謝　寧,高志華,孫迎春

(東北師范大學 物理學院，吉林 長春 130024)

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利用波耳共振儀研究受迫振動的非線性特性

謝寧,高志華,孫迎春

(東北師范大學 物理學院，吉林 長春 130024)

摘要：利用波耳共振儀實測數(shù)據(jù)，通過對其軸承摩擦進行理論修正，建立受迫振動的非線性方程，并采用Matlab軟件求解其數(shù)值解的方法，研究了受迫振動的非線性特性.

關鍵詞：波耳共振儀；受迫振動；軸承摩擦；非線性特性；Matlab

資助項目：吉林省教育廳大學物理實驗精品課；東北師范大學大學物理實驗精品課；東北師范大學“東師教育教學扶持計劃”項目(No.15B1XZJ015，No.15B2XZJ001)

從狹義上說，通常把具有周期性的往復運動稱為振動[1]. 周期性外力持續(xù)作用在系統(tǒng)時，受到的振動即為受迫振動，此周期性外力即為強迫力. 當強迫力頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同時，受迫振動會產(chǎn)生共振現(xiàn)象，共振是物理學領域普遍存在的現(xiàn)象[2]，它既有危害性的一面，又有很多的可利用價值[3]. 對許多物理事件常采用數(shù)學建模的方式進行模擬，例如沙漏擺振動的擺幅、周期隨流量非線性變化的實驗中，用Matlab軟件模擬的結果與理論結果吻合得較好[4].

在高校物理實驗教學中波耳共振儀被普遍用于研究受迫振動[5]. 該裝置中，轉動慣量和蝸卷彈簧的勁度系數(shù)是影響振動參量的最大因素，但儀器一旦制作完成，這2個參量就固定不變了，而電磁阻尼對應的等效黏滯阻尼的阻尼比則是影響阻尼振動的主要因素，影響振動非線性特征的現(xiàn)象也隨著阻尼比的不同而不固定，但其中許多問題都由不可預測的原因造成，具有極大的不確定性. 因此，本文只研究影響振動的一個非線性因素，即軸承摩擦因素的影響，所以在對振動的理論方程進行修正時，運用Matlab軟件對修正后的受迫振動方程進行求解和分析，從而得到軸承摩擦對此類振動非線性特征的影響結果.

1實驗的理論依據(jù)及對軸承摩擦的修正

1.1　波耳共振儀及其受迫振動的線性理論

(1)

即

(2)

因為擺輪只受到彈性恢復力矩(即周期性外力矩)和阻尼力矩的作用，不存在其他周期性外力矩的作用，但是實際實驗時，擺輪是在受到周期性外力作用時發(fā)生的受迫振動，所以kαm可以等效視為周期性外力矩M，則式(2)可改寫為[6]

(3)

設定參量變換為

則式(3)可改寫為

(4)

式(4)即為穩(wěn)定狀態(tài)的受迫振動運動方程，其有確定的解析解：

(5)

因此可見，振幅θ取決于4個參量λ，ω，ω0和β，與振動的起始狀態(tài)無關[3].

當發(fā)生共振時，振幅θ達到極大，因此可求解出此時的圓頻率和振幅分別為

(6)

(7)

1.2　軸承摩擦的影響

軸承摩擦普遍存在于定軸轉動的運動中. 研究發(fā)現(xiàn)轉速較小時軸承摩擦力較大，而當轉速達到一定臨界值后軸承摩擦力將保持穩(wěn)定[4].

設置電磁阻尼為0擋，即去掉電磁阻尼的影響時，就可研究空氣阻尼和軸承摩擦的影響. 經(jīng)過實驗測量發(fā)現(xiàn):β隨擺角θ變化(如表1所示). 由表1可見：當θ>20°時，β基本為穩(wěn)定值;而當θ<20°時,β隨著θ增大而迅速減小. 因此說明:當選擇θ>20°進行實驗測量時，阻力的變化主要由軸承摩擦引起. 考慮到軸承所承受的壓力與轉動系統(tǒng)的加速度、速度以及擺動角度都相關，因此，根據(jù)經(jīng)驗設定軸承的摩擦力矩近似為

表1　β隨擺角θ變化的測量值

(8)

其中，常系數(shù)A>0,B>0,C>0，說明軸承摩擦與角加速度、角度呈正相關，而與速度呈負相關，這與實際物理現(xiàn)象幾乎一致.

1.3　建立修正的運動方程

(9)

通過變量代換，將式(9)變?yōu)橐浑A常微分方程組[7]：

(10)

其中：

2實驗測量及受迫振動的非線性模擬

通過實驗測定出β,ω0,λ和ω的數(shù)值. 而另外的3個常數(shù)a,b,c與軸承摩擦相關，不能通過實驗測得，需利用Matlab軟件多次給定數(shù)值進行模擬計算得出.

