馮　禹,習(xí)　爽, 何雨華,倪　晨,顧　牡,趙　敏

(同濟(jì)大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院,上海 200092)

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利用保羅機(jī)械阱探究囚禁粒子的動(dòng)力學(xué)特性

馮禹,習(xí)爽, 何雨華,倪晨,顧牡,趙敏

(同濟(jì)大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院,上海 200092)

摘要：在自制保羅機(jī)械阱上利用運(yùn)動(dòng)視頻分析軟件Logger Pro分析囚禁粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，形象地展現(xiàn)了囚禁粒子在勢(shì)阱中的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 實(shí)驗(yàn)測(cè)得失穩(wěn)臨界值2q=0.989. 穩(wěn)定條件下粒子被束縛在環(huán)形帶中，且q與躍動(dòng)系數(shù)正相關(guān). 粒子失穩(wěn)按指數(shù)規(guī)律變化，在運(yùn)動(dòng)后期，摩擦力導(dǎo)致的失穩(wěn)明顯顯現(xiàn).

關(guān)鍵詞：保羅機(jī)械阱；非線性動(dòng)力學(xué)；贗勢(shì);Logger Pro

指導(dǎo)教師：何雨華(1959-)，男，上海人，同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，學(xué)士，主要從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作.

離子阱是研究量子理論重要的實(shí)驗(yàn)裝置. 利用多極電勢(shì)構(gòu)成三維勢(shì)阱，將離子穩(wěn)定地囚禁在幾乎與外界隔離的空間幾何構(gòu)型中的實(shí)驗(yàn)方法，稱為離子囚禁技術(shù)[1]. 離子阱技術(shù)因其優(yōu)良的特性和先進(jìn)的功能，逐漸形成了一片新型廣闊的研究領(lǐng)域，如在量子信息[2-3]、量子計(jì)算邏輯門[4-5]、離子阱頻標(biāo)[6]、大規(guī)模光譜測(cè)量[7-8]等研究中具有廣泛的應(yīng)用. 囚禁粒子動(dòng)力學(xué)特性及其穩(wěn)定條件是離子阱研究的基礎(chǔ)，但是四極離子阱的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不宜直觀地了解離子在其中的各種運(yùn)動(dòng)過(guò)程及離子的穩(wěn)定性分析. 德國(guó)玻恩大學(xué)Wolfgang Paul教授利用可以旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱馬鞍面裝置分析了離子在勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故將此裝置命名為保羅機(jī)械阱[9]. 保羅機(jī)械阱的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象清楚直觀，適合于進(jìn)行單粒子在曲面運(yùn)動(dòng)規(guī)律的實(shí)驗(yàn)探究和演示.

1實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1　運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件

在與馬鞍面同步轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系中,容易得到馬鞍面中重力勢(shì)場(chǎng)為

(1)

其中h0為鞍點(diǎn)到馬鞍面最高點(diǎn)的垂直距離,r0為對(duì)稱馬鞍面的投影面半徑，x0和y0為旋轉(zhuǎn)參考系中的坐標(biāo). 通過(guò)對(duì)(1)式乘以旋轉(zhuǎn)矩陣可以得到在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下的勢(shì)能方程為

2xysin (2Ωt)],

(2)

其中Ω為馬鞍面旋轉(zhuǎn)的角頻率.

對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系中的勢(shì)場(chǎng)求負(fù)梯度，建立粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組，可解出粒子的軌跡方程為[10]

z(τ)=(Ae+β+τ+Be-β+τ+Ce+β-τ+De-β-τ)eiτ,

(3)

其中τ為運(yùn)動(dòng)時(shí)間與旋轉(zhuǎn)頻率的乘積，β由馬鞍面的形狀與旋轉(zhuǎn)速度決定：

(4)

τ=tΩ.

(5)

由(4)式可知，β為冪指數(shù)，要使上述解不發(fā)散，則β必須為純虛數(shù)，方便起見令

(6)

要使所有β±為純虛數(shù)，則q應(yīng)滿足

(7)

當(dāng)2q≥1時(shí)，冪指數(shù)β為實(shí)數(shù)，此時(shí)解是發(fā)散的;當(dāng)2q<1時(shí)，冪指數(shù)β為虛數(shù)，此時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)方程為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng). 在實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速來(lái)改變q:當(dāng)馬鞍面的轉(zhuǎn)速增大時(shí)，2q的值減小，則粒子更容易處于穩(wěn)定狀態(tài). 此外粒子的穩(wěn)定條件與馬鞍形狀有關(guān)，投影面半徑越大，馬鞍半徑越小，更容易實(shí)現(xiàn)粒子俘獲.

