周添杰，蔣國平

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

基于節(jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配策略研究

周添杰，蔣國平

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

主要研究目的是在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)發(fā)生相繼故障的過程中，設(shè)計(jì)一種合理有效的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相繼故障的負(fù)荷再分配策略，有效減小網(wǎng)絡(luò)臨界閾值βm，提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性。通過對(duì)比研究和仿真建模的方法，提出了基于節(jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配策略：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，故障節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷分配給當(dāng)前時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)內(nèi)剩余容量最大的部分節(jié)點(diǎn)，這部分節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與故障節(jié)點(diǎn)的度在數(shù)值上相等，并且這部分節(jié)點(diǎn)所能分得的負(fù)荷與其自身的剩余容量有關(guān)，剩余容量越大的節(jié)點(diǎn)相對(duì)而言所能分得的負(fù)荷越多。選取人工網(wǎng)絡(luò)和實(shí)際網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真對(duì)比研究，結(jié)果表明，所提出的負(fù)荷再分配策略能夠有效地減小臨界閾值βm，說明該策略是合理有效的，能夠提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；相繼故障；負(fù)荷再分配；網(wǎng)絡(luò)魯棒性

1 概 述

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展,現(xiàn)代社會(huì)已然是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)化的社會(huì)，人類的生產(chǎn)生活已經(jīng)離不開網(wǎng)絡(luò)，時(shí)時(shí)刻刻都在接觸電力網(wǎng)[1]、互聯(lián)網(wǎng)[2]、交通網(wǎng)、信息網(wǎng)[2]、人際關(guān)系網(wǎng)[2]等各種各樣的網(wǎng)絡(luò)。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，網(wǎng)絡(luò)中的極少部分節(jié)點(diǎn)在發(fā)生故障時(shí)，會(huì)通過網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的耦合關(guān)系擴(kuò)大故障規(guī)模，最終導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中的大部分節(jié)點(diǎn)甚至整個(gè)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生故障，稱這一現(xiàn)象為“網(wǎng)絡(luò)雪崩”[3]，也稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相繼故障。網(wǎng)絡(luò)的相繼故障具有很強(qiáng)的破壞性。例如，2003年8月，由美國俄亥俄州的3條高壓線路過載所引起的北美大停電事件[4]，使數(shù)千萬人陷入黑暗，并導(dǎo)致了無法估量的經(jīng)濟(jì)損失。

為了采取有效措施來減小或抑制網(wǎng)絡(luò)相繼故障的規(guī)模，針對(duì)網(wǎng)絡(luò)相繼故障這一現(xiàn)象的研究有其必要性，近年來很多專家學(xué)者已經(jīng)取得了積極的成果。就復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相繼故障的模型而言，有六類模型被各界學(xué)者廣為研究：負(fù)荷-容量模型、二值影響模型[5]、OPA模型[6]、沙堆模型[7]、CASCADE模型[8]、耦合映像格子模型[9]。其中，應(yīng)用最為廣泛的是負(fù)荷-容量模型。Moreno等在文獻(xiàn)[3]中提出了一種研究BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的相繼故障模型，該模型是負(fù)荷-容量模型中的一種。他們利用Weibull分布，賦予網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)安全閾值，并且假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)承擔(dān)相同的負(fù)荷，一旦某個(gè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷超出其閾值則說明該節(jié)點(diǎn)發(fā)生了故障。而Motter等在文獻(xiàn)[10]中提出并研究了另一種模型，也就是最經(jīng)典的ML負(fù)荷模型。ML模型規(guī)定：對(duì)于一個(gè)給定的具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，如果信息或能量總是在節(jié)點(diǎn)對(duì)之間沿著最短路徑交換，那么定義節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷為該節(jié)點(diǎn)的介數(shù)，它反映了網(wǎng)絡(luò)中通過該節(jié)點(diǎn)的最短路徑的數(shù)目。同時(shí)，定義節(jié)點(diǎn)容量與節(jié)點(diǎn)負(fù)荷呈線性關(guān)系。一旦節(jié)點(diǎn)負(fù)荷超過其自身容量，則該節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障。文獻(xiàn)[11-12]在負(fù)荷-容量模型的基礎(chǔ)上對(duì)小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的相繼故障傳播機(jī)制進(jìn)行了研究，得出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)節(jié)點(diǎn)故障具有較高的魯棒性，但是對(duì)蓄意攻擊表現(xiàn)出高度的脆弱性。這表明相繼故障的傳播機(jī)制針對(duì)不同的網(wǎng)絡(luò)模型所表現(xiàn)出的特性是不一樣的。

