李博峰

同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

Variance Component Estimation in the Seamless Affine Transformation Model

LI Bofeng

College of Surveying and Geo-informatics, Tongji University, Shanghai 200092,China

?

無縫仿射基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的方差分量估計(jì)

李博峰

同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China(Nos. 41374031; 41574023); Open Research Fund of the State Key Laboratory of Geoinformation Engineering (No. SKLGIE2013-M-2-2)；The China Special Fund for Surveying, Mapping and Geoinformation Research in the Public Interest (No. HY14122136)

摘要：以無縫仿射基準(zhǔn)變換為例，研究了無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的方差分量估計(jì)理論，導(dǎo)出無縫基準(zhǔn)變換過程中兩套坐標(biāo)的方差分量估計(jì)公式。通過模擬試驗(yàn)分析表明，采用方差分量估計(jì)方法能正確地恢復(fù)出客觀體現(xiàn)兩套坐標(biāo)誤差的方差值，從而有效提高無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換精度。

關(guān)鍵詞：無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換；仿射變換；方差分量估計(jì)

傳感器技術(shù)的快速發(fā)展為獲取空間測(cè)量數(shù)據(jù)提供了豐富的手段，也開辟了諸多地理信息應(yīng)用新領(lǐng)域。為滿足不同需求，需要將坐標(biāo)成果在不同基準(zhǔn)下相互轉(zhuǎn)換，常用的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型有相似變換和仿射變換[1]。

相似變換假定不同坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)不同的旋轉(zhuǎn)參數(shù)，整個(gè)坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)一個(gè)尺度參數(shù)，在傳統(tǒng)大地基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換中得到了廣泛應(yīng)用并取得了豐富成果，發(fā)展了相似坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的抗差解[2]、正則化解[3]及大旋轉(zhuǎn)角解法[4]。在實(shí)際應(yīng)用中，提出顧及平面與高程系統(tǒng)分離的過渡坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型[5]；為了補(bǔ)償?shù)貧ば巫兊纫蛩匾鸬狞c(diǎn)位系統(tǒng)誤差，還提出了引入信號(hào)參數(shù)的相似基準(zhǔn)變換模型[6-7]。近年來，隨著GIS、計(jì)算機(jī)視角、地圖學(xué)應(yīng)用的不斷擴(kuò)展，仿射變換得到了極大關(guān)注。仿射變換是相似變換的推廣，允許不同坐標(biāo)軸有不同尺度參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)。不論是相似變換還是仿射變換，其實(shí)質(zhì)是利用公共點(diǎn)的兩套坐標(biāo)及非公共點(diǎn)的第1套坐標(biāo)推估非公共點(diǎn)的第2套坐標(biāo)，且通常只考慮公共點(diǎn)的一套坐標(biāo)誤差，忽略了充當(dāng)系數(shù)陣的另一套坐標(biāo)誤差，以此構(gòu)成線性模型[8]。當(dāng)觀測(cè)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，采用最小二乘求解最優(yōu)估值[9]。

針對(duì)傳統(tǒng)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型只考慮公共點(diǎn)一套坐標(biāo)誤差的缺點(diǎn)，發(fā)展了同時(shí)考慮公共點(diǎn)兩套坐標(biāo)誤差的基準(zhǔn)變換模型，并提出了整體最小二乘方法，在近十年來取得了豐富的研究成果[10-13]。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[8]提出了無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型，該模型將計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)和轉(zhuǎn)換非公共點(diǎn)聯(lián)合處理，且考慮所有點(diǎn)位誤差(即公共點(diǎn)的兩套坐標(biāo)誤差以及非公共點(diǎn)誤差)，實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格意義上的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換，在三維大地基準(zhǔn)相似變換和GIS圖形幾何糾正的二維仿射變換中取得了良好的效果[8,14]。

在無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換過程中，兩套基準(zhǔn)下的坐標(biāo)通常來自不同時(shí)期或采用不同測(cè)量手段得到。例如，傳統(tǒng)的大地網(wǎng)采用全站儀通過邊角測(cè)量得到，而現(xiàn)代控制網(wǎng)采用衛(wèi)星定位技術(shù)得到，兩套坐標(biāo)誤差的精度可能存在較大差異，在平差計(jì)算過程中很難正確確定兩套坐標(biāo)的先驗(yàn)方差，這將導(dǎo)致無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換時(shí)的兩套坐標(biāo)定權(quán)不合理，影響轉(zhuǎn)換精度。本文基于無縫仿射基準(zhǔn)變換模型，研究無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的方差分量估計(jì)理論。對(duì)無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)的兩套坐標(biāo)誤差的方差矩陣分別引入未知方差因子，導(dǎo)出了無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的方差分量估計(jì)公式，在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算的同時(shí)求出方差分量，實(shí)現(xiàn)兩套坐標(biāo)誤差權(quán)比的合理匹配。

