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        新工具,新面貌

        2016-03-05 03:29:16丁興春
        新高考·高一數(shù)學(xué) 2016年1期
        關(guān)鍵詞:解題利用方法

        丁興春

        平面向量融數(shù)形于一體,具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份。構(gòu)造向量來解決代數(shù)、三角中的一些問題,不但方法新穎,運(yùn)算簡潔,而且也是啟迪我們思維的一種有效的方法。下面我們通過舉例說明平面向量這個工具在代數(shù)中的一些應(yīng)用。

        一、求值

        例1 已知3sinθ+4cosθ=5,求tanθ的值。

        解析 本題的一般解法是將3sinθ+4cosθ=5與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立建立方程組,解出sinθ,cosθ,再求tanθ。這里我們利用向量來解決該問題。

        構(gòu)造向量a=(3,4),b=(sinθ,cosθ),貝a·b=5,且|a|=5,|b|=1,

        又由a·b=|a||b|cos,得cos=1,即a,b同向平行,于是有4sinθ=3cosθ,

        從而可得tanθ=3/4。

        例2 已知0<α<β<γ<2π,且cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+sinγ=0,求β-α的值。

        解析 構(gòu)造向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(cosγ,sinγ),貝a,b,c有共同的起點(diǎn)O(坐標(biāo)原點(diǎn)),它們的終點(diǎn)A,B,C均在以O(shè)為圓心的單位圓上,且A,B,c三點(diǎn)按逆時針方向排列。依題意得a+b+c=0,因此點(diǎn)O為△ABC的重心,又知點(diǎn)O為△ABC的外心,從而可知△ABC為等邊三角形,于是β-α-γ-β=2π/3。

        二、求函數(shù)的最值

        利用向量方法往往可以解決一些帶根式的函數(shù)最值問題。

        如圖1可知,欲使得最大,則a的終點(diǎn)應(yīng)為(2,0),故當(dāng)x=0時,f(x)取到最小值為6。

        沒有而去構(gòu)造,構(gòu)造而去應(yīng)用,解題另辟蹊徑,面貌煥然一新。這是解題的智慧,這是數(shù)學(xué)的魅力,這是創(chuàng)造的價值。

        當(dāng)然不是所有的代數(shù)與三角問題都可以通過構(gòu)造向量的方法解決,當(dāng)一個代數(shù)問題中蘊(yùn)含了一些與向量相關(guān)的量,比如常見的數(shù)量積、模長等,這個時候不妨考慮構(gòu)造恰當(dāng)?shù)南蛄縼斫鉀Q問題,這是利用向量工具來解決代數(shù)與三角問題的關(guān)鍵。

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