文中提出基于節(jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配策略，其實(shí)質(zhì)也是一種全局負(fù)荷再分配策略。與以往的全局負(fù)荷再分配策略相比，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某一節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障，故障節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷不再分配給網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有處于正常狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)，而是選擇處于正常狀態(tài)節(jié)點(diǎn)中剩余容量最大的部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分配。這樣做的好處在于：以往的全局負(fù)荷再分配策略在網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)故障后，選擇所有處于正常狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)作為可分配節(jié)點(diǎn)，但是這些節(jié)點(diǎn)中有些節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷已經(jīng)近乎滿容量。對(duì)于這部分節(jié)點(diǎn)它們已經(jīng)沒有足夠大的剩余容量來處理所分得的負(fù)荷，這樣并不利于網(wǎng)絡(luò)魯棒性的提高。另一方面，舉電力網(wǎng)為例，把電能從一個(gè)地點(diǎn)輸送到另一個(gè)地點(diǎn)是會(huì)存在電能損耗的，對(duì)應(yīng)到網(wǎng)絡(luò)模型中這部分損耗實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)之間分配負(fù)荷所需的成本。顯然，文中所提出的負(fù)荷再分配策略選擇剩余容量最大的部分節(jié)點(diǎn)作為可分配節(jié)點(diǎn)，相比于以往的全局再分配策略，可分配節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)變小，分配成本更低。

2 負(fù)荷再分配策略

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i發(fā)生故障，節(jié)點(diǎn)j是當(dāng)前時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)內(nèi)剩余容量最大的部分節(jié)點(diǎn)之一。定義節(jié)點(diǎn)j能從節(jié)點(diǎn)i處分得的負(fù)荷占故障節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷比例為pij：

(1)

其中，Cj-Lj表示節(jié)點(diǎn)j的剩余容量；ki表示節(jié)點(diǎn)i的度；Γki表示當(dāng)節(jié)點(diǎn)i發(fā)生故障時(shí)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)剩余容量最大的前ki個(gè)節(jié)點(diǎn)所組成的集合，節(jié)點(diǎn)j∈Γki。

在節(jié)點(diǎn)i發(fā)生故障后，之所以選擇前ki個(gè)剩余容量最大的節(jié)點(diǎn)作為可分配節(jié)點(diǎn)，是因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)中度的大小通常是表示一個(gè)節(jié)點(diǎn)重要性的指標(biāo)，直觀上看，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度越大意味著這個(gè)節(jié)點(diǎn)在某種意義上越“重要”。所以度越大的節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，影響的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)該越多，也就是故障節(jié)點(diǎn)選擇的可分配節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多。相反，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度越小，影響的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)也越小，選擇的可分配節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越少。

節(jié)點(diǎn)j所能分得的負(fù)荷ΔLij為：

ΔLij=Lipij

(2)

(3)

此時(shí)節(jié)點(diǎn)j的負(fù)荷更新為：

Lj←Lj+ΔLij

(4)

當(dāng)Lj>Cj，說明節(jié)點(diǎn)j所獲得的負(fù)荷已經(jīng)超過其容量，則網(wǎng)絡(luò)的相繼故障開始觸發(fā)?；诠?jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配策略由于在每次節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，都是選擇網(wǎng)絡(luò)內(nèi)剩余容量最大的部分節(jié)點(diǎn)，盡可能實(shí)現(xiàn)了負(fù)載均衡，所以能很好地提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

