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(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京　210094)

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基于Matlab的諧波齒輪及其刀具的設(shè)計(jì)與仿真

陳鵬，范元?jiǎng)?/p>

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京210094)

摘要：根據(jù)齒廓法線法和包絡(luò)原理，利用Matlab軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力和圖形顯示功能，在Matlab軟件中編寫(xiě)出求解剛、柔輪及其刀具齒形相應(yīng)的齒廓法線法和包絡(luò)法的運(yùn)算程序。在對(duì)新齒形求解的過(guò)程中，用齒廓法線法對(duì)所設(shè)計(jì)的新齒形進(jìn)行精確地求解，同時(shí)用包絡(luò)法包絡(luò)出相應(yīng)的新齒形，并對(duì)齒廓法線法所求解出來(lái)的齒形進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。Matlab仿真結(jié)果表明：利用這種方法，能夠?qū)崿F(xiàn)了諧波齒輪傳動(dòng)剛、柔輪齒形及相應(yīng)刀具新齒形的快速設(shè)計(jì)，并且能夠及時(shí)對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，利用所設(shè)計(jì)的兩把刀具加工出的柔輪和剛輪在嚙合仿真分析中的嚙合側(cè)隙在2μm以內(nèi)。

關(guān)鍵詞：諧波齒輪；新齒形；嚙合仿真；Matlab

0引言

雖然最近30多年，諧波齒輪傳動(dòng)取得了較大的發(fā)展，在工業(yè)上也得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在航天領(lǐng)域和機(jī)器人方面[1]，但是其發(fā)展總是遇到各式各樣的瓶頸。例如針對(duì)傳統(tǒng)漸開(kāi)線的齒形的缺點(diǎn)，許多學(xué)者發(fā)明出了新的齒形，在計(jì)算機(jī)仿真和有限元分析中驗(yàn)證了這些新齒形在力學(xué)、動(dòng)力學(xué)特性方面要比漸開(kāi)線齒形優(yōu)越得多，但是這些新的齒形都面臨同樣的困境，很難設(shè)計(jì)出能加工出這些新齒形的刀具，以至于這些新的齒形至今無(wú)法得到推廣和應(yīng)用。

文獻(xiàn)[2]中諧波齒輪傳動(dòng)中剛?cè)彷喰慢X形的設(shè)計(jì)采用的是齒廓法線法，這種方法比較簡(jiǎn)明精確。利用齒廓法線法，可以方便地根據(jù)滾刀和插刀齒形求解出相應(yīng)的柔輪和剛輪齒形。但是針對(duì)利用齒廓法線法所求出的齒形，很難驗(yàn)證其所求結(jié)果的正確性，也無(wú)法直觀地理解用齒廓法線法求解出的剛?cè)彷喌凝X形與在實(shí)際加工生產(chǎn)中刀具所加工出來(lái)的齒形是否一致。為此，利用包絡(luò)原理和刀具加工齒輪的原理，可以在Matlab中繪出刀具在加工剛?cè)彷嘄X形過(guò)程中刀具齒形曲線形成的曲線族，所形成的曲線族包絡(luò)出的齒形即為該刀具加工出的齒形?？梢詫X廓法線法所求得的齒形與包絡(luò)法所包絡(luò)的齒形進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

1滾刀基準(zhǔn)齒形設(shè)計(jì)及相應(yīng)柔輪齒形的求解

柔輪齒是用滾刀加工而成的[3]，因此柔輪齒面是滾刀齒面在機(jī)床嚙合中的包絡(luò)曲面。滾刀齒形確定后，可以使用齒廓法線法求解共軛柔輪的齒形。以CTC齒形的設(shè)計(jì)為例，滾刀基準(zhǔn)齒形的設(shè)計(jì)為齒頂圓圓弧段、公切直線段以及齒根圓圓弧段，如圖1所示。

1.1齒廓法線法求解柔輪齒形

滾刀加工柔輪齒形時(shí)，將滾刀與柔輪簡(jiǎn)化成齒條和齒輪之間的嚙合，已知滾刀基準(zhǔn)齒形即齒條的齒形方程，設(shè)它在自身的坐標(biāo)系(O1-x1,y1)中的齒形方程為y1=f(x1)。

圖2　滾刀加工變位柔輪

(1)

(2)

