侯勇俊, 余　樂, 方　潘, 陳普春

(1.西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院, 四川 成都 610500；2.西南石油大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610500)

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三激振器雙質(zhì)體振動系統(tǒng)自同步特性研究

侯勇俊1, 余樂1, 方潘1, 陳普春2

(1.西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院, 四川 成都 610500；2.西南石油大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610500)

摘要：提出了一種三機驅(qū)動雙質(zhì)體自同步振動系統(tǒng),該系統(tǒng)具有有效篩分面積大、占地面積小和地基受動載荷小的優(yōu)點.首先,依據(jù)Lagrange方程推導(dǎo)出雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的運動微分方程,并求出了其穩(wěn)態(tài)解.然后,由Hamilton原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的同步性條件和穩(wěn)定性條件；運用控制變量法分析了中間彈簧剛度和電機安裝位置對系統(tǒng)同步性以及同步相位差角的影響.研究結(jié)果表明:當系統(tǒng)參數(shù)滿足同步性和穩(wěn)定性條件時系統(tǒng)可以實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步運動,同步時上質(zhì)體兩電機的相位差角為0°,上質(zhì)體和下質(zhì)體電機間的相位差角為180°.最后,用機電耦合仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性.研究結(jié)果為該系統(tǒng)的設(shè)計分析提供了理論基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：雙質(zhì)體振動系統(tǒng)； Hamilton； 控制變量； 同步性； 穩(wěn)定性

在振動機械中,常常要求其內(nèi)部2個或2個以上的部件同步運轉(zhuǎn)以實現(xiàn)所需的運動軌跡,如多機驅(qū)動自同步振動系統(tǒng).1665年荷蘭物理學(xué)家Huygens[1]發(fā)現(xiàn),2個并排懸掛的鐘擺在震蕩一段時間之后能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步.1953年,前蘇聯(lián)的Blekhman博士等[2-3]實現(xiàn)了機械系統(tǒng)兩電機軸上的偏心塊以相同轉(zhuǎn)速0或π相位差旋轉(zhuǎn)的同步運動.1982年,中國科學(xué)院院士聞邦椿等[4-5]出版了國內(nèi)該領(lǐng)域的第1部專著.進入21世紀,韓清凱等[6]推導(dǎo)出關(guān)于兩偏心轉(zhuǎn)子相位差角的微分方程,并針對該方程建立了同步運動的必要性條件,分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性及分岔特性.文獻[7-8]提出了一種自同步四電機激振的大型振動機,并給出了其同步性條件和穩(wěn)定性條件.隨后,趙春雨等[9-11]用修正平均小參數(shù)法研究了多個耦合激振器的同步性和穩(wěn)定性,深入闡述了振動系統(tǒng)的耦合動力學(xué)特性和動態(tài)對稱性.李鶴等[12]對一種含有二次隔振架的(三質(zhì)體)雙機驅(qū)動振動機的自同步特性及其穩(wěn)定性進行了分析.

上述研究的單質(zhì)體以及多質(zhì)體自同步振動系統(tǒng)中的多個激振電機均安裝在同一個質(zhì)體上,對于多個電機分別安裝在不同質(zhì)體上的振動系統(tǒng)的自同步特性研究尚屬空缺.本文研究的雙質(zhì)體三機驅(qū)動自同步振動系統(tǒng)的3個激振電機分別安裝在2個質(zhì)體上.2個質(zhì)體均具有篩分作用,所以該系統(tǒng)具有有效篩分面積大、占地面積小、處理能力強和篩分效率高的優(yōu)點；下質(zhì)體同時具有隔震作用,所以該系統(tǒng)工作噪音小、地基受動載荷小.