1無縫仿射基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型

仿射基準(zhǔn)變換模型允許不同坐標(biāo)軸采用不同尺度和旋轉(zhuǎn)參數(shù)，是相似變換的推廣。以二維仿射變換為例，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換模型為[1]

(1)

式中，(Δx、Δy)、(ωx、ωy)、(κx、κy)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)坐標(biāo)軸的平移、旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)；[xiyi]T為第i點(diǎn)的二維坐標(biāo)，下標(biāo)Ⅰ和Ⅱ表示兩套坐標(biāo)系。聯(lián)合n個(gè)公共點(diǎn)的二維仿射變換多元模型為

S=ΞA

(2)

G=ΞB

(3)

(4)

(5)

式中，vec(·)代表矩陣向量化算子[15]，即將矩陣按照列元素構(gòu)成列向量。

2基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換聯(lián)合模型的求解

首先對(duì)下文推導(dǎo)涉及的數(shù)學(xué)符號(hào)做說明：In表示n維單位陣，?表示Kronecker積算子，其運(yùn)算準(zhǔn)則參考文獻(xiàn)[15]，推導(dǎo)過程將多次利用Kronecker積和向量化算子的關(guān)系式vec(ABC)=(CT?A)vec(B)。

將式(4)兩邊向量化，得

(6)

顯然，無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型(6)是非線性模型，將其轉(zhuǎn)化為線性模型并采用高斯-牛頓法迭代求解[10]。設(shè)第j次迭代后的估值為ξ(j)，則參數(shù)ξ表示為

ξ=ξ(j)+δξ(j)

(7)

式中，δξ(j)為第j+1次迭代的參數(shù)改正數(shù)。將式(7)代入式(6)，得

(8)

盡管EAδξ(j)和EBδξ(j)是二階小量，但若完全忽略二階小量可能導(dǎo)致迭代發(fā)散或收斂錯(cuò)誤[16]。分別采用EA和EB的第j次迭代估值EA(j)和EB(j)代替EA和EB計(jì)算系數(shù)矩陣可避免該缺陷[10,16]。記A(j)=A-EA(j)，式(8)變?yōu)?/p>

(9)

(10a)

(10b)

采用極大驗(yàn)后估計(jì)或擬合推估理論[17]計(jì)算er、ep和es

(11a)

(11b)

(11c)

最后，將式(10a)和式(11b)代入式(9)，得

(12)

同時(shí)從估計(jì)轉(zhuǎn)換參數(shù)的式(10a)可以看出，非公共點(diǎn)沒有參與轉(zhuǎn)換參數(shù)的計(jì)算，因此不能提高轉(zhuǎn)換參數(shù)精度，但從計(jì)算非公共點(diǎn)第2套坐標(biāo)的式(12)可以看出，由于顧及了公共點(diǎn)和非公共點(diǎn)之間的相關(guān)性，對(duì)非公共點(diǎn)的誤差實(shí)現(xiàn)了有效改正，從而能提高非公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度。

3無縫基準(zhǔn)變換的方差分量估計(jì)

方差分量估計(jì)的本質(zhì)是利用觀測(cè)值殘差估計(jì)觀測(cè)值的二階中心矩統(tǒng)計(jì)量(即觀測(cè)值方差)[18]，已被成功地應(yīng)用于整體最小二乘坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型[19-20]，并發(fā)展了高計(jì)算效率的方差分量估計(jì)方法[21]。本節(jié)將推導(dǎo)無縫基準(zhǔn)變換模型的方差分量估計(jì)公式。

(13)

式中，Uij為對(duì)應(yīng)的已知協(xié)因數(shù)陣。下面推導(dǎo)無縫基準(zhǔn)變換的方差分量估計(jì)公式。首先，推導(dǎo)于第1套坐標(biāo)誤差的二次型

(14)

(15)

式中，Qww=WQrrWT，Uww=WUrrWT。再顧及式11(c)，推導(dǎo)第2套坐標(biāo)誤差二次型的期望

(16)

另外，存在等式

(17)

將式(17)分別代入式(15)、式(16)得

(18a)

(18b)

去掉左邊期望符號(hào)得到無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的方差分量估計(jì)公式

(19)

4算例分析

4.1數(shù)據(jù)仿真

給兩套坐標(biāo)模擬期望為零的正態(tài)分布隨機(jī)誤差。對(duì)于第1套坐標(biāo)，假設(shè)x、y獨(dú)立且精度都為1 cm，假設(shè)任意兩點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為[14]

(20)

式中，dij為點(diǎn)i、j之間的距離；d0為常數(shù)，用于調(diào)節(jié)相關(guān)強(qiáng)度，本文取d0=10 km，從而得到第1套坐標(biāo)誤差的協(xié)方差陣為

(21)