利用Matlab軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理和圖形顯示功能，在Matlab中編寫(xiě)求解柔輪齒形相應(yīng)的齒廓法線法的程序。在Matlab中求解得的CTC柔輪齒形如3所示。

圖3　柔輪齒形

1.2包絡(luò)法求解柔輪齒形

包絡(luò)法是求解齒輪嚙合傳動(dòng)中的幾何問(wèn)題中的一種[5]，將滾刀加工柔輪齒形看成是齒條與齒輪之間的嚙合傳動(dòng)，由于滾刀齒形與柔輪齒形在每個(gè)瞬時(shí)都是相切接觸的。從數(shù)學(xué)上講，柔輪齒形就應(yīng)是滾刀齒形相對(duì)運(yùn)動(dòng)而形成的曲線包絡(luò)。用這個(gè)原理，就可以由齒輪副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及滾刀齒形包絡(luò)出柔輪的齒形。

切制柔輪齒的過(guò)程中，滾刀與柔輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系：當(dāng)滾刀齒相對(duì)柔輪平移rα(r為柔輪的分度圓)，柔輪將沿著滾刀運(yùn)動(dòng)的方向旋轉(zhuǎn)α角。在對(duì)柔輪齒進(jìn)行加工包絡(luò)仿真的過(guò)程中，固定柔輪，則平移rα后的滾刀將以柔輪中心逆方向旋轉(zhuǎn)α角，從而形成了滾刀在分度圓上純滾動(dòng)了α角，其相應(yīng)的矩陣變換式為式(3)、(4)：

(3)

(4)

此時(shí)在對(duì)CTC滾刀齒形進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，為了符合滾刀對(duì)柔輪齒形的實(shí)際的切削過(guò)程，增加了滾刀的頂隙，且為了能夠更加直觀地看出齒廓法線法與包絡(luò)法對(duì)柔輪齒形的求解結(jié)果的一致性，將兩種方法對(duì)柔輪齒廓的求解結(jié)果集成到一張圖上，如圖4所示。兩者對(duì)柔輪齒廓求解的差值如圖5所示，可以看出齒廓法線法的求解結(jié)果與用包絡(luò)法所包絡(luò)出來(lái)的柔輪齒形吻合的非常好，右側(cè)齒廓之間的誤差在1μm以內(nèi)。

圖4　柔輪齒形

圖5　求解結(jié)果數(shù)值比較

2包絡(luò)法求解剛輪齒形

在對(duì)剛輪齒形進(jìn)行求解的時(shí)，與普通齒輪的嚙合的過(guò)程相比，柔輪與剛輪嚙合過(guò)程中，由于波發(fā)生器的作用，柔輪處于彈性變形的狀態(tài)，齒廓法線法此時(shí)已不再適用，所以這里選用包絡(luò)法求解剛輪齒形，這一方法的實(shí)質(zhì)是把柔輪的彈性變形轉(zhuǎn)化為共軛運(yùn)動(dòng)的一個(gè)組成部分，并用包絡(luò)理論求解諧波齒輪傳動(dòng)的共軛齒形[6]。

若原始曲線與柔輪齒形已知，則在保證傳動(dòng)比i=const的情況下，便可按照包絡(luò)法求得剛輪齒形。

圖6　用包絡(luò)法求剛輪齒形的原理圖

為求解問(wèn)題方便起見(jiàn)，以參數(shù)形式給出柔輪的齒形曲線方程：

(5)

式中u—參數(shù)

(6)

圖7　剛輪齒形

若能結(jié)合運(yùn)動(dòng)仿真，可使CTC剛輪齒形的求解過(guò)程變得簡(jiǎn)便。結(jié)合包絡(luò)理論，在Matlab編寫(xiě)相應(yīng)的程序，可以在Matlab中描繪出CTC柔輪齒形的運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)產(chǎn)生包絡(luò)點(diǎn)需按照較易加工的齒廓進(jìn)行擬合曲線[7]，齒形選用圓弧—直線—圓弧擬合，可近似求得與柔輪齒廓共軛的剛輪齒廓。又考慮到柔輪齒與剛輪齒之間的頂隙系數(shù)c*=0.25，則在Matlab中繪出的剛輪齒形如圖7所示。

