謝　寧,高志華,孫迎春

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

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利用波耳共振儀研究受迫振動(dòng)的非線性特性

謝寧,高志華,孫迎春

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

摘要：利用波耳共振儀實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)其軸承摩擦進(jìn)行理論修正，建立受迫振動(dòng)的非線性方程，并采用Matlab軟件求解其數(shù)值解的方法，研究了受迫振動(dòng)的非線性特性.

關(guān)鍵詞：波耳共振儀；受迫振動(dòng)；軸承摩擦；非線性特性；Matlab

資助項(xiàng)目：吉林省教育廳大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)精品課；東北師范大學(xué)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)精品課；東北師范大學(xué)“東師教育教學(xué)扶持計(jì)劃”項(xiàng)目(No.15B1XZJ015，No.15B2XZJ001)

從狹義上說(shuō)，通常把具有周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)[1]. 周期性外力持續(xù)作用在系統(tǒng)時(shí)，受到的振動(dòng)即為受迫振動(dòng)，此周期性外力即為強(qiáng)迫力. 當(dāng)強(qiáng)迫力頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同時(shí)，受迫振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，共振是物理學(xué)領(lǐng)域普遍存在的現(xiàn)象[2]，它既有危害性的一面，又有很多的可利用價(jià)值[3]. 對(duì)許多物理事件常采用數(shù)學(xué)建模的方式進(jìn)行模擬，例如沙漏擺振動(dòng)的擺幅、周期隨流量非線性變化的實(shí)驗(yàn)中，用Matlab軟件模擬的結(jié)果與理論結(jié)果吻合得較好[4].

在高校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中波耳共振儀被普遍用于研究受迫振動(dòng)[5]. 該裝置中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和蝸卷彈簧的勁度系數(shù)是影響振動(dòng)參量的最大因素，但儀器一旦制作完成，這2個(gè)參量就固定不變了，而電磁阻尼對(duì)應(yīng)的等效黏滯阻尼的阻尼比則是影響阻尼振動(dòng)的主要因素，影響振動(dòng)非線性特征的現(xiàn)象也隨著阻尼比的不同而不固定，但其中許多問(wèn)題都由不可預(yù)測(cè)的原因造成，具有極大的不確定性. 因此，本文只研究影響振動(dòng)的一個(gè)非線性因素，即軸承摩擦因素的影響，所以在對(duì)振動(dòng)的理論方程進(jìn)行修正時(shí)，運(yùn)用Matlab軟件對(duì)修正后的受迫振動(dòng)方程進(jìn)行求解和分析，從而得到軸承摩擦對(duì)此類(lèi)振動(dòng)非線性特征的影響結(jié)果.

1實(shí)驗(yàn)的理論依據(jù)及對(duì)軸承摩擦的修正

1.1　波耳共振儀及其受迫振動(dòng)的線性理論

(1)

即

(2)

因?yàn)閿[輪只受到彈性恢復(fù)力矩(即周期性外力矩)和阻尼力矩的作用，不存在其他周期性外力矩的作用，但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)，擺輪是在受到周期性外力作用時(shí)發(fā)生的受迫振動(dòng)，所以kαm可以等效視為周期性外力矩M，則式(2)可改寫(xiě)為[6]

(3)

設(shè)定參量變換為

則式(3)可改寫(xiě)為

(4)

式(4)即為穩(wěn)定狀態(tài)的受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，其有確定的解析解：

(5)

因此可見(jiàn)，振幅θ取決于4個(gè)參量λ，ω，ω0和β，與振動(dòng)的起始狀態(tài)無(wú)關(guān)[3].

當(dāng)發(fā)生共振時(shí)，振幅θ達(dá)到極大，因此可求解出此時(shí)的圓頻率和振幅分別為

(6)

(7)

1.2　軸承摩擦的影響

軸承摩擦普遍存在于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)中. 研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速較小時(shí)軸承摩擦力較大，而當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到一定臨界值后軸承摩擦力將保持穩(wěn)定[4].

設(shè)置電磁阻尼為0擋，即去掉電磁阻尼的影響時(shí)，就可研究空氣阻尼和軸承摩擦的影響. 經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量發(fā)現(xiàn):β隨擺角θ變化(如表1所示). 由表1可見(jiàn)：當(dāng)θ>20°時(shí)，β基本為穩(wěn)定值;而當(dāng)θ<20°時(shí),β隨著θ增大而迅速減小. 因此說(shuō)明:當(dāng)選擇θ>20°進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，阻力的變化主要由軸承摩擦引起. 考慮到軸承所承受的壓力與轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的加速度、速度以及擺動(dòng)角度都相關(guān)，因此，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定軸承的摩擦力矩近似為

表1　β隨擺角θ變化的測(cè)量值

(8)

其中，常系數(shù)A>0,B>0,C>0，說(shuō)明軸承摩擦與角加速度、角度呈正相關(guān)，而與速度呈負(fù)相關(guān)，這與實(shí)際物理現(xiàn)象幾乎一致.

