侍然

“摸球試驗(yàn)”是古典概型的典型代表.很多中考試題常常是以摸球問(wèn)題為原型，將條件或結(jié)論適當(dāng)?shù)馗淖儭⒁?、重組，命制出精彩的試題.下面就一道有關(guān)摸球試驗(yàn)的課本例題進(jìn)行變式研究，讓同學(xué)們從不同角度、不同層次認(rèn)識(shí)概率.

課本例題（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第136頁(yè)例4）

一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和兩個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從袋中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、搖勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球.求兩次都摸到紅球的概率.

解：把兩個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的.“兩次都摸到紅球”有4種可能，所以P（兩次都摸到紅球）=.

【方法歸納】當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為2步，但所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時(shí)，運(yùn)用“表格”較為清晰、便捷；當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為3步時(shí)，則一般運(yùn)用“樹(shù)狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果求解.

變式一：求兩次摸到同樣顏色球的概率.

變式二：如果第一次摸出的球不放回，那么兩次都摸到紅球的概率是多少？

【分析】變式一只需從表格中找到兩次摸到同樣顏色球有5種可能.所以P（兩次都摸到同樣顏色球）=.

變式二屬于“不放回”的情況，先列出表格為：

所以第一次摸出的球不放回，兩次都摸到紅球的概率==.例題與變式二區(qū)別在于前者是“放回”，后者是“不放回”，要注意它們列出表格的不同點(diǎn).如果條件是“一次摸兩個(gè)球”，這里雖然沒(méi)有明說(shuō)是放回還是不放回，但是我們也應(yīng)做不放回處理.

變式三：有甲、乙兩個(gè)不透明的布袋.甲袋中有兩個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1和-2；乙袋中有三個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字-1、0和2.小麗先從甲袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字為x，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一個(gè)小球，記錄下小球上的數(shù)字為y，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.

（1） 請(qǐng)用表格或樹(shù)狀圖列出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)；

（2） 求點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x+1圖像上的概率.

【分析】變式三由原來(lái)單一地求概率到利用概率知識(shí)與方程、函數(shù)等其它知識(shí)相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，考查了解決綜合問(wèn)題的能力.

解：（1） 畫(huà)樹(shù)狀圖：

∴點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)為：（1，-1）、（1，0）、（1，2）、（-2，-1）、（-2，0）、（-2，2）.

（2） ∵只有（1，2）、（-2，-1）這兩個(gè)點(diǎn)在一次函數(shù)y=x+1的圖像上，

∴P（點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x+1的圖像上）==.

變式四：一只不透明的袋子中，裝有兩個(gè)白球和1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.

（1） 小明認(rèn)為，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，不是白球就是紅球，因此摸出白球和摸出紅球是等可能的.你同意他的說(shuō)法嗎？為什么？

（2）攪勻后從中一把摸出兩個(gè)球，請(qǐng)通過(guò)列表或樹(shù)狀圖求兩個(gè)球都是白球的概率；

（3）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，要使摸出紅球的概率為，應(yīng)如何添加紅球？

【分析】變式四中第（1）題有的同學(xué)會(huì)只考慮球的顏色而忽略球的的個(gè)數(shù)，認(rèn)為摸出白球和摸出紅球是等可能的.第（2）題容易忽視“一把摸出兩個(gè)球”這一條件，它實(shí)質(zhì)屬于“不放回”的情況，不少同學(xué)往往因分析失誤，就會(huì)對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)判斷出錯(cuò)，從而造成解題出錯(cuò).第（3）題既考查概率意義，又考查同學(xué)們靈活運(yùn)用概率知識(shí)設(shè)計(jì)方案的能力.

解：（1） 不同意小明的說(shuō)法.

因?yàn)槊霭浊虻母怕适?，摸出紅球的概率是，因此摸出白球和摸出紅球不是等可能的.

（2） 樹(shù)狀圖如圖：

∴P（兩個(gè)球都是白球）==.

（3） 方法一：設(shè)應(yīng)添加x個(gè)紅球，

由題意得=，

解得x=3（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解）.

方法二：∵添加后P（摸出紅球）=，

∴添加后P（摸出白球）=1-=，

∴添加后球的總個(gè)數(shù)=2÷=6，

∴應(yīng)添加6-3=3（個(gè)）紅球.

答：應(yīng)添加3個(gè)紅球.

有關(guān)以“摸球”為背景的概率題目是我們比較熟悉的常見(jiàn)問(wèn)題.學(xué)習(xí)過(guò)程中同學(xué)們要對(duì)這些典型問(wèn)題反復(fù)進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，既可以增長(zhǎng)知識(shí)，又能培養(yǎng)思維能力.同學(xué)們要注意積累經(jīng)驗(yàn)，提高能力.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）