1系統(tǒng)的運動微分方程

雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖1所示.該系統(tǒng)由上質(zhì)體m1、下質(zhì)體m2、激振器moi(i=1,2,3)、彈簧kxj，kyj和kψj(j=1,2)組成.系統(tǒng)工作時,3

個激振電機作如圖1所示的等速旋轉(zhuǎn).上質(zhì)體兩電機產(chǎn)生的激振力合力通過中間彈簧傳遞給下質(zhì)體；下質(zhì)體電機的激振力也通過中間彈簧傳遞給上質(zhì)體.上、下質(zhì)體激振力通過中間彈簧的相互作用,使上、下質(zhì)體實現(xiàn)不同軌跡的運動.o′x1y1和o″x2y2是系統(tǒng)的固定坐標系，o′1x′1y′1和o′2x′2y′2是分別相對于o′x1y1和o″x2y2的動坐標系.o″1,o″2分別為上、下質(zhì)體質(zhì)心,o′1,o′2分別為上、下質(zhì)體與激振器合成質(zhì)心,該系統(tǒng)有6個自由度.

圖1　雙質(zhì)體振動系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1　The dynamics model of double mass vibrating system

由Lagrange方程得系統(tǒng)的運動微分方程如式(1):

(1)

令mo1=mo2=mo3=m,r1=r2=r3=r,l1=l2=l,l3=0.設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時3個轉(zhuǎn)子的平均相位為φ,即φ1=φ+α1,φ2=φ-α1,φ3=φ-α1-2α2,φ=ωt.解得式(1)中前6個方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

(2)

其中：

F=mrω2，

pi=-M1ω2+ki1,ci1=-M2ω2+ki1+ki2,ci2=ki1,

i=x,y,

kψ1kψ2,

pψ=-Jz1ω2+kψ1,cψ1=-Jz2ω2+kψ1+kψ2,

cψ2=kψ1,

j=x,y,ψ.

2系統(tǒng)的自同步理論

2.1系統(tǒng)的同步性條件

若不計阻尼力的影響,該力學(xué)系統(tǒng)在運動過程中,除受到重力的作用外,還受3個電動機電磁轉(zhuǎn)矩Tei的作用,所以系統(tǒng)是一個完整的非保守系統(tǒng).由系統(tǒng)的Hamilton原理[13],有

(3)

式中:H為Hamiton作用量,Qi為廣義力,qi為廣義坐標.

系統(tǒng)的總動能為

(4)

式中Tz為3個激振電機的旋轉(zhuǎn)動能總和.在電機穩(wěn)定運轉(zhuǎn)的情況下,Tz可看做常數(shù).

系統(tǒng)的勢能為

(5)

拉格朗日函數(shù):

L=T-V.

(6)

一個運動周期內(nèi)系統(tǒng)的Hamilton作用量為

μi11μi12cos(2α1+2α2+θi2-θi1)+

μi21μi22cos(2α1+2α2+θi3-θi2)+

μi21μi22cos(2α1+2α2+θi3-θi2)+

μi21μi11cos(θi1-θi2)-μi21μi11cos(2α1+θi1-θi2)-

μi21μi12cos(2α1+2α2)+μi21μi22cos(2α2+θi3-θi2)-

μi21μi11cos(-2α1-θi2+θi1)-μi21μi11cos(θi1-θi2)-

μi21μi12cos2α2-μi22μi11cos(-2α1-2α2+θi1-θi3)-

μi22μi11cos(-2α2-θi3+θi1)-μi22μi12cos(θi2-θi3)+

(7)

為了簡化方程令kx1=ky1,kx2=ky2,β1=0，

β2=π，則有

(8)

4F2πkx1μx21μx12sin2α2.

(9)

本系統(tǒng)中α1,α2為廣義坐標,廣義力Q1,Q2為

(10)

將式(8)、(9)和(10)代入式(3),得

(11)

系統(tǒng)同步時相位差角α1,α2在一個周期內(nèi)保持穩(wěn)定，因此,α1,α2有解是系統(tǒng)同步的必要條件.式(11)是關(guān)于α1,α2的二元三角函數(shù),無法求其精確解析解,下面將用數(shù)值方法分析.

2.2系統(tǒng)同步運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性條件

由約束力學(xué)系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性[14]可知,真實運動的Hamilton作用量具有極小值.由多元函數(shù)的極值理論得系統(tǒng)同步運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性條件為

(12)

其中:

(13)

(14)

8F2πcos2α2kx1μx21μx12.

