陳 亮, 盧威, 黃亞慶

(福州大學機械工程及自動化學院,福建 福州 350108)

融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法

陳 亮, 盧威, 黃亞慶

(福州大學機械工程及自動化學院,福建 福州 350108)

針對標準協(xié)同優(yōu)化方法存在對初始點選取敏感、優(yōu)化結果易收斂于局部最優(yōu)解等問題,通過對松弛因子法特點的分析,給出了一種綜合應用固定松弛因子和動態(tài)松弛因子方法,融合全局逼近與局部精化的改進協(xié)同優(yōu)化方法,并將Kriging近似模型引入到改進的協(xié)同優(yōu)化方法中,減小了迭代計算量,提高了優(yōu)化效率,可快速精確地收斂到全局最優(yōu)解處.通過汽車盤式制動器的優(yōu)化設計,驗證了本文方法的有效性與穩(wěn)定性.

多學科設計優(yōu)化; 協(xié)同優(yōu)化; 松弛因子法; Kriging近似模型

多學科設計優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization,MDO)方法是由美籍波蘭裔數(shù)學家Sobieszczanski-Sobiesk提出的,應用于大規(guī)模復雜工程系統(tǒng)的設計領域[1].MDO方法是一種通過充分探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機制來設計復雜系統(tǒng)的方法[2].

MDO優(yōu)化算法是多學科設計優(yōu)化領域的研究熱點.常見的MDO優(yōu)化算法可分為單級優(yōu)化算法和多級優(yōu)化算法.多級優(yōu)化算法中的協(xié)同優(yōu)化(Collaborative Optimization,CO)方法因具有高度的學科自治性、學科組織結構和現(xiàn)有工程設計良好的適應性而引起國內外學者的廣泛關注[3-4].

然而CO方法仍然存在一些缺陷,系統(tǒng)級優(yōu)化中的一致性約束采取等式約束使得系統(tǒng)級在優(yōu)化過程中很可能不存在可行域.由于Kuhn-Tucker條件中的拉格朗日乘子不存在,或者學科間一致性約束函數(shù)在最優(yōu)解處的Jacobian矩陣不連續(xù),使得協(xié)同優(yōu)化方法中系統(tǒng)級優(yōu)化不能滿足Kuhn-Tucker條件[5].若設計空間非光滑,極易使迭代搜索到局部最優(yōu)處,這些缺陷使得CO方法在計算時存在收斂困難和對初始點選取比較敏感等問題.

針對上述問題,許多學者提出了改進措施,如基于響應面來接近一致性約束函數(shù)[6];在系統(tǒng)級目標函數(shù)中引入一致性約束作為懲罰函數(shù)項[7];對系統(tǒng)級的等式約束進行松弛,將一致性約束由嚴格等式約束形式改為不等式形式以及動態(tài)改寫松弛因子，等等[8-9]，這些方法主要是改變一致性約束的表達形式,其優(yōu)化結果仍受初始點的影響而表現(xiàn)得穩(wěn)定性不足或精度不夠.為此本文在對動態(tài)松弛因子法與固定松弛因子法的特性進行分析的基礎上,給出了一種融合全局逼近與局部精化的改進協(xié)同優(yōu)化方法,避免了對初始點選取的敏感,能快速精確地收斂到全局最優(yōu)解,并以汽車盤式制動器為例,驗證了該方法的可行性與穩(wěn)定性.

1 協(xié)同優(yōu)化方法的改進

由于CO算法中系統(tǒng)級優(yōu)化中的一致性等式約束造成計算困難,故利用松弛因子法將系統(tǒng)級優(yōu)化改為[8]:

minF(Z)

(1)

子系統(tǒng)級優(yōu)化為

(2)

松弛因子ε在選定后在優(yōu)化過程中保持不變,即固定松弛因子.為了增強學科間的一致性,ε的值越小越好,但過小的ε值會致使系統(tǒng)級可行域過小或不存在,而ε值過大則會失去一致性約束的意義.為此基于學科間一致性信息來動態(tài)改寫松弛因子ε,此即動態(tài)松弛法[9].

