偶數(shù)數(shù)字的5位偶數(shù)共有多少個(gè)?

數(shù)字0是特殊元素,應(yīng)對(duì)0進(jìn)行分類討論:

綜合1)、2)總共有6480個(gè)5位偶數(shù).

3先分組后分配

對(duì)于有限制條件的分配問(wèn)題,通常先將待分配的元素按條件進(jìn)行分組．再將分好的各組按全排列的方式分配到不同的崗位．

例35張電影票分給4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少1張,不同分法的種數(shù)為().

A480;B240;C120;D96

在有序的排列組合問(wèn)題中,對(duì)于某個(gè)對(duì)象所包含的若干元素而言卻是無(wú)序的．對(duì)于這些無(wú)序元素的選取只能一次取出而不能“分批”選取,否則就意味著把無(wú)序問(wèn)題“有序化”了．一般地,關(guān)于分配的應(yīng)用問(wèn)題,較好的方法是先分組、再分配,這樣計(jì)算既沒(méi)有重復(fù),也不會(huì)遺漏．

4先整體后局部

先整體安排好沒(méi)有限制條件的元素,然后在排好的元素之間的空位和兩端插入不能相鄰的元素.

例4已知有身穿2種不同隊(duì)服的球迷各3人,現(xiàn)將這6人排成一排照相,要求身穿同一種隊(duì)服的球迷均不能相鄰,則不同的排法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．

不相鄰(相間)問(wèn)題的插空法:實(shí)質(zhì)是一般“元素”(位置)優(yōu)先考慮,第1步先將沒(méi)有限制的元素(位置)排好,第2步再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的空隙及兩端位置．

綜上解題策略事實(shí)上是基于2個(gè)基本計(jì)數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問(wèn)題的前提.同學(xué)們做題時(shí)只要留心容易出錯(cuò)的地方,就能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變,把排列組合學(xué)好．

鏈接練習(xí)

1. 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答).

2. 將A、B、C、D、E、F 6個(gè)字母排成一排,且A、B均在C的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答).

3. (2015年四川)用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有()個(gè).

A144;B120;C96;D72

4.(2015年上海)在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示).

鏈接練習(xí)參考答案

1. 590;2. 480;3. B.4. 120.

(作者單位：河北省承德市承德縣第一中學(xué))