張媛媛

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210046)

自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下T－S模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

張媛媛

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210046)

T－S模糊模型的實(shí)質(zhì)是任何連續(xù)函數(shù)均可由一系列IF－THEN規(guī)則模糊逼近，因此它可用許多線性系統(tǒng)的分析方法研究，是非線性系統(tǒng)建模的重要工具，近年來(lái)，很多學(xué)者用T－S模糊模型研究非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，為了節(jié)省有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬資源，事件觸發(fā)機(jī)制在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究中得到了廣泛的應(yīng)用，這些研究成果具有重要的理論意義.然而，目前的結(jié)果中將事件觸發(fā)機(jī)制用于T－S模糊系統(tǒng)的研究尚不成熟，基于自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)控制器尤其具有重要的意義.本文在事件觸發(fā)機(jī)制的基礎(chǔ)上介紹了自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制，并將其應(yīng)用于控制器的設(shè)計(jì)，基于具有時(shí)滯的T－S模糊系統(tǒng)，提出了自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下的控制器設(shè)計(jì)新方案，在主要結(jié)果的證明中引用一種新Lyapunov－Krasovskii泛函和自由權(quán)矩陣，并應(yīng)用Schur補(bǔ)引理等方法處理非線性矩陣不等式，然后通過(guò)求解線性矩陣不等式，設(shè)計(jì)了理想的控制器.最后，仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性.

自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制;T－S模糊系統(tǒng);控制器;時(shí)滯

1 引言

近年來(lái)，T－S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)引起了廣泛的關(guān)注，使得T－S模糊系統(tǒng)的研究有了進(jìn)一步的發(fā)展.文獻(xiàn)［1］中，作者利用并行分布補(bǔ)償?shù)母拍钐岢鯰－S模糊閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法，把穩(wěn)定性分析等價(jià)于線性矩陣不等式問(wèn)題，此后，該方法得到廣泛應(yīng)用，使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和其他性能指標(biāo)的設(shè)計(jì)都可以統(tǒng)一到一系列等價(jià)的LMI凸優(yōu)化問(wèn)題中，為建立模糊控制理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).文獻(xiàn)［2］中，針對(duì)一類具有范數(shù)有界時(shí)變參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)，采用T－S模糊控制方法并結(jié)合閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的考慮，結(jié)果得到所設(shè)計(jì)的控制器使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能.文獻(xiàn)［3］中，對(duì)具有連續(xù)時(shí)滯的T－S模糊系統(tǒng)，考慮到在推導(dǎo)過(guò)程中常被忽略的有用項(xiàng)可能帶來(lái)保守性這一問(wèn)題，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov－Krasovskii函數(shù)，得到了開(kāi)環(huán)模糊系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.然后根據(jù)并行分布補(bǔ)償算法，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，得到了閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)［4］中，基于T－S模糊模型，研究了同時(shí)具有輸入時(shí)滯和狀態(tài)時(shí)滯的模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問(wèn)題.文中通過(guò)構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii泛函，并結(jié)合自由權(quán)矩陣，基于線性矩陣不等式的可解性，給出了時(shí)滯相關(guān)意義下控制器設(shè)計(jì)的新方案.文獻(xiàn)［5］中，利用T－S模型研究了時(shí)滯下非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，其中時(shí)滯是有界非光滑的，并且用線性矩陣不等式表示時(shí)滯.文獻(xiàn)［6］進(jìn)行了時(shí)滯下T－S模糊系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性研究，結(jié)合分段時(shí)滯和增加狀態(tài)向量建立新的Lyapunov－Krasovskii泛函，應(yīng)用線性矩陣不等式的方法，得到保守性更小的時(shí)滯依賴穩(wěn)定性參數(shù).

2 研究問(wèn)題描述

2.1 研究對(duì)象

考慮所研究的T－S模糊系統(tǒng)如下:

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，z(t)∈Rp為待估計(jì)信號(hào)，u(t)是控制向量，Ai，Adi，Bi，Ci，Cdi，Di為具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，r為模糊規(guī)則的數(shù)量，τ(t)為時(shí)滯，且0≤τm≤t(t)≤τM，μi(θ(t))滿足:

2.2 自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制描述

假設(shè)采樣周期為h，相應(yīng)的采樣時(shí)刻記為tk，k∈R，傳感器采樣的向量為x(tk)，經(jīng)過(guò)自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制輸出的狀態(tài)向量記為x(tk+j)，那么傳感器采樣的向量記為{x(t0)，x(t1)，…，x(tk)}，其中t0=0是初始釋放時(shí)刻，k∈R.自適應(yīng)事件觸發(fā)器用來(lái)決定采樣數(shù)據(jù)x(tk)是否釋放到控制器中，釋放時(shí)刻tk+j如下表示:

其中W=Rm×m是正定矩陣，δ(t)∈［0，1).nh是指當(dāng)前采樣時(shí)刻tk與下一個(gè)釋放時(shí)刻tk+j之間的采樣間隔.

