幾何概型的考查視角

◇山東劉淑霞

1) 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè);

2) 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

幾何概型與古典概型的區(qū)別:要判斷是古典概型還是幾何概型,關(guān)鍵是分清這2種概型的異同點(diǎn)．

不同點(diǎn):古典概型要求基本事件有限,幾何概型要求基本事件無(wú)限．

相同點(diǎn):古典概型和幾何概型的每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

下面對(duì)幾何概型問(wèn)題在高考中的考查視角舉例分析．

1定積分視角

圖1

例1(2014年遼寧卷) 如圖1所示，正方形的4個(gè)頂點(diǎn)A(-1,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(-1,1)分別在拋物線y=-x2和y=x2上,若將1個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________.

因?yàn)锳(-1,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(-1,1),所以正方體ABCD的面積S=2×2=4.根據(jù)積分的幾何意義以及拋物線的對(duì)稱性可知陰影部分的面積

定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積,因此將其與幾何概型交會(huì)考查便順理成章了．

2函數(shù)視角

圖2

A1/6;B1/4;C3/8;D1/2

由已知得B(1,0)、C(1,2)、D(-2,2)、F(0,1),則矩形ABCD面積為3×2=6,陰影部分面積為1/2×3×1=3/2,故該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(3/2)/6=1/4．故選項(xiàng)為B.

本題是以函數(shù)為背景、面積為度量的幾何概型問(wèn)題,重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合等思想.

3線性規(guī)劃視角

例3(2015年湖北) 在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取2個(gè)數(shù)x、y,記p1為事件“x+y≥1/2”的概率,p2為事件“|x-y|≤1/2”的概率,p3為事件“xy≤1/2”的概率,則().

Ap1

Cp3

因?yàn)閤、y∈[0,1],對(duì)事件“x+y≥1/2”,如圖3陰影部分S1.對(duì)事件“|x-y|≤1/2”,如圖4陰影部分S2.對(duì)為事件“xy≤1/2”,如圖5陰影部分S3.

圖3　　　　　　圖4　　　　　　圖5

由圖易知,陰影部分的面積從小到大依次是S2

對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí),它只與大小有關(guān),而與形狀和位置無(wú)關(guān),在解題時(shí),要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

4平面幾何視角

例4(2013年湖南) 已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P,使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為1/2,則AD/AB=().

圖6

本題主要考查幾何概型與三角形的最大邊的性質(zhì),結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力.

5不等式視角

例5(2013年山東) 在區(qū)間[-3,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率為________.

當(dāng)x≤-1時(shí),不等式|x+1|-|x-2|≥1,即-(x+1)+(x-2)=-3≥1,此時(shí)無(wú)解.

當(dāng)-1

當(dāng)x>2時(shí),不等式|x+1|-|x-2|≥1,即x+1-x+2=3≥1,解得x>2.

線段長(zhǎng)度比是幾何概型的?？碱}型,本題將長(zhǎng)度與不等式所表示的區(qū)間建立聯(lián)系,考查絕對(duì)值不等式的解法、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查分類與整合思想及運(yùn)算求解能力.

綜上,高考中幾何概型的考查主要以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),多為單獨(dú)考查,有時(shí)會(huì)與線性規(guī)劃、定積分等知識(shí)綜合考查,難度較低.幾何概型問(wèn)題求解的關(guān)鍵是對(duì)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.

(作者單位：山東省棲霞市第一中學(xué))