3剛輪齒形反求插刀齒形

3.1齒廓法線法求解插刀齒形

由剛輪反求出插刀齒形時(shí)，插刀加工剛輪可以看成是兩個(gè)齒輪的內(nèi)嚙合，上文中已經(jīng)求出了剛輪的齒形，設(shè)它在自身的坐標(biāo)系(O1-x1,y1)中的齒形方程為y1=f(x1)。

圖8　剛輪和插刀的嚙合

在通過(guò)柔輪求解剛輪的齒廓時(shí)，已知柔輪的變位系數(shù)x1，柔輪與剛輪之間的嚙合可看成裝入波發(fā)生器之后的柔輪的節(jié)圓與剛輪節(jié)圓之間的純滾動(dòng)，且為了保證柔輪齒和剛輪齒之間無(wú)干涉的嚙合，所以柔輪的節(jié)圓齒距必須等于剛輪的節(jié)圓齒距?？梢酝ㄟ^(guò)這一點(diǎn)由柔輪的變位系數(shù)求得剛輪的變位系數(shù)x，而插刀需要按照標(biāo)準(zhǔn)的模數(shù)的齒形來(lái)設(shè)計(jì)，如圖8所示相應(yīng)的插刀齒形就需要在徑向上移動(dòng)xm距離，才能加工出上述已求出的經(jīng)過(guò)變位之后的剛輪齒形。

由齒廓法線法計(jì)算此時(shí)的剛輪齒廓方程時(shí)，先計(jì)算剛輪齒形上任意一點(diǎn)M處的切線與x1軸的夾角γ，為使M點(diǎn)成為接觸點(diǎn)時(shí)，剛輪齒形要從起始位置旋轉(zhuǎn)φ1。

(7)

a：剛輪與插刀的中心矩，zd：插刀的齒數(shù)。

(8)

式中，φ2：剛輪轉(zhuǎn)過(guò)φ1時(shí)M點(diǎn)成為接觸點(diǎn)時(shí)，插刀相應(yīng)地轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

φ1與φ2的關(guān)系如下式：

(9)

圖9　剛輪插刀齒形

利用前面求解出的CTC剛輪齒形，運(yùn)用齒廓法線法在Matlab中求解出相應(yīng)的CTC插刀齒形。為了方便對(duì)齒形的描述，將插刀的齒形按照?qǐng)A弧—直線—圓弧進(jìn)行擬合，插刀齒形在Matlab中的求解結(jié)果如圖9所示。

3.2包絡(luò)法求解插刀齒形

圖10　剛輪插刀齒形

為驗(yàn)證利用齒廓法線法和包絡(luò)法求解的插刀齒形結(jié)果的一致性，仿照柔輪齒形的包絡(luò)在Matlab中編寫(xiě)剛輪求解插刀齒形的包絡(luò)法相應(yīng)的程序。在Matlab中用包絡(luò)法所形成的剛輪的曲線族如下圖10所示,其下方所包絡(luò)出的齒形即所要求的插刀齒形，為了驗(yàn)證齒廓法線法和包絡(luò)法求解插刀齒形結(jié)果的一致性，此時(shí)我們將圖9中齒廓法線法的求解結(jié)果也集成到此圖中。且考慮到插刀在加工剛輪時(shí)，需要在插刀的齒底與剛輪的齒頂留出一定量的頂隙，所以在對(duì)插刀齒形進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，增加了系數(shù)c*=0.25的頂隙。

另外在Matlab中繪出兩者求解的齒廓的數(shù)值比較如圖11所示，可以看出齒廓法線法的求解結(jié)果與用包絡(luò)法所包絡(luò)出來(lái)的插刀齒形吻合的非常好，右側(cè)齒廓之間的誤差在1μm以內(nèi)。

