虞繼敏，武衛(wèi)紅，周尚波，雷 烈，譚禮健

(1.重慶郵電大學 自動化學院,重慶 400065；2.重慶大學 計算機學院,重慶 400044)

分數階復Lorenz混沌系統(tǒng)的控制與同步

虞繼敏1，武衛(wèi)紅1，周尚波2，雷 烈1，譚禮健1

(1.重慶郵電大學 自動化學院,重慶 400065；2.重慶大學 計算機學院,重慶 400044)

基于分數階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，設計了線性反饋控制器，實現分數階復動力學系統(tǒng)的控制；基于矩陣配置控制器的設計方法，實現分數階復動力學系統(tǒng)的同步。以分數階復Lorenz系統(tǒng)為例，分別分離原系統(tǒng)各個變量的實部和虛部，研究了分數階復Lorenz混沌系統(tǒng)的控制問題和同步問題。對分數階復Lorenz系統(tǒng)的混沌特性進行了分析，然后基于分數階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論進行了闡述。通過設計反饋控制器，實現了分數階復Lorenz系統(tǒng)的混沌控制，然后基于分數階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，利用矩陣配置方法設計線性反饋控制器，實現分數階復Lorenz混沌系統(tǒng)的同步。數值仿真實驗結果表明，所設計的兩種控制器是有效的。

分數階；混沌系統(tǒng)；混沌控制；同步

0 引 言

分數階微積分的提出已有300年歷史，但人們對其幾何解釋和應用的進一步了解仍然少之甚少，也就是在最近二十幾年里，分數階微積分才在許多的科學與技術方面得到廣泛應用。目前，分數階微積分已經廣泛應用于非線性動力學系統(tǒng)控制、金融學、化學和數理科學等諸多領域[1-4]。

迄今，隨著分數階非線性動力學系統(tǒng)在控制科學與工程領域的不斷發(fā)展，人們發(fā)現分數階非線性系統(tǒng)在許多情況下都存在復雜的混沌現象，為此也開始了對分數階非線性系統(tǒng)的混沌控制和混沌同步研究[5-10]。但由于研究者對分數階混沌系統(tǒng)的研究起步較晚，所以許多理論和技術仍有待進一步研究和完善。

現今，對于混沌系統(tǒng)，大多是研究其在實動力系統(tǒng)中的各種性能指標，而對復動力系統(tǒng)中混沌的特性以及各項性能指標的研究相對較少。復Lorenz方程是在1982年由Fowler和Gibbon[11]提出的，不僅在物理領域，在其他領域也起到了很重要的作用，尤其是在混沌保密通信系統(tǒng)中。由于復系統(tǒng)是實系統(tǒng)的延伸，比實系統(tǒng)多出了虛數部分，它所傳輸的信息和內容也相應地增加。

近年來，分數階復系統(tǒng)的混沌特性、混沌控制與同步研究得到了廣泛的關注，例如，分數階復Chen系統(tǒng)[12]、分數階復Lorenz系統(tǒng)[13]、自適應同步[14]、完全同步[15]、投影同步[16]、脈沖同步[17-18]、廣義同步[19]等等。

文中對分數階復動力系統(tǒng)的混沌特性、混沌控制及其同步進行了研究。

1 分數階時滯復Lorenz系統(tǒng)

分數階復Lorenz系統(tǒng)的數學模型如下：

(1)

分離系統(tǒng)(1)各個變量的實部和虛部，則有：

(2)

其中，分數階微分階次0<α≤1。

分離后的系統(tǒng)變?yōu)榉謹惦A非線性系統(tǒng)，當α=0.995，a1=10，a2=110，a3=2，初始值取x1(0)=7，x2(0)=8，x3(0)=5，x4(0)=6，x5(0)=12時，系統(tǒng)是混沌的。于是，此時的系統(tǒng)也就相當于分數階非線性混沌系統(tǒng)。

利用Matlab數值仿真，得到分數階復Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子,如圖1所示。

2 分數階復Lorenz混沌系統(tǒng)的控制

本節(jié)基于分數階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定控制理論，研究如何實現分數階復Lorenz系統(tǒng)的混沌控制。

針對分數階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，提出了如下的穩(wěn)定性理論。

圖1 分數階復Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子

定理1[20]：對于分數階復Lorenz混沌系統(tǒng),當系統(tǒng)階數α<1時,對任意狀態(tài)變量x(t)∈Rn,存在正定矩陣P,使式(3)恒成立,則該系統(tǒng)穩(wěn)定。

(3)

為實現式(2)的混沌控制，設計如下的線性反饋控制器：

(4)