(15)

3系統(tǒng)同步運動數(shù)值分析

式(11)和式(12)均為包含多個系統(tǒng)參數(shù)的方程,很難得出單個參數(shù)對系統(tǒng)同步性的影響.這里采用控制變量法,通過數(shù)值計算,進一步討論中間彈簧剛度和電機安裝位置對系統(tǒng)同步性的影響.取激振電機為3個相同型號的電機(Te1≈Te2≈Te3),系統(tǒng)參數(shù)如下所示:

Jz1=45.22kg·m2,Jz2=44.16kg·m2,kx2=ky2=

50kN/m,Jo1=Jo2=Jo3=0.01kg·m2,kψ1=kψ2=

10kN/rad,β1=0,fx1=fy1=1kN·s/m,fx2=fy2=

1kN·s/m,β2=π,fψ1=fψ2=1kN·s/rad,β3=0,

f1=f2=f3=0,r1=r2=r3=0.05m,

l1=l2=l=0.4m,l3=0m,ω=157rad/s.

(16)

將待研究的參數(shù)作為變量,其余參數(shù)代入式(11)和(12)中，則有

(17)

(18)

式(17)、(18)中q(ki1,m,l,…)是自變量.隨著q的變化，式(17)可以解出不同的α1,α2；再將α1,α2以及q代入式(18)中,若均滿足,則說明在此參數(shù)條件下系統(tǒng)可以實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步運動.

3.1同步性條件

3個激振電機沒有安裝在同一剛體上,所以中間彈簧剛度必然是一個影響系統(tǒng)同步性的重要因素；在工程設(shè)計中,激振電機的安裝位置也是一個調(diào)節(jié)同步性以及同步相位差角的重要參數(shù).在對中間彈簧剛度進行分析的時候,以中間彈簧剛度k(kx1=ky1=k)作為自變量,通過式(17)可解得k與相位差角2α1,2α2的變化曲線；對電機安裝位置進行分析時采用同樣的方法,上質(zhì)體兩電機采用如圖1所示的水平對稱安裝,取Ao′1=0m,L=o1o2,β1=0,β2=π,下質(zhì)體電機位于其質(zhì)心上.數(shù)值分析結(jié)果如圖2所示.

圖2　中間彈簧剛度以及上質(zhì)體電機安裝位置對系統(tǒng)相位差角的影響Fig.2　Effects of stiffness of middle spring and the installation position of motors on phase difference

對式(17)進行求解時：k≤200kN/m時方程組無解,說明此時系統(tǒng)不能實現(xiàn)自同步運動；當k>200kN/m時,α1,α2均可求解出來.由圖2(a)，(b)可知：隨著k的增大，電機1，2的相位差角2α1基本不變,2α1=0°；2002 000kN/m時彈簧剛度的改變對電機2,3的相位差角沒有影響,2α2=180°.改變上質(zhì)體兩電機間的水平安裝距離,相位差角基本不變,說明電機1,2水平安裝距離的變化對系統(tǒng)的同步相位差角影響非常小.

3.2穩(wěn)定性條件

將式(17)中求解出來的相位差角2α1,2α2以及與之對應(yīng)的k(L)值代入(18)式中,同樣運用控制變量法分別研究中間彈簧剛度和激振電機安裝位置對系統(tǒng)同步穩(wěn)定性的影響,若f3(k)>0,f4(k)>0，則系統(tǒng)可以實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步運動,分析結(jié)果如圖3所示.

圖3　中間彈簧剛度以及上質(zhì)體電機安裝位置對系統(tǒng)同步穩(wěn)定性的影響Fig.3　Effects of stiffness of middle spring and the installation position of motors on synchronous stability

從圖3(a)中可以看出：L=0.8m,870≤k≤950kN/m或k≥1 100kN/m時，f3(k)>0；且當k≥9 000kN/m時f3(k)收斂于18；圖3(b)的變化規(guī)律和(a)相似：當899≤k≤901kN/m或1 300≤k≤5 000kN/m時，f4(k)>0；且當k≥8 000kN/m時，f4(k)收斂于-450.因此,L=0.8m時系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定同步運轉(zhuǎn)的條件為899≤k≤901kN/m或1 300≤k≤5 000kN/m.由式(13)可知f3(L),f4(L)均為關(guān)于L的增函數(shù),結(jié)合圖3(a)、(b)得在L=1.0m,899≤k≤901kN/m或k≥1 300kN/m時,f3(k),f4(k)恒大于0,所以L的增大有益于系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定的同步運轉(zhuǎn).