1.2　動(dòng)力學(xué)方程的定解條件

通過(guò)對(duì)(3)式求導(dǎo),可以得到4個(gè)線性無(wú)關(guān)的方程組:

A+B+C+D=z0,

(8)

iμ+(A-B)+iμ-(C-D)=v0-iz0,

(9)

(10)

(11)

只要知道z0,v0和q,便可以求解線性方程組,從而確定參量A，B，C，D,得出囚禁粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡. 當(dāng)初始條件為z0=1.00 cm,v0=0.01 m/s,q=0.05時(shí),計(jì)算粒子運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖1所示.

(a)短周期

(b)長(zhǎng)周期圖1　不同時(shí)間周期下粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡

不難發(fā)現(xiàn),計(jì)算結(jié)果與四極離子阱中囚禁粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡相似[11]. 從圖像中可以看到,囚禁在勢(shì)阱中的粒子一方面在進(jìn)行頻率較高的躍動(dòng),同時(shí)又存在對(duì)稱于鞍點(diǎn)周期較長(zhǎng)的振動(dòng).不僅如此,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡在平行于馬鞍面內(nèi)以周期為q2Ω轉(zhuǎn)動(dòng). 這樣根據(jù)運(yùn)動(dòng)形式將囚禁粒子的運(yùn)動(dòng)分為高階微振動(dòng)、諧振運(yùn)動(dòng)和長(zhǎng)周期轉(zhuǎn)動(dòng). 當(dāng)馬鞍面的轉(zhuǎn)速較高時(shí)，高階微振動(dòng)振幅較小，此時(shí)可近似視為粒子在諧振勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng). 當(dāng)馬鞍的轉(zhuǎn)速較低時(shí)，高階微振動(dòng)不可忽略，此時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為上述3種運(yùn)動(dòng)的合成. 接下來(lái)將通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析在穩(wěn)定條件下囚禁粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2實(shí)驗(yàn)開發(fā)

2.1　穩(wěn)定條件的驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示. 馬鞍面固定在旋轉(zhuǎn)臺(tái)上,通過(guò)皮帶傳動(dòng)裝置及馬達(dá)與電源相連接,旋轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速可通過(guò)改變負(fù)載兩端的電壓進(jìn)行調(diào)節(jié).旋轉(zhuǎn)周期由光電門讀出.馬鞍面的參量為r0=20.95 cm,h0=5.29 cm,負(fù)載電壓可調(diào)范圍為0~10 V,旋轉(zhuǎn)臺(tái)可調(diào)控最高轉(zhuǎn)速為16 r/s. 實(shí)驗(yàn)中,通過(guò)改變馬鞍面的轉(zhuǎn)速來(lái)改變系統(tǒng)的q值.當(dāng)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時(shí)將小球垂直放入鞍點(diǎn),并利用計(jì)時(shí)器記錄小球放入至飛出馬鞍面的時(shí)間.

圖2　實(shí)驗(yàn)裝置圖

為了減小放入時(shí)由于初始條件不同引起的偶然誤差,對(duì)每組確定的轉(zhuǎn)速重復(fù)多次實(shí)驗(yàn),取小球的最長(zhǎng)穩(wěn)定時(shí)間與q值作圖. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖3，圖中虛線代表理論臨界值2q=1. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在臨界值兩側(cè),小球的運(yùn)動(dòng)發(fā)生了失穩(wěn),實(shí)驗(yàn)測(cè)得的失穩(wěn)臨界值為2q=0.989,相對(duì)偏差為1.1%. 理論模擬中,可明顯發(fā)現(xiàn)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡由封閉的曲線變?yōu)榘l(fā)散. 圖4分別給出了q=0.499 9與q=0.500 1的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖3　粒子穩(wěn)定時(shí)間的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證圖

(a)q=4.999 9

(b)q=0.500 1圖4　臨界條件下粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖

同時(shí),我們發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中即使?jié)M足2q<1,粒子并不能一直處于穩(wěn)定狀態(tài),這是由于摩擦力引起的失穩(wěn)現(xiàn)象.

