陸芹華

近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說(shuō)是變量數(shù)學(xué)。從初等數(shù)學(xué)發(fā)展到近代數(shù)學(xué)，解析幾何的發(fā)明是變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑。正如恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)?！?/p>

講到解析幾何，就要從其創(chuàng)始人笛卡兒談起。

笛卡兒1596年生于法國(guó)土倫省萊耳市的一個(gè)貴族之家，父親是地方議會(huì)的議員，笛卡兒無(wú)憂無(wú)慮地度過(guò)了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對(duì)周?chē)氖挛锍錆M了好奇，被父親稱(chēng)為“小哲學(xué)家”。在笛卡兒八歲時(shí)，父親便將他送入拉弗萊什的教會(huì)學(xué)校學(xué)習(xí)，接受古典教育。校方為照顧他孱弱的身體，特許他可以不受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書(shū)，因此他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習(xí)慣。

1616年笛卡兒結(jié)束學(xué)業(yè)后，便背離家庭的職業(yè)傳統(tǒng)，開(kāi)始探索人生之路。他棄筆從戎，想借機(jī)游歷歐洲，開(kāi)闊眼界。這和東方教育中的“讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路”在本質(zhì)上是相通的。在此期間有幾次經(jīng)歷對(duì)他產(chǎn)生了重大的影響。一次，笛卡兒在街上散步，偶然間看到了一張數(shù)學(xué)題懸賞的啟事。兩天后，笛卡兒竟然把那個(gè)問(wèn)題解答出來(lái)了，引起了著名學(xué)者皮克曼的注意。皮克曼向笛卡兒介紹了數(shù)學(xué)的最新發(fā)展，給了他許多有待研究的問(wèn)題。

回國(guó)后，由于經(jīng)常不分白天黑夜地研究數(shù)學(xué)，笛卡兒病到了。人躺在床上，那些可愛(ài)而又折磨著他的數(shù)學(xué)問(wèn)題又來(lái)了：“直觀、形象是幾何圖形的特征，而代數(shù)方程雖十分抽象，但便于運(yùn)算，要是能將兩者結(jié)合起來(lái)，用幾何圖形表示方程，或者用代數(shù)的方法解決幾何學(xué)問(wèn)題，那該多好??！”他已找到了解決問(wèn)題的關(guān)鍵，即只要把組成幾何圖形的“點(diǎn)”與滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，其他問(wèn)題就都迎刃而解了。傳說(shuō)某一天，他看見(jiàn)蜘蛛正忙著在墻角落上結(jié)網(wǎng)。這精彩的“雜技”牢牢地把笛卡兒吸引住了。這一有趣的現(xiàn)象，使笛卡兒受到啟發(fā)。

他在紙上畫(huà)出三條相互垂直的直線，分別表示兩墻的交線和墻與天花板的交線，并在空間點(diǎn)出一個(gè)P點(diǎn)代表蜘蛛，P到兩墻的距離分別用x和y表示，到天花板的距離則用x表示。這樣，只要x，y，z有了準(zhǔn)確的數(shù)值，P點(diǎn)的位置就完全可以確定了。就這樣，笛卡兒把以往對(duì)立的兩個(gè)研究對(duì)象“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)了，并在數(shù)學(xué)中引入了變量的思想，從而完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革，用代數(shù)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的幾何方法，解析幾何的許多思想都是笛卡兒首創(chuàng)的。

據(jù)說(shuō)，笛卡兒曾在一個(gè)晚上做了三個(gè)奇特的夢(mèng)。第一個(gè)夢(mèng)是笛卡兒被風(fēng)暴吹到一個(gè)風(fēng)力吹不到的地方；第二個(gè)夢(mèng)是他得到了打開(kāi)自然寶庫(kù)的鑰匙；第三個(gè)夢(mèng)是他開(kāi)辟了通向真正知識(shí)的道路。這三個(gè)奇特的夢(mèng)增強(qiáng)了他創(chuàng)立新學(xué)說(shuō)的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有些學(xué)者也把這一天定為解析幾何的誕生日。

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，許多數(shù)學(xué)名家并非一開(kāi)始就是從事數(shù)學(xué)研究的，很多人由偶然的機(jī)會(huì)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，才走上專(zhuān)業(yè)化發(fā)展道路的。解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒就是很好的范例。

或許我們的同學(xué)在學(xué)習(xí)了解析幾何后，也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，喜歡上數(shù)學(xué)，我們期待著。

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。基本思想是：首先需要把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式；然后，用代數(shù)方法算出結(jié)果；最后，把算出來(lái)的結(jié)果再轉(zhuǎn)化成幾何形式。這兩次轉(zhuǎn)化的橋梁就是笛卡兒提出的兩個(gè)基本觀點(diǎn)：用坐標(biāo)表示點(diǎn)；用方程表示曲線。解析幾何主要有兩大任務(wù)：（1）根據(jù)曲線的幾何條件，把它的代數(shù)形式表示出來(lái)；（2）通過(guò)曲線的方程來(lái)討論它的幾何性質(zhì)。

為了更進(jìn)一步說(shuō)明笛卡兒的解析幾何思想，我們將其方法運(yùn)用于如圖2所示的圓。

假設(shè)該圓的半徑為5。設(shè)P是曲線上的任意一點(diǎn)，x和y是其坐標(biāo)。再根據(jù)歐式幾何中的畢達(dá)哥拉斯定理：一個(gè)直角三角形中，兩直角邊的平方和等于其斜邊的平方，這就告訴我們有x²+y²=25（*）。這個(gè)關(guān)系適用于圓上的每一個(gè)點(diǎn)；也就是，每一個(gè)點(diǎn)的x和y都滿足x²+y²=25。例如，坐標(biāo)為（3，4）的點(diǎn)，因?yàn)?²+4²=25，所以該點(diǎn)位于圓上。但是（3，2）就不是圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)?²+2²不等于25。如果將一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)值x和縱坐標(biāo)值y代入（*）式，使其左邊等于右邊，則我們就說(shuō)該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（*）。圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程；不在圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程。

解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面的工具。偉大的數(shù)學(xué)家拉格朗日說(shuō)：“只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門(mén)科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善?！?7世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于笛卡兒和他的解析幾何，可以說(shuō)，如果沒(méi)有解析幾何的預(yù)先發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中極為重要的微分學(xué)和積分學(xué)也是不可能出現(xiàn)的。