當中間彈簧剛度k足夠大時，上、下質(zhì)體間幾乎沒有相對運動,此時k的變化將不再引起α1,α2和f3(k),f4(k)的變化,這與圖3(a)和圖3(b)中的曲線最后均收斂于某一數(shù)值是一致的.

4仿真驗證

4.1機電耦合仿真結(jié)果

選取電機模塊為3個相同的三相異步電動機(p=2),根據(jù)系統(tǒng)的運動微分方程(1)在MATLAB/Simulink中建立其機電耦合仿真模型[15-16],如圖4所示.采用式(16)中的參數(shù),電機1在15 s時斷開電源,運用控制變量法在數(shù)值分析的基礎(chǔ)上分別研究中間彈簧剛度和電機安裝位置對系統(tǒng)同步相位差角的影響.

圖4　系統(tǒng)機電耦合仿真模型Fig.4　Electromechanical-coupling simulation model of system

圖5　中間彈簧剛度對系統(tǒng)相位差角的影響Fig.5　Effect of stiffness of middle spring on phase difference

圖5(a)、(b)為L=1.0m時,不同中間彈簧剛度k條件下,相位差角2α1,2α2隨時間的變化關(guān)系,相位差角曲線收斂于某一數(shù)值表明系統(tǒng)處于同步狀態(tài).結(jié)合兩圖可知,k=900kN/m,k=1 300kN/m和k=4 000kN/m時系統(tǒng)均可實現(xiàn)穩(wěn)定的同步運動,且在未切斷電源之前不同的彈簧剛度k對應(yīng)的相位差角曲線在穩(wěn)定后基本是重合的.在沒有切斷電機1電源之前,電機1,2的相位差角基本穩(wěn)定在0°,電機2,3的相位差角基本穩(wěn)定在-180°.15s時切斷電機1電源,一段時間后系統(tǒng)重新達到穩(wěn)定狀態(tài).此時,不同彈簧剛度的系統(tǒng)相位差角有所不同,電機1,2的相位差角隨著中間彈簧剛度的增大而增大,-66°≤2α1≤-13°,電機2,3的相位差角也隨著中間彈簧剛度的變化而變化,-178°≤2α2≤-171°.

圖6(a)，(b)為k=8 000kN/m時,將電機安裝位置作為變量得出的曲線,圖中L=0m和L=0.6m曲線均是在開始實現(xiàn)了同步狀態(tài),隨著時間的推移又進入了一種新的同步狀態(tài),說明此時同步運動是不穩(wěn)定的；L=1.0m和L=2.0m曲線基本重合,且不隨時間的變化而變化,說明在這種參數(shù)條件下系統(tǒng)的同步運動是穩(wěn)定的.因此,電機1，2水平安裝距離的增大有益于系統(tǒng)的自同步運動.電機1，2的同步相位差角穩(wěn)定在0°,電機2，3的同步相位差角穩(wěn)定在-180°.

圖6　電機安裝位置對系統(tǒng)相位差角的影響Fig.6　Effect of the installation position of motors on phase difference

4.2仿真驗證理論

圖2、圖3為理論分析結(jié)果.圖3解出的系統(tǒng)的同步相位差角為：2α1=0°,175.3°≤2α2≤180°.L=0.8m時系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步運動的區(qū)域為:899≤k≤901kN/m或1 300≤k≤5 000kN/m,k≥5 000kN/m時系統(tǒng)的同步運動不穩(wěn)定；L≥1.0m系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步運動的區(qū)域為:899≤k≤901kN/m或k≥1 300kN/m.圖5、圖6為計算機仿真結(jié)果.由圖5得,L=1.0m,899≤k≤901kN/m或k≥1 300kN/m時,系統(tǒng)可以實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步運動,同步相位差角2α1≈0°,2α2≈-180°.由圖6得k=8 000kN/m時,L=0m和L=0.6m時系統(tǒng)的同步運動是不穩(wěn)定的；L=1.0m和L=2.0m時系統(tǒng)的同步運動是穩(wěn)定的,同步相位差角2α1≈0°,2α2≈-180°.