2.2　穩(wěn)定條件下粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

我們不僅僅滿足于確定粒子在何種情況下會(huì)保持穩(wěn)定,更希望知道粒子在穩(wěn)定條件下是如何運(yùn)動(dòng)的,前面已經(jīng)給出了粒子的運(yùn)動(dòng)方程,現(xiàn)在將用實(shí)驗(yàn)的方法得到粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡.

實(shí)驗(yàn)中用攝像機(jī)記錄小球的運(yùn)動(dòng)軌跡,利用Logger Pro[12]軟件將粒子運(yùn)動(dòng)的視頻導(dǎo)入分析,可以得到粒子的初始位置、初始速度以及穩(wěn)定條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡. 在相同條件下進(jìn)行計(jì)算模擬,初始條件為z0=0.14 cm,v0=0.03 cm/s,r0=20.95 cm,h0=5.29 cm,對(duì)比如圖5所示.

(a)模擬軌跡

(b)實(shí)際軌跡圖5　穩(wěn)定條件下粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的實(shí)驗(yàn)對(duì)比圖

通過(guò)圖5的對(duì)比,可發(fā)現(xiàn)粒子軌跡被束縛在環(huán)形內(nèi),理論軌跡中該環(huán)形的內(nèi)徑與外徑與實(shí)際情況符合較好. 但是環(huán)形的束縛帶只是由初始條件決定的一種特殊的囚禁模式.

2.3　粒子不同時(shí)間周期下運(yùn)動(dòng)的分析與討論

在保羅機(jī)械阱中,粒子做諧振運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為[13]

(12)

即粒子在二維平面上做角頻率為qΩ的簡(jiǎn)單諧振子運(yùn)動(dòng),其軌跡為頻率比為1∶1的李薩如圖形,初始相位差由粒子的初始條件決定.

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)q?1時(shí),粒子的高階微振動(dòng)便可以忽略. 定義在環(huán)形囚禁帶的情況下,粒子的躍動(dòng)系數(shù)為環(huán)帶寬度與粒子高階微振動(dòng)的模長(zhǎng)的比值,即

(13)

其中d為環(huán)帶寬度,可以預(yù)見,q減小時(shí),S也隨之減小. 圖6給出了不同q下躍動(dòng)系數(shù)的變化規(guī)律,模擬的初始條件為z0=0.10 cm,v0=0.

(a)q=0.45　　　　　　　　　　(b)q=0.045　　　　　　　　　(c)q=0.004 5圖6　不同q值對(duì)高階微振動(dòng)躍動(dòng)系數(shù)的影響

從圖6可看出,q與S呈正相關(guān)關(guān)系,當(dāng)q→0時(shí),粒子的高階微振動(dòng)也隨之消失. 但是粒子的運(yùn)動(dòng)不僅僅是簡(jiǎn)單囚禁在圓環(huán)內(nèi),這由粒子的諧振運(yùn)動(dòng)所決定. 粒子的諧振運(yùn)動(dòng)軌跡為頻率比為1∶1的李薩如圖形,其運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

(14)

在復(fù)平面內(nèi),粒子運(yùn)動(dòng)的相位差由粒子初始釋放位置決定：

(15)

不同的相位差決定了粒子的諧振運(yùn)動(dòng)為圓、橢圓以及直線. 但是在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),即使在很小q下,粒子的軌跡依然不是穩(wěn)定的李薩如圖形,而是會(huì)有以鞍點(diǎn)為中心、頻率為q2Ω的轉(zhuǎn)動(dòng),這構(gòu)成了粒子的長(zhǎng)周期轉(zhuǎn)動(dòng). 在高速的馬鞍轉(zhuǎn)動(dòng)下,粒子的高階微振動(dòng)退化,在短時(shí)間內(nèi),粒子的長(zhǎng)周期轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)法顯現(xiàn),此時(shí)粒子的軌跡主要表現(xiàn)為李薩如圖形. 下面分別給出了初相位差為零的囚禁粒子諧振運(yùn)動(dòng)軌跡和長(zhǎng)時(shí)間下的長(zhǎng)周期轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡，如圖7所示. 文獻(xiàn)[13]中囚禁粒子運(yùn)動(dòng)的二維投影與此相同.模擬的初始條件為z0=0.1+0.1i,v0=0,q=0.01.