1.3　建立修正的運(yùn)動(dòng)方程

(9)

通過(guò)變量代換，將式(9)變?yōu)橐浑A常微分方程組[7]：

(10)

其中：

2實(shí)驗(yàn)測(cè)量及受迫振動(dòng)的非線性模擬

通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定出β,ω0,λ和ω的數(shù)值. 而另外的3個(gè)常數(shù)a,b,c與軸承摩擦相關(guān)，不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得，需利用Matlab軟件多次給定數(shù)值進(jìn)行模擬計(jì)算得出.

2.1　β的測(cè)量

依據(jù)文獻(xiàn)[3]可知β滿足下式：

(11)

調(diào)節(jié)系統(tǒng)在電磁阻尼2擋，使擺輪從較大振幅開(kāi)始作衰減運(yùn)動(dòng)，并從電器控制箱顯示屏上讀出振幅變化值，同時(shí)進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2　電磁阻尼2擋時(shí)測(cè)得的角度與周期

將表2數(shù)據(jù)代入式(11), 經(jīng)兩輪加權(quán)處理，即可求出β的平均值為

2.2　ω0，λ和ω的測(cè)量

電磁阻尼在2擋時(shí)使擺輪做受迫振動(dòng). 改變電機(jī)轉(zhuǎn)速[8](即改變強(qiáng)迫力矩頻率)，當(dāng)受迫振動(dòng)穩(wěn)定后，讀取擺輪的振幅值與振動(dòng)周期(此時(shí)電機(jī)強(qiáng)迫力矩周期與擺輪振動(dòng)周期一致). 梯度改變電機(jī)不同的轉(zhuǎn)速，即改變強(qiáng)迫力外力矩的頻率，進(jìn)行逐點(diǎn)測(cè)量，可通過(guò)測(cè)得數(shù)據(jù)找到振動(dòng)最大的振幅，此時(shí)T0=T，即為達(dá)到共振狀態(tài)(見(jiàn)表3).

表3　電磁阻尼2擋測(cè)得的強(qiáng)迫力矩周期T和振幅θ

實(shí)驗(yàn)測(cè)量自由振動(dòng)時(shí)與振幅θ對(duì)應(yīng)的固有周期T0，測(cè)得數(shù)據(jù)40組. 由表3中振幅與測(cè)得的40組數(shù)據(jù)對(duì)照，得到自由振動(dòng)時(shí)與振幅θ對(duì)應(yīng)的固有周期T0及計(jì)算獲得的結(jié)果見(jiàn)表4.

表4　自由振動(dòng)時(shí)與振幅θ對(duì)應(yīng)的固有周期T0及

2.3　受迫振動(dòng)的非線性方程及其模擬

將獲得的常系數(shù)β，ω0，λ，ω代入方程組(10)中，得：

(12)

圖1　振幅θ隨時(shí)間t的變化曲線

圖隨θ的變化關(guān)系曲線

由圖1~2可見(jiàn)，隨著時(shí)間的推移，振動(dòng)系統(tǒng)的振幅逐漸增大到某個(gè)極大值后開(kāi)始減小，振幅的增加是受限的而不是無(wú)限增大，呈現(xiàn)出非線性混沌特征，這也與文獻(xiàn)[9]的單擺非線性運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)幾乎一致.

3結(jié)束語(yǔ)

利用波耳共振儀研究了自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)3種振動(dòng)狀態(tài). 通過(guò)自由振動(dòng)測(cè)得了與阻尼系數(shù)相關(guān)的參量β，并通過(guò)電磁阻尼振動(dòng)測(cè)得了系統(tǒng)的固有圓頻率ω0、參量λ和強(qiáng)迫力的圓頻率ω，通過(guò)對(duì)軸承摩擦的分析探討及對(duì)其進(jìn)行修正，構(gòu)建了考慮軸承摩擦因素在內(nèi)的受迫振動(dòng)的非線性方程組，利用Matlab軟件求解出該非線性方程組的數(shù)值解，表明受迫振動(dòng)振幅的幅值具有明顯的非線性特征. 因此，采用波耳共振儀研究受迫振動(dòng)的非線性性質(zhì)對(duì)理解一般非線性受迫振動(dòng)的問(wèn)題有借鑒作用，對(duì)一些實(shí)際工程問(wèn)題的處理也將有一定的現(xiàn)實(shí)意義[9].

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[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Study on the nonlinear characteristics of forced

oscillation by using Pohl resonator

XIE Ning, GAO Zhi-hua, SUN Ying-chun

(School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024， China)

Abstract:Using the experimental data from Pohl resonator, the nonlinear equations of forced vibrations were established after a theoretical correction of the bearing friction. The nonlinear characteristics of forced vibrations were studied by solving the equations numerically using Matlab.

Key words:Pohl resonator; forced vibration; bearing friction; nonlinear; Matlab

通訊作者：孫迎春(1961-)，女，吉林長(zhǎng)春人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院級(jí)教授，博士，研究方向?yàn)樯镂锢?、理論物理及物理?shí)驗(yàn)研究.

作者簡(jiǎn)介：謝寧(1990-)，女，遼寧沈陽(yáng)人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院級(jí)理論物理2013級(jí)碩士研究生.

收稿日期：2015-08-30；修改日期：2015-11-29

中圖分類(lèi)號(hào)：O321

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)02-0014-04