3 仿真分析

根據(jù)文中所提出的負(fù)荷再分配策略，主要在BA網(wǎng)絡(luò)和WS小世界兩種人工網(wǎng)絡(luò)上做了仿真研究。同時(shí)也在美國電力網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渖线M(jìn)行了研究。其中BA網(wǎng)絡(luò)從一個(gè)具有m0個(gè)節(jié)點(diǎn)的全連通網(wǎng)絡(luò)開始構(gòu)造，每次引入一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)連接到m個(gè)已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)上，網(wǎng)絡(luò)的最終節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為N。選取網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N為500的BA網(wǎng)絡(luò)作為研究對(duì)象，其中BA1的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)m0和連接節(jié)點(diǎn)數(shù)m都為3，BA2的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)和連接節(jié)點(diǎn)數(shù)m都為4。

仿真過程中采用最大度攻擊方式[17]，即攻擊網(wǎng)絡(luò)中度最大的節(jié)點(diǎn)。同時(shí)利用網(wǎng)絡(luò)故障率bn[3]來量化攻擊網(wǎng)絡(luò)后網(wǎng)絡(luò)的故障規(guī)模。取ρ=1，τ=1.6，仿真過程中的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為鄰接矩陣A，aij為A中元素，若節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間有連邊，則aij=1，反之a(chǎn)ij=0，網(wǎng)絡(luò)中不考慮自環(huán)的存在。分別對(duì)全局負(fù)荷再分配策略(GRS)和基于節(jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配策略(BMRS)進(jìn)行了仿真，如圖1和圖2所示。

圖1 β與bn的關(guān)系圖(BA1)

圖2 β與bn的關(guān)系圖(BA2)

以上仿真圖表示在兩種分配策略下，攻擊不同的BA網(wǎng)絡(luò)得到的β值和網(wǎng)絡(luò)故障率bn的關(guān)系。其中，β代表節(jié)點(diǎn)初始負(fù)荷和節(jié)點(diǎn)容量的倍數(shù)關(guān)系；網(wǎng)絡(luò)故障率bn是指網(wǎng)絡(luò)發(fā)生相繼故障之后，失效節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的比值。

分析以上的仿真圖，β從1開始增大，兩種分配方式下的網(wǎng)絡(luò)故障率bn一開始都為1，表明網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊后，所有節(jié)點(diǎn)都發(fā)生了故障，網(wǎng)絡(luò)中并不存在連通子圖，也就是說整個(gè)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)崩潰。這是因?yàn)棣碌闹颠€不夠大，節(jié)點(diǎn)的剩余容量比較小，節(jié)點(diǎn)不具備處理額外負(fù)荷的能力?？梢赃@么理解，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)雖然處于正常狀態(tài)，但是它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷已經(jīng)近乎滿容量，那么該網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊以后很容易會(huì)使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生崩潰。隨著β的增大，兩種分配方式下的bn都會(huì)在β達(dá)到一個(gè)定值后從1開始減小，這表明網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊以后，不會(huì)使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生崩潰，網(wǎng)絡(luò)中存在連通子圖，表明此時(shí)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)已經(jīng)可以處理部分額外負(fù)荷。而當(dāng)bn達(dá)到最小值，此時(shí)的β所對(duì)應(yīng)的值為βm。表明網(wǎng)絡(luò)遭受攻擊以后，只有遭受攻擊的節(jié)點(diǎn)，或者極少部分的節(jié)點(diǎn)會(huì)從網(wǎng)絡(luò)中斷開成為失效節(jié)點(diǎn)，而并不會(huì)引起網(wǎng)絡(luò)大規(guī)模的相繼故障，說明此時(shí)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)完全有能力處理額外負(fù)荷。當(dāng)β≥βm，由于網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有能力來處理額外負(fù)荷，bn不變，相繼故障將不會(huì)出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)中，顯然βm是網(wǎng)絡(luò)避免相繼故障出現(xiàn)的一個(gè)重要指標(biāo)。βm被稱為臨界閾值[15]，在一些實(shí)際網(wǎng)絡(luò)里βm和網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)成本呈正相關(guān)的關(guān)系。βm越小，網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)成本越低，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。