一般情況下,粒子的諧振運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,高階微振動(dòng)躍動(dòng)系數(shù)也不為零,加之整個(gè)軌跡圍繞鞍點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),這3種周期運(yùn)動(dòng)的疊加,便構(gòu)成了圖1所示的一般運(yùn)動(dòng)軌跡.

(a)諧振運(yùn)動(dòng)

(b)長(zhǎng)周期轉(zhuǎn)動(dòng)圖7　囚禁粒子的諧振運(yùn)動(dòng)和長(zhǎng)周期轉(zhuǎn)動(dòng)

2.4　摩擦力對(duì)囚禁粒子運(yùn)動(dòng)的影響

μ為小球與馬鞍面之間的摩擦系數(shù),則在該體系中摩擦力的形式為

(16)

加入摩擦力項(xiàng)的運(yùn)動(dòng)軌跡為

z(τ)=[Ae(+β++ε)τ+Be(-β++ε)τ+

Ce(+β-+ε)τ+De(-β-+ε)τ]eiτ，

(17)

其中

(18)

(18)式的值總為實(shí)數(shù),因此在足夠長(zhǎng)的時(shí)間,總會(huì)引起解的發(fā)散,這也是實(shí)驗(yàn)中粒子無(wú)法一直保持穩(wěn)定的原因.

利用Logger Pro軟件將臨近失穩(wěn)狀態(tài)的粒子運(yùn)動(dòng)視頻導(dǎo)入分析,得到其運(yùn)動(dòng)軌跡,并在相同條件下進(jìn)行計(jì)算模擬,初始條件為z0=1.02 cm,v0=0.03 cm/s，結(jié)果如圖8所示.

(b)臨近失穩(wěn)條件下的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖8　臨近失穩(wěn)階段粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與計(jì)算模擬對(duì)比

由于粒子的失穩(wěn)是按指數(shù)規(guī)律變化的,因此實(shí)驗(yàn)中常?？吹降默F(xiàn)象是穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的小球突然快速脫離馬鞍,而其在前期運(yùn)動(dòng)的軌跡更接近無(wú)摩擦力計(jì)算模擬下的軌跡,只有在運(yùn)動(dòng)的后期,摩擦力導(dǎo)致的失穩(wěn)才會(huì)明顯地表現(xiàn)出來(lái).

3結(jié)束語(yǔ)

保羅機(jī)械阱形象直觀地展示了四級(jí)離子阱俘獲粒子的概念和原理，將抽象的物理模型，以生動(dòng)且有趣的實(shí)驗(yàn)形式呈現(xiàn). 實(shí)驗(yàn)中通過(guò)運(yùn)動(dòng)視頻分析軟件Logger Pro捕獲粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，為學(xué)生提供了處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的新方法和手段. 借助于Matlab使枯燥的理論推導(dǎo)可視化，將數(shù)學(xué)推導(dǎo)與物理分析緊密結(jié)合，有助于培養(yǎng)學(xué)生解決一般性物理問(wèn)題的綜合能力. 實(shí)驗(yàn)中宏觀與微觀之間的類比，能夠很好地激發(fā)學(xué)生的探究興趣，從而實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，也為教師提供了微觀現(xiàn)象教學(xué)與演示的新思路.

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[責(zé)任編輯：任德香]

Study on the dynamics of trapped particles

using the rotating-saddle trap

FENG Yu, XI Shuang, HE Yu-hua, NI Chen, GU Mu, ZHAO Min

(School of Physics Science and Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:Using the motion video analysis software Logger Pro, the motion of particles in self-made rotating-saddle trap was analyzed, and different motion states were shown. The critical value of neutral stability was 2q=0.989. The particles were bound in girdle in the stable state, andqand vigor coefficient were positively correlated. The destabilization of the particle appeared to obey an exponential rule, and in the late phase of the motion, obvious destabilization caused by friction force occurred.

Key words:rotating-saddle trap; nonlinear dynamics; pseudopotential; Logger Pro

作者簡(jiǎn)介：馮禹(1995-)，男，甘肅慶陽(yáng)人，同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院2013級(jí)本科生.

收稿日期：2015-11-02；修改日期：2015-12-23

中圖分類號(hào)：O317

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)02-0001-06