李先永

概率在日常生活中應(yīng)用非常廣泛，概率題也是中考的必考內(nèi)容.概率中的一些問題，看似相同，實(shí)則不同，容易混淆.因此在解題時，要善于對比思考，推敲它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，提高解題能力.

一、 “隨機(jī)事件”與“等可能性”混淆

等可能性事件是一種特殊的隨機(jī)事件，它依賴于隨機(jī)事件，隨機(jī)事件不一定是等可能性事件.

例1 在一塊平整的地上拋一枚質(zhì)地均勻的圖釘，這個隨機(jī)試驗(yàn)的所有的可能結(jié)果有哪幾種？它們是等可能性的嗎？

【解析】這個隨機(jī)試驗(yàn)的所有的可能結(jié)果有2種：釘帽向上，釘尖向上.它們不是等可能性的.因?yàn)殡m然圖釘質(zhì)地是均勻的，但是釘帽面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于針尖面積，所以釘尖向上的可能性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于釘帽向上的可能性，所以它們不是等可能性的.

【點(diǎn)評】本題有的同學(xué)會和拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣這個隨機(jī)事件混淆.錯誤地認(rèn)為2種結(jié)果是等可能性的.要特別注意有的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果不一定是等可能性的.

二、 隨機(jī)事件發(fā)生的“頻率”與“概率”混淆

例2 下列兩個命題中錯誤的是（ ）.

（1） 拋擲100次硬幣，出現(xiàn)正面向上的頻率為0.4，則該試驗(yàn)中，硬幣正面向上的次數(shù)為40次.

（2） 若一批產(chǎn)品的次品率為0.1，則從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，一定會有10件次品.

【解析】隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率=，它隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變.在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，頻率的值是穩(wěn)定的，接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就是隨機(jī)事件發(fā)生的概率.雖然事件發(fā)生的概率反映了事件發(fā)生的必然規(guī)律，但事件的發(fā)生又帶有偶然性.在命題（2）中次品率為0.1，不等于100件產(chǎn)品中一定有10件次品，故（2）是錯誤的.

練習(xí) 下列兩個命題中錯誤的是（ ）.

（1） 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n給定后，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A出現(xiàn)的次數(shù)成正比.

（2） 如果某事件發(fā)生的概率是，則該事件在n次試驗(yàn)中至少發(fā)生一次.

答案：（2）.

三、 抽樣中的“放回”與“不放回”混淆

例3 現(xiàn)有四張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3的卡片，它們除數(shù)字外完全相同，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張后放回，再背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，則兩次抽出的卡片所標(biāo)數(shù)字不同的概率是_______.

【解析】本題可用列表法或畫樹狀圖的方法求概率.列表如下：

由列表可得所有等可能的情況有16種，其中兩次抽出卡片所標(biāo)數(shù)字不同的情況有10種，則P==.

例4 一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為.

（1） 袋里紅球有多少個？

（2） 從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率.

【分析】（1） 設(shè)紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)從中任意摸出1個球，是白球的概率為列方程求解即可.

（2） 根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目.二者的比值就是其發(fā)生的概率.

解：（1） 紅球的個數(shù)為x個，

則根據(jù)題意，得=，

解得x=1（檢驗(yàn)合適），

∴布袋里紅球有1個.

（2） 樹狀圖如下：

∵兩次摸球共有12種等可能結(jié)果，兩次摸到的球都是白球的情況有2種，

∴兩次摸到的球都是白球的概率為=.

上述兩例可看成同是“隨機(jī)摸球問題”.例3中可把卡片看成球，每次抽取一張卡片放回看成取出的球放回，袋中的球始終保持不變，故每次取球是相互獨(dú)立的，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；例4中取出的球不放回，每取出一個球后，袋中的球就少一個.一般地，題目中會點(diǎn)明用什么方法抽樣，例如：n人參加摸球游戲，每人摸一次，摸后放回.這就是需要放回的時候.如果條件是“2人參加摸球游戲，每人摸兩個球”，這里雖然沒有說是放回還是不放回，但是也應(yīng)當(dāng)作不放回處理.

四、 列表法與樹狀圖法

當(dāng)一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.涉及兩步實(shí)驗(yàn)求概率問題也可以用列表法.

樹狀圖法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n.涉及多步實(shí)驗(yàn)求概率問題都可以用樹狀圖法.

當(dāng)有兩個元素時，既可用樹狀圖法列舉，也可以用列表法列舉，同時要注意具體問題具體分析，沒有統(tǒng)一的模式.

例5 活動1：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3的3個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分?jǐn)噭颍?、乙、丙三位同學(xué)按丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計(jì)算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分?jǐn)噭?，請你對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序：___→___→___，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于_______，最后一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于_______.

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，…，n（n為正整數(shù)）的n個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分?jǐn)噭?，甲、乙、丙三名同學(xué)從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系.你還能得到什么活動經(jīng)驗(yàn)？（寫出一個即可）

【分析】（1） 應(yīng)用樹狀圖法，判斷出甲勝出的概率是多少即可.

（2） 首先對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序：丙→甲→乙，然后應(yīng)用樹狀圖法，判斷出第一個摸球的丙同學(xué)和最后一個摸球的乙同學(xué)勝出的概率各等于多少即可.

（3） 首先根據(jù)（1）（2），猜想這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出），然后總結(jié)得到的活動經(jīng)驗(yàn)為：抽簽是公平的，與順序無關(guān).

解：（1） 如圖1，甲勝出的概率為：P（甲勝出）=.

（2） 對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序：丙→甲→乙，畫樹狀圖如圖2，則第一個摸球的丙同學(xué)勝出的概率等于，最后一個摸球的乙同學(xué)勝出的概率等于=.

（3） 這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系為：

P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出）.

得到的活動經(jīng)驗(yàn)為：抽簽是公平的，與順序無關(guān).（答案不唯一）

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）