綜上所述,理論分析的中間彈簧剛度k和上質(zhì)體水平安裝距離L對系統(tǒng)同步性以及穩(wěn)定性的影響規(guī)律與仿真分析結(jié)果是一致的,兩者所計算出來的具體數(shù)值有著較小的誤差,這樣的精度已經(jīng)可以滿足工程中的實際應(yīng)用.產(chǎn)生誤差的主要原因是:用理論分析法求解多元微分方程(1)時,所求結(jié)果為其近似解析解,而仿真模型則是通過循環(huán),所求結(jié)果為其精確數(shù)值解；理論分析時,代入的電機轉(zhuǎn)速ω為其平均值,而仿真模型中電機轉(zhuǎn)速則是在其穩(wěn)定值附近微小波動的.

5結(jié)論

1)本文提出了一種三激振器雙質(zhì)體振動系統(tǒng),利用Lagrange方程推導(dǎo)出系統(tǒng)運動微分方程,并求出其穩(wěn)態(tài)解.運用Hamilton原理推導(dǎo)出系統(tǒng)實現(xiàn)自同步運動的條件為:式(11)中α1,α2有解；系統(tǒng)自同步運動的穩(wěn)定性條件為:式(12)成立.

2)對理論分析結(jié)果進行數(shù)值分析得出:中間彈簧剛度是一個影響雙質(zhì)體振動系統(tǒng)實現(xiàn)自同步運動的重要因素,在式(16)參數(shù)條件下系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定自同步運動的區(qū)域為899≤k≤901 kN/m或1 300≤k≤5 000 kN/m；電機安裝位置也是一個影響系統(tǒng)自同步運動的重要因素,上質(zhì)體兩電機水平安裝距離的增大有益于系統(tǒng)的自同步運動,令式(16)參數(shù)L≥1.0 m,則系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定的自同步區(qū)域為899≤k≤901 kN/m或k≥1 300 kN/m.幾種不同的參數(shù)條件下,系統(tǒng)的同步相位差角基本相同,電機1,2的相位差角2α1=0°,電機2,3的相位差角2α2=180°.

3)用機電耦合仿真模型在理論分析的基礎(chǔ)上研究了中間彈簧剛度k和上質(zhì)體水平安裝距離L對系統(tǒng)同步性的影響,得出了與理論分析方法一致的結(jié)論,驗證了理論分析的正確性.

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Study on self-synchronization of double mass vibrating system with tri-exciter

HOU Yong-Jun1, YU Le1, FANG Pan1, CHENG Pu-chun2

(1. School of Mechatronic Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China；2. School of Sciences, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China)

Abstract：A double mass vibrating system of self-synchronization with tri-exciter was put forward. The advantages of this system included that it had larger screening area, smaller share space and little loads transmitted to the foundation. Firstly, the dynamic differential equation of the system was established based on the Lagrange equation, and the stable solutions were obtained. Then using Hamilton principle, the self-synchronization qualification and stability condition were obtained. Using the method of controlling variables, the effects of stiffness of middle spring and the installation position of motors to the system self-synchronization and its phase difference were analyzed. The research results showed that the system could realize a stably synchronized motion when the parameters satisfied the synchronization and stability condition. The synchronous phase difference of two motors of upper body was 0° , and the phase difference which was between upper and lower body was 180°. Finally, the results of electromechanical-coupling simulation model verified the correctness of theoretical analysis. The study provides theoretical basis for design and analysis of this system.

Key words：double mass vibration system； Hamilton； controlling variables； synchronization； stability

中圖分類號：TH 113

文獻標志碼：A

文章編號：1006-754X(2016)01-0082-08

作者簡介：侯勇俊(1967—),男,四川成都人,教授,博士,從事石油礦場機械和機械動力學(xué)研究，E-mail:hyj2643446@126.com.

收稿日期：

2015-08-04.

本刊網(wǎng)址·在線期刊：http://www.journals.zju.edu.cn/gcsjxb

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51074132)；西南石油大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目(CX2014SY38).

http://orcid.org//0000-0001-5176-4105

DOI:10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.01.013