根據定理1，假設正定矩陣P為單位對角矩陣，構造如下函數：

當k1≥45，k2≥45，k3≥-1，k4≥-1，k5≥0時數h(x)≤0，系統(tǒng)(5)穩(wěn)定。取k1=100，k2=100，k3=20，k4=30，k5=1進行數值仿真,仿真結果如圖2所示。仿真結果表明，系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定,這驗證了根據定理設計的控制器有效。

圖2 系統(tǒng)中變量x1,x2,x3,x4,x5隨N的演化圖

3 分數階復Lorenz混沌系統(tǒng)的同步

本節(jié)基于分數階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定控制法，研究如何通過矩陣配置法設計的控制器實現分數階復Lorenz系統(tǒng)在響應系統(tǒng)的混沌同步。

以系統(tǒng)(2)為驅動系統(tǒng)，定義響應系統(tǒng)為：

(6)

m5(t)]T是待設計的控制器。

定義系統(tǒng)的同步誤差為：e1(t)=x1(t)-y1(t)，e2(t)=x2(t)-y2(t)，e3(t)=x3(t)-y3(t)，e4(t)=x4(t)-y4(t)，e5(t)=x5(t)-y5(t)。

由驅動系統(tǒng)(2)和響應系統(tǒng)(6)可以得到同步誤差系統(tǒng):

(7)

將該誤差系統(tǒng)進行改寫:

(8)

同步的核心是如何設置控制器m(t)。

針對分數階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，提出了如下的穩(wěn)定性理論：

定理2[20-21]：若矩陣A(x(t))的狀態(tài)變量滿足以下條件：

(1)aij=-aij(i≠j)；

(2)aii≤0，i=1,2,…,n(其中aii不全為零)。

那么分數階非線性系統(tǒng)(2)穩(wěn)定。根據穩(wěn)定性理論，該誤差系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：

構造函數：

(9)

根據定理1，滿足上述條件的系統(tǒng)穩(wěn)定。

如果設計的控制器和未知參數能使誤差系統(tǒng)滿足：

(10)

設正定矩陣P為單位對角矩陣，則有：

根據定理2，該誤差系統(tǒng)穩(wěn)定。由此，得到所需設計的控制器：

m1(t)=(a1+a2-y5(t))e1(t)+y3(t)e3(t)

m2(t)=(a1+a2-y5(t))e4(t)+y4(t)e4(t)

(12)

將所設計的控制器和未知參數辨識規(guī)則進行數值仿真，如圖3所示。

仿真結果驗證了所設計控制器和未知參數辨識規(guī)則的有效性。

4 結束語

基于分數階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，文中通過分離原系統(tǒng)各個變量的實部和虛部，將原系統(tǒng)轉化為分數階多時滯實Lorenz系統(tǒng)來實現分數階復Lorenz混沌系統(tǒng)的控制；基于矩陣配置控制器的設計方法，同樣通過分離原系統(tǒng)各個變量的實部和虛部來實現分數階混沌系統(tǒng)的同步。數值仿真驗證了文中研究的有效性。將原系統(tǒng)加入時滯后，基于矩陣配置法無法實現系統(tǒng)同步，這將是下一步的研究方向。

圖3 同步誤差e1，e2，e3，

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Control and Synchronization of Fractional Complex Lorenz Chaotic System

YU Ji-min1,WU Wei-hong1,ZHOU Shang-bo2,LEI Lie1,TAN Li-jian1

(1.College of Automation,Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065,China;2.Department of Computer Science,Chongqing University,Chongqing 400044,China)

Based on the stability theorem of the fractional nonlinear system,the stability control of fractional chaotic system is realized by a linear feedback controller designed,and based on the method of the matrix configuration,the synchronization of fractional chaotic system is implemented.Taking fractional complex Lorenz system as an example,the real part and imaginary part of each variable in original system is separated to study the problem of synchronization and chaos control.Firstly,chaotic characteristics of fractional complex Lorenz system are analyzed,and the stability theorem based on the fractional-order nonlinear system is discussed.The stability control of fractional chaotic system is realized by a linear feedback controller designed.Then,based on the stability theorem of the fractional-order nonlinear system,the chaotic system synchronization is implemented by using matrix configuration method.The numerical simulation confirms the efficiency of the proposed control method and synchronization method.

fractional order;chaos system;chaotic control;synchronization

2016-01-29

2016-05-11

時間：2016-10-24

中央高校業(yè)務基金重大項目(106112014CDJZR188801)；重慶市前沿與應用基礎研究項目(cstc2014jcyjA40037)

虞繼敏(1964-),男,教授,博士,研究方向為非線性系統(tǒng)控制理論與應用、分數階系統(tǒng)控制理論；武衛(wèi)紅(1989-),男,碩士研究生,研究方向為混沌及其控制、非線性控制理論。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20161024.1117.072.html

TP31

A

1673-629X(2016)11-0130-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.11.029