(3)

圖1 動態(tài)松弛因子法幾何分析圖Fig.1 Geometry analysis of dynamic relaxation factor method

另外,式(3)對一致性信息的定義只適用于各子系統(tǒng)設計向量相同,且子系統(tǒng)個數(shù)為2的情況,對于多個子系統(tǒng)且子系統(tǒng)設計變量不相同的情況則不適用,使得基于動態(tài)松弛因子的CO方法存在局限性.觀察協(xié)同優(yōu)化子系統(tǒng)的目標函數(shù)可知,當系統(tǒng)級分配的設計向量期望值越靠近子系統(tǒng)的可行域時,各子系統(tǒng)的目標函數(shù)值越小,子系統(tǒng)返回給系統(tǒng)級的優(yōu)化結果越能滿足系統(tǒng)級的一致性等式約束,即各子系統(tǒng)目標函數(shù)值反映了系統(tǒng)級優(yōu)化中一致性約束的滿足程度,也體現(xiàn)了學科間一致性情況.故本文將一致性信息定義為如式4所示的各個子系統(tǒng)目標函數(shù)值平方根和的均值,式中n為子系統(tǒng)的個數(shù).

(4)

3 基于Kriging近似模型的融合全局逼近與局部精化的CO方法

針對CO方法對初始點選取敏感和易陷入局部優(yōu)化的問題,SCO方法[10]采用全局和局部兩階段優(yōu)化,能較好地搜索到全局極值點.該方法全局優(yōu)化階段需要根據(jù)學科間不一致信息值進行松弛因子的切換,可能會引起目標函數(shù)的反復震蕩現(xiàn)象,造成計算復雜,不利于求解收斂.基于前面分析,本文提出基于Kriging近似模型的融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法,該方法融合了雙階段優(yōu)化的思想,但相比于SCO方法,全局優(yōu)化階段與局部優(yōu)化階段無須進行松弛因子的切換,減少了迭代次數(shù),利于計算收斂,同時子系統(tǒng)分析中引入Kriging近似模型對復雜的目標函數(shù)和約束進行簡化,降低了計算復雜度,提高了優(yōu)化效率.其主要思想如下:

在協(xié)同優(yōu)化求解初始階段,學科間不一致性信息較大,此時采用較小的固定松弛因子不能保證得到充分的系統(tǒng)可行解,易使優(yōu)化點從非全局最優(yōu)附近進入可行域,這也是造成標準CO方法的優(yōu)化結果對初始點選取敏感的原因.而動態(tài)松弛因子法能獲得較大的可行范圍,避免陷入局部最優(yōu).使用動態(tài)松弛法尋優(yōu)到全局極值點附近區(qū)域的這一過程稱為全局逼近尋優(yōu)階段.但由于動態(tài)松弛法計算精度不高,為了避免全局逼近尋優(yōu)誤差過大,本文在系統(tǒng)級中增加全體一致性約束條件,如式(5)所示.

(5)

式中：δ為全體一致性系數(shù),一般取[0.8,1).全局逼近尋優(yōu)后,優(yōu)化點在全局極值點附近,此時的學科間不一致信息較小,取較小的固定松弛因子能使優(yōu)化點從全局極值點附近區(qū)域迅速進入系統(tǒng)可行域,從而快速精確地收斂到全局最優(yōu)點,這一過程稱為局部精確尋優(yōu)階段.融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法的框架如圖2所示.在全局逼近尋優(yōu)階段選用粒子群優(yōu)化算法PSO,利用其不計算函數(shù)梯度和全局尋優(yōu)能力強等特點;在局部精確尋優(yōu)階段選用序列二次規(guī)劃算法NLPQL,利用其優(yōu)化速度快的特點,又避免了其依賴初始點的選擇和易陷入局部解的缺點.另外本文選用Kriging近似模型對于線性和非線性問題都具有較高的近似精度.

圖2 融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法框架圖Fig.2 The framework of the proposed CO method

4 汽車盤式制動器實例分析

汽車盤式制動器由制動盤和制動鉗機構組成.制動時缸筒中的高壓油推動活塞,進而推動襯片與制動盤發(fā)生摩擦,將汽車動能轉化為制動盤的內能,以便汽車減速制動,圖3為浮鉗盤式制動器結構圖,設計變量及范圍見表1.

