張鋒，于祥武，徐潤

(1.曲阜師范大學(xué)學(xué)報編輯部，山東曲阜273165;2.青島市黃島區(qū)實驗中學(xué)，山東青島266400; 3.曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東曲阜273165)

高階非線性泛涵差分方程的強(qiáng)迫振動性

張鋒1，于祥武2，徐潤3

(1.曲阜師范大學(xué)學(xué)報編輯部，山東曲阜273165;2.青島市黃島區(qū)實驗中學(xué)，山東青島266400; 3.曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東曲阜273165)

泛函差分方程;非線性;強(qiáng)迫振動項

1 引言

文獻(xiàn)［1］究了高階非線性差分方程

的振動性.其中m≥1，τ≥0是整數(shù).

本文應(yīng)用［1］中相似的方法，我們研究下面的方程的振動性

其中m≥1且τi≥0是整數(shù)，△是向前差分算子，定義為△xn=xn+1－xn，△ixn=△(△i－1xn)，其中2≤i≤m，xf(x)＞0(x≠0)，qi(n)和cn是定義在N0={0，1，2，…}上的實數(shù)序列.

設(shè)實值序列{xn}是方程(1)的解.如果對每一個n0＞0，都存在一個n≥n0，使得xnxn+1≤0，那么這個解{xn}是振動的，否則，方程(1)不具有振動性，如果方程(1)的所有解是振動的，那么方程(1)就是振動的.

很多作者研究了當(dāng)cn≡0時方程(1)的振動性，見文獻(xiàn)［2－18］，但是，當(dāng)cn≠0時，除了［9，10］外很少有人研究.在［9］中，作者假設(shè)存在一個實值序列g(shù)n，并且gn是變號的，△mgn=cn，當(dāng)n→∞時，gn→0.

在本文中，我們沒有對強(qiáng)迫項限制條件，為了方便，我們定義

并且

那么我們很容易得到

并且

其中n0≥0，i=1，2，…，m.

2 主要結(jié)論

引理1［6］令F(x)=ax－bxλ，其中x＞0.如果a≥0，b＞0并且λ＞1，那么F(x)得到它的極大值

如果a＞0，b≥0，0＜λ＜1，那么F(x)獲得它的極小值

定理1令qi(n)≥0，其中n≥0，i=1，2，…，n.如果

并且

其中n0≥0，那么方程(1)的每一個解都是振動的.

證明令xn是方程(1)的一個非振動解.不失一般性，我們假設(shè)xn＞0，x(n－τ)＞0，其中n≥n0≥0.方程(1)的兩邊同時乘以φ(n，s)，并且對其從n0到n+m－1求和，我們有

由于

由(2)－(4)我們有

注意到φ(n，s)≥0其中n0≤s≤n－m+1.將(11)代入(9)中，方程兩邊同時除以φ(n+1，n0)，我們得到

根據(jù)條件(5)我們得到上述結(jié)論和(8)是相矛盾的.從而定理1得證.

定理2假設(shè)qi(n)＜0，其中n≥0，存在r＞0和λ＞1使得|f(x)|≥r|x|λ.如果

且

其中n0＞0，

那么方程(1)的每個解在τ=0的情況下滿足lim supn→∞|xn|/φ(n+1，n0)＜∞時，是振動的.

證明當(dāng)τ=0時，令xn是滿方程(1)的一個非振動性解，滿足條件

不失一般性，我們假設(shè)xn＞0且xn≤rφ(n+1，n0).其中n≥n0≥0，r＞0是一個常數(shù).方程(1)兩邊同時乘以φ(n，s)，從n0到n+m－1求和.證明過程和定理1類似，我們有

注意到φ(n，s)=0且s=n，n+1，…，n+m－1，我們有

應(yīng)用關(guān)于f(x)的假設(shè)，存在一個常數(shù)M＞0，從而有

因而，由(15)，我們得到

以上的結(jié)論和(14)相矛盾，從而定理2得證.

定理3假設(shè)存在兩個正常數(shù)r＞0，0＜λ＜1，使得|f(x)|≤r|x|λ，如果

且

其中n0＞0，當(dāng)

證明當(dāng)τ=0時，令xn是滿方程(1)的一個非振動性解.不失一般性，我們假設(shè)xn＞0且n≥n0≥0.證明過程和定理2相似，我們得到

那么，由(18)我們有

根據(jù)(5)，上述結(jié)論和(17)是相矛盾的，從而定理3得證.為了說明本文的結(jié)論，考慮以下幾個例子.

例1考慮下面的微分方程

其中m≥1，q1(n)，q2(n)≥0且α＞0.根據(jù)定理1，我們很容易證得方程(19)是振動的，其中α＞m－1.

例2考慮下面的微分方程

其中m≥1.α，β是常數(shù).令k=m，那么我們有

例3考慮下面的微分方程

其中m≥1.α≥0是常數(shù).令k=m，那么我們有

由定理3，我們有方程(21)是振動的，其中α＞m－1.

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Forced Oscillation of Higher－order Nonlinear Functional Difference Equations

ZHANG Feng1，YU Xiang－wu2，XU Run3
(1.Journal Editorial Department，Qufu Normal University，Qufu，273165;
2.Huangdao Experimental Middle School，Qingdao，266400;
3.School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Qufu，273165，China)

functional difference equations;nonlinear;forced oscillation term

O175.14

A

1672－2590(2016)03－0009－05

2016－04－18

張鋒(1966－)，男，山東兗州人，曲阜師范大學(xué)學(xué)報編輯副編審.