江蘇南京外國語學(xué)校仙林分校（210023） 高 斌

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)有諸多考試，如周考、月考、期中考、階段質(zhì)量檢測、聯(lián)考、模擬考等。試卷講評課成為常態(tài)化課型，其過程大概為：訂正→講評→錯(cuò)題再做→訂正歸類。試卷講評課借助數(shù)據(jù)診斷為學(xué)生提供分析和糾錯(cuò)，教師需科學(xué)、合理地選擇講評內(nèi)容和講評方法，選擇具有針對性和代表性的重點(diǎn)知識和題目，對學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、方法技巧等進(jìn)行鞏固、完善和提升。教師應(yīng)提高試卷講評的實(shí)效性，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。本文以一道試題為切入口，展開“與平面圖形有關(guān)的數(shù)量積問題”的復(fù)習(xí)。

［例1］如圖1，已知在Rt△ABC中∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心，且與邊BC相切的 圓 上，則的 最大值為 。

圖1

一、試卷分析

學(xué)生答題的正確率為28.6%。經(jīng)過訂正，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)如下問題。

原因分析：出現(xiàn)問題1、問題2、問題3 是由于P點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，PB和PC都是變化的，并且線段長度之間沒有明顯的幾何量依存關(guān)系，不能輕易地做下去；出現(xiàn)問題4 是因?yàn)閷W(xué)生通過建系坐標(biāo)法得到的結(jié)構(gòu)涉及兩個(gè)變量x，y，沒有注意到x，y的依存關(guān)系，也沒想到換元或者利用數(shù)形結(jié)合解決問題，導(dǎo)致半途而廢。

二、試題解法

由題意知BC與圓A相切，切點(diǎn)為D，連接AD，如圖2。

圖2

易求半徑PA=r=。

（可由等面積法或點(diǎn)到直線的距離求得）

圖3

解法二（“距離型”求最值法）：如圖4，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y)，有

圖4

解法四（三角函數(shù)法）：實(shí)際上可以認(rèn)為是應(yīng)用參數(shù)方程或者進(jìn)行三角換元求最值。

圖5

解法五（平面向量“極化恒等式”法）：

圖6

三、試題變式

變式1：如圖7，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心，且與邊BC相切的圓上，則的取值范圍為_________。

圖7

解法一（向量法）：

圖8

圖9

小結(jié)：根據(jù)不同的已知條件，如何選擇最優(yōu)的解法？

（1）如果是含有直角的圖形，圖形本身具有對稱性的圖形（如長方形、正方形、圓等），圖形已知夾角或邊長，可以考慮使用基底法或者坐標(biāo)法；

（2）如果圖形不具備建系的條件，或者已知向量確定不變時(shí)，可以選擇基底法或投影法；

（3）圓上動點(diǎn)與圓外定點(diǎn)、定直線的最值問題，轉(zhuǎn)化為圓心與圓外定點(diǎn)、定直線的最值問題。

變式2：如圖10，過點(diǎn)P(-1,1)作圓C：(x-t)2+(y-t+2)2=1(t∈R)的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值是__________。

圖10

變式2 設(shè)計(jì)為含參的題型，同樣需要將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，選擇合適的代數(shù)方法求解，這也是新高考常見的考查方向。從實(shí)際課堂互動來看，學(xué)生在這塊確實(shí)存在困難，需要單獨(dú)進(jìn)行專題化復(fù)習(xí)講解。

四、教學(xué)總結(jié)

1.讓學(xué)生掌握基本的解法：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)模型，再利用幾何意義解題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；由多變量問題向單變量問題轉(zhuǎn)化（換元或者代換），變量統(tǒng)一，體現(xiàn)化歸思想。

2.訓(xùn)練學(xué)生的思維。收集問題，進(jìn)行題型歸類、方法歸類、知識拓展。通過一題多解、一題多變、一題多問，訓(xùn)練發(fā)散性思維；多題歸一，訓(xùn)練整合思維。

3.讓學(xué)生選擇最優(yōu)解法。在復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生選擇最優(yōu)的方法。

4.試卷講評課的基本做法：

（1）剖析問題，攻破難點(diǎn)。統(tǒng)計(jì)學(xué)生的答卷數(shù)據(jù)，將知識點(diǎn)、計(jì)算方法等歸類。根據(jù)分析的數(shù)據(jù)，有選擇地重點(diǎn)講評試題，這樣既能節(jié)省時(shí)間，又能攻破難點(diǎn)。

（2）內(nèi)外牽引，齊頭并進(jìn)。一份試卷的講評不能僅限于就題講題，要有變式、拓展。一類方法，要串聯(lián)盡可能多的知識；一個(gè)板塊，要總結(jié)出常規(guī)方法、合適方法和技巧性方法，以供學(xué)生選擇，這樣學(xué)生都得到較好的提升。

（3）對中擇優(yōu)，對中覓簡。試卷講評過程中，一題多解要突出優(yōu)解。試卷講評不僅要講評錯(cuò)題，也要選擇性地講評正確的題目；同一個(gè)知識點(diǎn)，不同題型，如選擇題、填空題、解答題，方法往往因題而異，應(yīng)做到“快、狠、準(zhǔn)”。

（4）暴露錯(cuò)誤，引導(dǎo)分析。利用多媒體展示學(xué)生的卷面和答題過程，突出常見錯(cuò)誤和優(yōu)秀解法，展示較難問題的分析與解決過程，對標(biāo)評分細(xì)則，提要求、立規(guī)矩。

（5）試卷講評要重視思路的分析和思維的鍛煉。教師要多學(xué)習(xí)、多研究，知道“考什么，怎么考，怎么解，如何賦分”。教學(xué)中，教師要以微專題的形式各個(gè)擊破，給學(xué)生思考和討論的空間，掃除盲點(diǎn)、查漏補(bǔ)缺、增分?jǐn)?shù)、提能力。

總之，教師應(yīng)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中發(fā)揮自身的內(nèi)在潛能，對標(biāo)高考評價(jià)體系的“一核、四層、四翼”，在深度思考中深化“四基”，在探究和發(fā)現(xiàn)中提高“四能”，在構(gòu)建知識體系和綜合應(yīng)用知識的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。