4.1 學科分析

運動學科1:優(yōu)化目標為“制動時間t最小”.約束條件包括:油缸內油壓p0不超過規(guī)定范圍[pmax];制動片壓力q不應超過規(guī)定值[qmax];制動矩不大于車輪與路面的附著力矩.φ為附著系數(shù),給定φ=1,r為輪胎滾動半徑;W1為單個車輪承受的總重量,單位N;f為制動盤與制動片間的摩擦因數(shù),取0.38.

結構設計學科2:優(yōu)化目標為“制動盤和制動片總質量最小”.約束條件包括:制動片的壓力不應超過其規(guī)定值;制動片不與輪轂發(fā)生干涉,Dn為輪轂直徑;制動片外徑不能大于制動盤的直徑;油缸不應與輪轂發(fā)生干涉,tc為油缸壁厚;制動盤直徑不大于規(guī)定的最大值Dmax.

表1 盤式制動器設計變量

圖3 浮鉗盤式制動器結構圖Fig.3 Structure of disk brake

熱力學學科3:優(yōu)化目標為“制動盤溫度T最小”.約束條件為制動后制動盤最高溫度不超過許用值[Tmax].

minf1(x)=t

minf3(x)=T

minf1(x)=m

tc=5 mm

(6)

4.2 盤式制動器多學科優(yōu)化設計模型

將盤式制動器的優(yōu)化設計問題分解為系統(tǒng)級與3個子系統(tǒng)級的結構,其數(shù)學模型如下所示:

令{R1,R2,Dp,a,θ,p0,D}={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}

系統(tǒng)級優(yōu)化:

minf(Z)=24t+4m+0.3T

(7)

子系統(tǒng)優(yōu)化:J1,J2,J3為3個子系統(tǒng)的目標函數(shù),Z*為系統(tǒng)級分配給子系統(tǒng)的期望值;X1,X2,X3分別是3個子系統(tǒng)的設計變量.

(8)

4.3 基于多學科優(yōu)化軟件iSIGHT的自動優(yōu)化平臺的建立

基于iSIGHT建立了一個融合全局逼近和局部精化的協(xié)同優(yōu)化平臺,在學科分析中集成ANSYS有限元分析,有限元模型采用SOLID226的熱結構耦合單元.用APDL語言求出全部空間離散點處在每一時刻的溫度值,找出最高溫度T值,輸出給熱力學科作為其目標函數(shù)值.已知制動盤材料為ZG1Cr13,制動片材料為樹脂基復合材料,根據(jù)制動器幾何尺寸,使用APDL語言求出整個制動器質量m值,輸出給結構設計學科作為其目標函數(shù)值.

自動優(yōu)化流程為:①對盤式制動器進行參數(shù)化建模;②進行網(wǎng)格劃分;③有限元仿真分析;④輸出仿真計算結果至優(yōu)化框架中;⑤對輸入的設計變量等相關參數(shù)進行優(yōu)化并判斷是否收斂,收斂則輸出優(yōu)化解,否則更新設計變量返回第1步.為了降低子系統(tǒng)分析計算的復雜度,減少優(yōu)化時間,分別對運動學、結構學和熱力學3個子系統(tǒng)采用基于優(yōu)化拉丁超立方試驗設計的取樣方法構建了Kriging近似模型.

本文的優(yōu)化結果與文獻[11]的優(yōu)化結果的對比如表2所示.

表2 優(yōu)化結果

由表2可知,全局逼近尋優(yōu)階段迭代301次后獲得逼近全局優(yōu)化解,將全局階段的優(yōu)化結果作為局部精確尋優(yōu)階段的初始值進行優(yōu)化,經(jīng)過42此次迭代過程得到全局最優(yōu)解.與文獻[10]中采用多學科可行方向法的優(yōu)化結果對比可以看出,雖然制動器質量m有些許增大,但制動時間t,制動溫度T都有改善,其中制動溫度T的降低較為明顯,說明了本文所提出的方法的可行性與有效性.