圖11　求解結(jié)果數(shù)值比較

4滾刀和插刀加工出的剛?cè)彷喌膰Ш蟼?cè)隙分析

雖然前面通過(guò)滾刀的基準(zhǔn)齒形依次求出了柔輪、剛輪和插刀的齒形，但是在Matlab中通過(guò)齒廓法線法和包絡(luò)法求解滾刀齒形和插刀齒形的過(guò)程中，由于在對(duì)剛輪和柔輪齒形的方程求解時(shí)，都是采用的圓弧—直線—圓弧進(jìn)行擬合的，特別是中間直線段。CTC齒形是以滾刀的法面齒形作為基準(zhǔn)齒形，即刀具中間段為直線，則與之共軛的柔輪中間段應(yīng)為漸開(kāi)線，但由于柔輪基圓相對(duì)于輪齒非常大，齒數(shù)又多，于是漸開(kāi)線曲率半徑很大且中間段非常短，所以柔輪中間段可以近似看成直線段，此時(shí)就以直線方程對(duì)柔輪齒形上的點(diǎn)進(jìn)行擬合。在對(duì)剛輪和插刀齒形進(jìn)行擬合時(shí)也存在這樣的問(wèn)題。雖然單個(gè)的擬合誤差不大，但是柔輪、剛輪和剛輪插刀三者的擬合誤差的疊加就不能忽略不計(jì)，由于這種誤差的存在，將使兩把刀具所加工出來(lái)的柔輪和剛輪達(dá)不到所要求的精度，其中最主要就是剛?cè)彷唶Ш蟼?cè)隙，齒側(cè)隙是諧波齒輪傳動(dòng)空程回差的主要誤差[5]。

利用前面所設(shè)計(jì)的滾刀和插刀在Matlab中用齒廓法線法直接求出柔輪齒形和剛輪齒形，參考文獻(xiàn)[7-8]可以對(duì)所求出的柔輪和剛輪進(jìn)行輪齒的局部嚙合仿真如圖12所示，參考文獻(xiàn)[9]計(jì)算出右側(cè)齒側(cè)隙的大小如圖13所示。

圖12　嚙合仿真

圖13　嚙合側(cè)隙分析

5結(jié)論

通過(guò)所編寫(xiě)的Matlab參數(shù)化編制程序，可以方便地對(duì)剛?cè)彷喌凝X形進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，并且能夠通過(guò)滾刀基準(zhǔn)齒形依次求解出剛?cè)彷喌凝X形和插刀齒形。而且能夠利用包絡(luò)法對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行及時(shí)的驗(yàn)證，有效地減少了在后續(xù)加工制造時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤造成設(shè)計(jì)的失敗，極大地提高了設(shè)計(jì)的效率，縮短了諧波減速器產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和制造周期。

根據(jù)齒廓法線法和包絡(luò)法求解的CTC剛?cè)彷嘄X形的結(jié)果，對(duì)求解的結(jié)果可以分段擬合出剛?cè)彷喌凝X形方程，根據(jù)求出的齒形方程在proe中對(duì)剛?cè)彷嗊M(jìn)行整體建模，可以導(dǎo)入Abaqus中對(duì)柔輪和剛輪的齒進(jìn)行嚙合分析，這將極其方便進(jìn)一步對(duì)CTC齒形性能的研究。

另外，在Matlab中的仿真結(jié)果表明，由所設(shè)計(jì)出的滾刀和插刀加工出的柔輪和剛輪的嚙合側(cè)隙在2μm以內(nèi)，達(dá)到剛?cè)彷嘄X輪副側(cè)隙的b型側(cè)隙。

[參考文獻(xiàn)]

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(編輯李秀敏)

Design and Simulation of Harmonic Gear and Tool Based on Matlab

CHEN peng , FAN Yuan-xun

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Abstract：According to the tooth profile normal method and envelope principle, using the powerful data processing ability and graphics display function of the Matlab software, the tooth profile normal method and envelope method could be written out in Matlab software, which could figure out the tooth profiles of the flexspline, circular spline and their cutters. In the process of solving the new tooth, the tooth profile normal method could figure out the precise designed tooth profiles. At the same time, the envelope method enveloped out the corresponding tooth profiles, which could timely validate the results of the tooth profile normal method. The simulation results in Matlab software showed that with the above method, the precise tooth profiles of the flexspline, circular spline and their cutters could be rapidly figured out. And the results could timely be validated. In meshing simulation analysis, the meshing clearance of the flexspline and circular spline, which the two designed knives work out, was within 2μm.

Key words：harmonic gear; new tooth profiles; meshing simulation; Matlab

中圖分類(lèi)號(hào)：TH164;TG506

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：陳鵬(1990—)，男，江蘇鹽城人，南京理工大學(xué)碩士研究生，研究方向機(jī)械設(shè)計(jì)及理論，(E-mail)544350616@qq.com。

收稿日期：2015-03-15

文章編號(hào)：1001-2265(2016)01-0010-04 1001-2265(2016)01-0017-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.003 10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.005