類似文獻(xiàn)［7－8］，考慮如下兩個(gè)時(shí)段:

其中l(wèi)是正實(shí)數(shù)，h是采樣周期.

(1)若tk+h+d＞tk+1+dk+1，定義函數(shù)d(t)如下:

易得下面不等式:

(2)若tk+h+d＜tk+1+dk+1，則存在正實(shí)數(shù)m使得

易得

其中

由式子(3)和(4)定義函數(shù)d(t)如下:

由式子(5)定義的d(t)可以推出:

由式子(6)可以得到:

對(duì)t∈［tk+dk，tk+1+dk+1)定義ek(t)如下:

由式子(5)至(8)可以得到:

由式子(2)，(8)及(9)，自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制可以表示如下:

注1類似文獻(xiàn)［9］，自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制中的觸發(fā)參數(shù)δ(t)不是常數(shù)，而是動(dòng)態(tài)變化的，它滿足下面的微分方程:

其中δ(0)∈［0，1)是δ(t)的初始條件，d滿足以下條件:

ρ是非負(fù)常數(shù)，注2將介紹ρ的尋找方法.

注2傳輸參數(shù)ρ的尋找方法如下

步驟1:對(duì)于給定的δM與τ1=0，設(shè)置τ2=τ2+μ，其中μ是τ2的單位增量，τ2是τ(t)的上界.

步驟2:對(duì)于步驟一中給定的τ2，如果存在滿足線性矩陣不等式的解，進(jìn)行步驟3;否則進(jìn)行步驟1.

步驟3:基于定理2，用LMI工具箱尋找最大值τ2及相應(yīng)的W.

步驟4:設(shè)定仿真時(shí)間T，基于事件觸發(fā)機(jī)制［10］，取觸發(fā)參數(shù)為δM，用Simulink找到每個(gè)采樣時(shí)刻的狀態(tài)誤差ek(t).

2.3 控制器問(wèn)題描述

本章要設(shè)置的狀態(tài)反饋控制器描述如下:

其中，Kj∈Rm×n為待定的狀態(tài)反饋增益矩陣.

注3控制器中接收的數(shù)據(jù)是經(jīng)過(guò)自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制篩選的信號(hào)，即x(tk).

結(jié)合式子(1)、(9)及(13)，可以得到系統(tǒng)方程如下:

本章的主要目的是為T(mén)－S模糊系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)具有自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的H∞控制器(13)，使得系統(tǒng)(14)指數(shù)均方隨機(jī)穩(wěn)定.

以下引理將在主要結(jié)果的證明中用到:

引理1［10］對(duì)給定的常數(shù)τM與矩陣R＞0，有下列不等式成立

引理2［11］對(duì)任意的向量x，y∈Rn和正定矩陣Q∈Rn×n，下面不等式成立.

引理3［12］假設(shè)τ(t)滿足0≤τm≤τ(t)≤τM，Ξ1，Ξ2和Ω是一些具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，則

當(dāng)且僅當(dāng)(τM－τm)Ξ1+Ω＜0和(τM－τm)Ξ2+Ω＜0成立.

3 主要結(jié)果

在下面的主要結(jié)果中，定理1給出系統(tǒng)(14)指數(shù)均方隨機(jī)穩(wěn)定的充分性條件，定理2將給出(13)形式的自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下控制器的設(shè)計(jì)方法.

3.1 穩(wěn)定性分析

定理1設(shè)參數(shù)τm≤τM，dM與δM為給定的正數(shù)，若存在對(duì)稱矩陣P＞0，Qk＞0，Rk＞0(k=1，2，3)，W＞0及具有合適維數(shù)的矩陣Mij，Nij，Tij，Sij，使得以下矩陣不等式(15)成立，則基于自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的T－S模糊系統(tǒng)(14)是漸近均方穩(wěn)定的.

其中

證明:構(gòu)造如下Lyapunov－Krasovskii泛函:

其中

這里，P＞0，Qk＞0，Rk＞0(k=1，2，3)均為正定矩陣.

對(duì)V(t)求導(dǎo)得到:

為接下來(lái)敘述方便，定義新的向量如下:

類似文獻(xiàn)［10，14］，引入自由權(quán)矩陣Mij，Nij，Sij，Tij，用自由權(quán)矩陣方法可以得到:

由式子(17)至(23)得到下面矩陣不等式:

應(yīng)用引理1，可以得到:

應(yīng)用引理2，可以得到:

綜合式子(24)至(29)可以得到(30)如下:

類似文獻(xiàn)［15］，將引理3與引理4應(yīng)用于(30)，容易得到(15)成立.由Lyapunov穩(wěn)定性判定定理可知，模糊系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.