5 結語

本文給出了一種融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法,基于對固定松弛因子法和動態(tài)松弛因子法特點的分析,將動態(tài)松弛變量法應用于全局逼近尋優(yōu)階段,增加全體一致性約束,并選用粒子群優(yōu)化算法,以獲得靠近全局最優(yōu)解的點,為局部精確尋優(yōu)階段提供了良好的初始點.局部精確尋優(yōu)階段則采用較小的固定松弛因子,以序列二次規(guī)劃法NLPQL為優(yōu)化算法,可快速精確地收斂到全局最優(yōu)解處.通過汽車盤式制動器的優(yōu)化實例,驗證了該方法的可行性與有效性.

[1] SOBIESZCZANSKI-SOBIESKI J.Multidisciplinary design optimization:an emerging new engineering discipline[C]∥Herskovits J.Advances in Structural Optimization,London:Kluwer Academic Publishers,1995.

[2] WECK OD,AGTE J,SOBIESZCZANSKI-SODIESKI J,et al.State-of-the-art and future trends in multidisciplinary design optimization[C]∥48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference,Reston:AIAA2007:2467-2487.

[3] 劉克龍,姚衛(wèi)星,余雄慶.幾種新型多學科設計優(yōu)化算法及比較[J].計算機集成制造系統(tǒng),2007,13(2):209-216.

LIU Kelong,YAO Weixing,YU Xingqing.Same new algorithms for multidisciplinary design optimzation and their comparison[J].Computer lntegrated Manufacturing Systems,2007,13(2):209-216.

[4] BERBECEA A C,GILLON F,BROCHET P.Multi-level design of an isolation transformer using collaborative optimization[J].The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering,2014,33(3):1038-1050.

[5] ALEXANDROV N,LEWIS R M.Analytical computational aspects of collaborative optimization for multidisciplinary design[J].AIAA Journal,2002,40(2):301-309.

[6] JANG B S,YANG Y S,JUNG H.S,et al.Managing approximation models in collaborative optimization [J].Structural Multidisciplinary Optimization,2005,30(1):11-26.

[7] LIN J.Analysis and Enhancement of collaborative optimization for multidisciplinary design.AIAA Journal,2004,42(2):348-360.

[8] ALEXANDROV N,LEWIS R M.Analytical and computational aspects of collaborative optimization[R].In 8th Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization,2000,NASA-2000-210104.

[9] LI X,LI W J,LIU C A.Geometric analysis of collaborative optimization.Structural Multidisciplinary Optimization,2008,35(4):301-313.

[10] 李海燕,馬明旭,井元偉,等.一種具有全局穩(wěn)定性的多學科協(xié)同優(yōu)化方法[J].計算機集成制造系統(tǒng),2009,15(12):2363-2369.

LI Haiyan,MA Mingxu,JING Yuanwei,et al.Improved multidisciplinary couaborative optimization with global stabilty[J].Computer Lntegrated Mabufacturing Systems,2009,15(12):2363-2369.

[11] 胡文婕,陳亮.基于iSIGHT的汽車盤式制動器多學科設計優(yōu)化[J].農業(yè)機械學報,2010,41(5):17-20.

HU Wenjie,CHEN Liang.Multidisciplinary design optimization for auto mobile biake based on iSGHT[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2010,41(5):17-20.

Collaborative optimization method via global approaching and local precision

Chen Liang, LU Wei, Huang Ya-qing

(College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108)

Due that the standard collaborative optimization method is sensitive to the initial point selection and easily converges to the local optimum, an improved collaborative optimization method is proposed based on the feature analysis via relaxation factor method. By combining global approaching with local precision via the fixed and dynamic relaxation factors, the Kriging approximation model is introduced to reduce iterative computation and improve optimization efficiency for global optimum. Therein, the disc brake is used as a case to illustrate the feasibility and stability of the proposed method.

multidisciplinary design optimization; collaborative optimization; relaxation factor; kriging approximation model

福建省自然科學基金資助項目(2014J01184)

陳 亮(1963-),男,教授,博士.E-maiL:cfjfz@qq.com

文獻標志碼： A 文章編號： 1672-5581(2016)05-0394-05