2.1　β的測量

依據(jù)文獻[3]可知β滿足下式：

(11)

調節(jié)系統(tǒng)在電磁阻尼2擋，使擺輪從較大振幅開始作衰減運動，并從電器控制箱顯示屏上讀出振幅變化值，同時進行測量，結果見表2.

表2　電磁阻尼2擋時測得的角度與周期

將表2數(shù)據(jù)代入式(11), 經(jīng)兩輪加權處理，即可求出β的平均值為

2.2　ω0，λ和ω的測量

電磁阻尼在2擋時使擺輪做受迫振動. 改變電機轉速[8](即改變強迫力矩頻率)，當受迫振動穩(wěn)定后，讀取擺輪的振幅值與振動周期(此時電機強迫力矩周期與擺輪振動周期一致). 梯度改變電機不同的轉速，即改變強迫力外力矩的頻率，進行逐點測量，可通過測得數(shù)據(jù)找到振動最大的振幅，此時T0=T，即為達到共振狀態(tài)(見表3).

表3　電磁阻尼2擋測得的強迫力矩周期T和振幅θ

實驗測量自由振動時與振幅θ對應的固有周期T0，測得數(shù)據(jù)40組. 由表3中振幅與測得的40組數(shù)據(jù)對照，得到自由振動時與振幅θ對應的固有周期T0及計算獲得的結果見表4.

表4　自由振動時與振幅θ對應的固有周期T0及

2.3　受迫振動的非線性方程及其模擬

將獲得的常系數(shù)β，ω0，λ，ω代入方程組(10)中，得：

(12)

圖1　振幅θ隨時間t的變化曲線

圖隨θ的變化關系曲線

由圖1~2可見，隨著時間的推移，振動系統(tǒng)的振幅逐漸增大到某個極大值后開始減小，振幅的增加是受限的而不是無限增大，呈現(xiàn)出非線性混沌特征，這也與文獻[9]的單擺非線性運動特點幾乎一致.

3結束語

利用波耳共振儀研究了自由振動、阻尼振動和受迫振動3種振動狀態(tài). 通過自由振動測得了與阻尼系數(shù)相關的參量β，并通過電磁阻尼振動測得了系統(tǒng)的固有圓頻率ω0、參量λ和強迫力的圓頻率ω，通過對軸承摩擦的分析探討及對其進行修正，構建了考慮軸承摩擦因素在內的受迫振動的非線性方程組，利用Matlab軟件求解出該非線性方程組的數(shù)值解，表明受迫振動振幅的幅值具有明顯的非線性特征. 因此，采用波耳共振儀研究受迫振動的非線性性質對理解一般非線性受迫振動的問題有借鑒作用，對一些實際工程問題的處理也將有一定的現(xiàn)實意義[9].

參考文獻：

[1]宋徐林，王昆林. 利用DIS數(shù)字化信息系統(tǒng)對高腳玻璃杯振動聲現(xiàn)象的研究[J]. 物理實驗，2015，35(3)：43-46.

[2]聞邦椿. 機械振動理論及應用[M]. 北京：高等教育出版社，2009：67-71.

[3]陳銘南，何雨華. 用波耳共振儀研究受迫振動[J]. 工科物理，1999，9(2)：26-28.

[4]史彤陽，孔維姝，胡林，等. 不同流量沙漏擺的振動規(guī)律[J]. 物理實驗，2015，35(10)：37-40.

[5]董霖，王涵，朱洪波. 波爾共振實驗“異?，F(xiàn)象”的研究[J]. 大學物理，2010，29(2)：57-60.

[6]朱鶴年. 波耳共振儀受迫振動的運動方程[J]. 大學物理，2006，25(11)：47-48.

[7]劉秉正，彭建華. 非線性動力學[M]. 北京：高等教育出版社，2005：14-15.

[8]王浙偉. “受迫振動、共振”演示實驗的研究與改進[J]. 物理實驗，2009，29(10)：16-19.

[9]湯艷芬. 非線性系統(tǒng)受迫振動的周期解[J]. 大學物理，2004，23(9)：25-28.

[責任編輯：尹冬梅]

Study on the nonlinear characteristics of forced

oscillation by using Pohl resonator

XIE Ning, GAO Zhi-hua, SUN Ying-chun

(School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024， China)

Abstract:Using the experimental data from Pohl resonator, the nonlinear equations of forced vibrations were established after a theoretical correction of the bearing friction. The nonlinear characteristics of forced vibrations were studied by solving the equations numerically using Matlab.

Key words:Pohl resonator; forced vibration; bearing friction; nonlinear; Matlab

通訊作者：孫迎春(1961-)，女，吉林長春人，東北師范大學物理學院級教授，博士，研究方向為生物物理、理論物理及物理實驗研究.

作者簡介：謝寧(1990-)，女，遼寧沈陽人，東北師范大學物理學院級理論物理2013級碩士研究生.

收稿日期：2015-08-30；修改日期：2015-11-29

中圖分類號：O321

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)02-0014-04