3.2 自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下控制器設(shè)計(jì)方案

定理2設(shè)參數(shù)τm≤τM，dM，δM是給定的正數(shù)，若存在對(duì)稱矩陣P＞0，k＞0(k=1，2，3)，k＞0(k =1，2，3)＞0及具有合適維數(shù)的矩陣，使得以下矩陣不等式(31)成立，則基于自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的T－S模糊系統(tǒng)(14)是漸近均方穩(wěn)定的.

其中

證明:根據(jù)引理4，矩陣不等式(15)成立，當(dāng)且僅當(dāng)下式成立:

其中

由于對(duì)任意的正定矩陣Rk，P，以及標(biāo)量εk，由

可以得到:

于是(35)為(32)成立的充分條件:

其中

4 仿真例子

下面將給出一個(gè)仿真例子來(lái)驗(yàn)證定理2的正確性，即提出的自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下控制器的設(shè)計(jì)方法是有效的.

例1考慮T－S模糊系統(tǒng)的參數(shù)如下:

仿真中假設(shè)τm=0.1，τM=0.15，dM=0.3，δM=0.5，ε1=0.1，ε2=0.2，ε3=0.3，利用LMI工具箱求解定理2中的矩陣不等式，可以得到相應(yīng)的觸發(fā)矩陣W及增益K1和K2:

在Simulink中給定初始值x(0)=［－0.10.2］T，仿真時(shí)間為20s，采樣周期h=0.08，圖1表示x (t)的狀態(tài)響應(yīng)曲線，由圖可得系統(tǒng)在T=8s處達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài);圖2表示自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制下釋放信號(hào)的時(shí)刻與間隔，這些經(jīng)過(guò)篩選的點(diǎn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳入控制器，由于該機(jī)制中的δ(t)可以動(dòng)態(tài)變化，所以選擇的信號(hào)數(shù)量適中，既節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)資源，又保持了系統(tǒng)的控制性能.

根據(jù)ρ的求解機(jī)制，求得ρ=3.2591e－0.5，并得到參數(shù)d與觸發(fā)參數(shù)δ(t)的仿真圖，分別如圖3與圖4，可以觀察出，當(dāng)d=1時(shí)，δ(t)呈遞增趨勢(shì);當(dāng)d=－1時(shí)，δ(t)的值相應(yīng)遞減，這樣事件觸發(fā)機(jī)制得到自適應(yīng)調(diào)節(jié)，保持了系統(tǒng)良好的控制性能.

圖1 狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖2 觸發(fā)信號(hào)的釋放時(shí)刻與間隔

圖3 參數(shù)d

圖4 觸發(fā)參數(shù)δ(t)

5 小結(jié)

本章設(shè)計(jì)了自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下T－S模糊系統(tǒng)的控制器.其主要特點(diǎn)是已經(jīng)提出的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制既有效的保持了系統(tǒng)的控制性能，又節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)有限的傳輸資源.在主要結(jié)果的證明中用到一種新的Lyapunov－Krasovski泛函和自由權(quán)矩陣，為求解線性矩陣不等式提供了方便，通過(guò)解線性矩陣不等式得到了控制器增益矩陣，最終仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性.

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Adaptive Event－triggered Controller for T－S Fuzzy Systems

ZHANG Yuan－yuan
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210046，China)

Due to that Takagi－Sugeno(T－S)fuzzy model can approximate any continuous function by a series of the IF－THEN rules，so many traditional methods of linear system analysis are available for its research and it is one of the important tools of researching nonlinear uncertain systems.Therefore，NCSs have been widely investigated in T－S fuzzy model.In order to reduce the limited network resources，event－triggered scheme has been widely used in NCSs，which have important significance in theory.However，the current research about event－triggered scheme for T－S fuzzy system is not yet mature，how to design controller with adaptive event－triggered scheme is especially important.Based on event－triggered scheme，adaptive event－triggered scheme has been proposed，which is applied to the design of controller.Based on T－S fuzzy systems with time delay，an adaptive event－triggered controller is investigated.A general Lyapunov－Krasovskii functional and some slack matrices are used during the proof of main results.Schur complement lemma is used to deal with nonlinear matrix inequality，then by solving LMIs，the ideal controller are designed.Finally，the simulation verifies the validity of the proposed design.

adaptive event－triggered scheme;T－S fuzzy systems;controller;time－delay

TP13

A

1672－2590(2016)03－0073－13

2016－04－09

張媛媛(1989－)，女，河南鶴壁人，南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.