通過仿真得到，在網(wǎng)絡(luò)BA1中，由BMRS得到的βm為1.50，由GRS得到的βm為1.61。在網(wǎng)絡(luò)BA2中，由BMRS得到的βm為1.36，由GRS得到的βm為1.44。這說明同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)受到攻擊時(shí)，采用BMRS相比于GRS所能得到的臨界閾值更小。說明文中所提出的負(fù)荷再分配策略能有效減小網(wǎng)絡(luò)的臨界閾值βm，提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性。

對(duì)小世界網(wǎng)絡(luò)也進(jìn)行了仿真。在構(gòu)造WS小世界網(wǎng)絡(luò)時(shí)，初始時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)模型是最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)與左右相鄰的各K/2個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，p為重連概率。這里同樣選取節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N為500的WS小世界網(wǎng)絡(luò)作為研究對(duì)象。其中，WS1的初始K值為4，WS2的初始K值為6，所有WS小世界網(wǎng)絡(luò)的重連概率p都為0.01。采用最大度攻擊方式，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 β與bn的關(guān)系圖

在網(wǎng)絡(luò)WS1中，由BMRS得到βm為1.43，由GRS得到的βm為1.49。在網(wǎng)絡(luò)WS2中，由BMRS得到的βm為1.23，由GRS得到的βm為1.33?？梢园l(fā)現(xiàn)BMRS能有效減小臨界閾值，仿真結(jié)果與BA網(wǎng)絡(luò)的情況相同。

圖4 β與bn的關(guān)系圖(WS2)

為了使結(jié)論更具說服力，又選用了美國電力網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥M(jìn)行了仿真。該網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞墓?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 941，邊數(shù)為6 594，平均度為2.67，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 美國電力網(wǎng)β和bn的關(guān)系

同樣得到了和人工網(wǎng)絡(luò)中相同的結(jié)論，BMRS能夠減小臨界閾值、提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性。

4 結(jié)束語

文中提出了基于節(jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配策略，相比于以往的全局負(fù)荷再分配策略，選擇當(dāng)前時(shí)刻剩余容量最大的部分節(jié)點(diǎn)作為可分配節(jié)點(diǎn)，減少了可分配節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，降低了分配成本。同時(shí)由仿真可得，該策略也減小了臨界閾值βm，提高了網(wǎng)絡(luò)魯棒性。與全局負(fù)荷再分配策略相比有其優(yōu)越性。

然而文中的研究主要針對(duì)的是BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、WS小世界網(wǎng)絡(luò)以及美國電力網(wǎng)，并沒有對(duì)更多的網(wǎng)絡(luò)模型作深入探討。在基于節(jié)點(diǎn)最大剩余容量的負(fù)荷再分配方式下，網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度的增大會(huì)不會(huì)對(duì)臨界閾值有顯著影響，如果有影響又會(huì)是一種怎樣的方式，這種分配方式運(yùn)用到其他的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)模型中又有哪些不足，這些都是后續(xù)要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

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Research on Load Redistribution Strategy Based on Maximum Remaining Capacity of Node

ZHOU Tian-jie,JIANG Guo-ping

(School of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)

In order to improve the network robustness in the process of cascading failure,a reasonable and effective load redistribution strategy of the cascading failure nodes in the network is designed,so that the critical thresholdβmcanbedecreased.Throughcomparativestudyandsimulationmodelingmethod,aloadredistributionstrategybasedonthemaximumremainingcapacityofthenodeisputforward.Theloadofafailurenodewillbedistributedtothenodesthathavethemaximumremainingcapacityinthenetwork,andthenumberofthesenodesisthedegreeofthefaultnode,andtheextraloadwhichthesenodessharedependsontheirremainingcapacity.Throughthesimulationbetweentheartificialnetworkandactualnetwork,theresultsshowthattheproposedstrategyoftheloadredistributioncaneffectivelydecreasethecriticalthresholdβm,soastoshowtheeffectivenessofthestrategyandimprovetherobustnessofthenetwork.

complex networks;cascading failures;load redistribution;network robustness

2016-01-20

2016-05-11

時(shí)間：2016-10-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374180)

周添杰(1990-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制；蔣國平，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榛煦缦到y(tǒng)同步與控制、混沌信息處理與混沌通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20161024.1113.034.html

TP

A

1673-629X(2016)11-0063-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.11.014