對(duì)于第2坐標(biāo)，簡(jiǎn)單地假設(shè)x、y坐標(biāo)誤差獨(dú)立且精度都為3 cm，且所有點(diǎn)之間相互獨(dú)立，即

Qss=(3 cm)2I2n

(22)

采用Matlab函數(shù)mvnrnd分別按照兩套坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣生成隨機(jī)誤差，從而得到含有誤差的兩套坐標(biāo)。

4.2試驗(yàn)方案

(23)

為了分析不合理的先驗(yàn)方差對(duì)無縫基準(zhǔn)變換的影響，以及無縫基準(zhǔn)變換方差分量估計(jì)的效果。共進(jìn)行19次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)給兩套坐標(biāo)不同的先驗(yàn)方差因子。分別取第1套坐標(biāo)和第2套坐標(biāo)的先驗(yàn)精度為σ1,0=λ1×1 cm，σ2,0=λ2×3 cm，圖1給出了這19次試驗(yàn)兩套坐標(biāo)誤差的先驗(yàn)精度。

圖1　19次試驗(yàn)兩套坐標(biāo)精度先驗(yàn)值Fig.1　Prior precisions of coordinates of two systems in total 19 experiments

4.3結(jié)果分析

圖2給出了采用方差分量估計(jì)得到的兩套坐標(biāo)的驗(yàn)后精度以及驗(yàn)前和驗(yàn)后兩套坐標(biāo)的權(quán)比。顯然，無論先驗(yàn)精度是否合理，方差分量估計(jì)可恢復(fù)出正確的結(jié)果，即驗(yàn)后精度與實(shí)際精度一致。從參數(shù)估值角度而言，估計(jì)兩個(gè)方差分量的本質(zhì)是估計(jì)他們之間的比例關(guān)系，即兩者的權(quán)比。圖2也給出了所有試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)權(quán)和經(jīng)方差分量估計(jì)后的驗(yàn)后權(quán)。顯然，當(dāng)先驗(yàn)權(quán)不正確時(shí)，方差分量估計(jì)能確保得到正確的權(quán)比。

圖2　19次試驗(yàn)得到的驗(yàn)后精度Fig.2　The posterior precisions of coordinates of two systems as well as the prior and posterior weights for total 19 experiments

進(jìn)一步分析有無方差分量估計(jì)的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的精度。在19次試驗(yàn)中，分別進(jìn)行有無方差分量估計(jì)的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換，并采用式(23)統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)換精度，結(jié)果如圖3所示。顯然，采用方差分量估計(jì)的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換能得到穩(wěn)定的結(jié)果，轉(zhuǎn)換精度不受兩套坐標(biāo)先驗(yàn)方差的影響。而無方差分量估計(jì)的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換得到的轉(zhuǎn)換精度受先驗(yàn)方差影響較大。當(dāng)先驗(yàn)方差接近真值時(shí)，能得到合理的轉(zhuǎn)換精度；當(dāng)先驗(yàn)方差不合理時(shí)，得到的轉(zhuǎn)換精度與實(shí)際轉(zhuǎn)換精度不符，且略差與實(shí)際轉(zhuǎn)換精度。

圖3　有無方差分量估計(jì)的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的精度Fig.3　The accuracy of seamless datum transformation with and without VCE for total 19 experiments

值得強(qiáng)調(diào)的是，方差分量估計(jì)的目的除了提高轉(zhuǎn)換精度外，更重要的是提供合理、客觀的精度評(píng)定。在實(shí)際應(yīng)用中，通常通過對(duì)式(12)采用誤差傳播定律計(jì)算轉(zhuǎn)換精度，該轉(zhuǎn)換精度顯然受到先驗(yàn)方差因子的影響。從19次試驗(yàn)中選取3次試驗(yàn)，設(shè)rσ=λ1/λ2，這3次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的rσ值分別為0.01、1和100。當(dāng)rσ=1時(shí)，即取方差真值作為先驗(yàn)方差。圖4給出了取3種不同先驗(yàn)方差時(shí)計(jì)算的轉(zhuǎn)換精度。當(dāng)無方差分量估計(jì)時(shí)，轉(zhuǎn)換精度與rσ存在比例關(guān)系，當(dāng)rσ偏離真值1時(shí)，無論偏大還是偏小得到的結(jié)果都比rσ=1差。而當(dāng)采用方差分量估計(jì)時(shí)，用驗(yàn)后方差因子代替錯(cuò)誤的驗(yàn)前方差計(jì)算的轉(zhuǎn)換精度不隨rσ變化，這時(shí)3種先驗(yàn)方差取值得到的精度相等。

5結(jié)論

不同于傳統(tǒng)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型，無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型將轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算和非公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換聯(lián)合處理，并嚴(yán)格考慮兩套坐標(biāo)誤差的轉(zhuǎn)換模型。針對(duì)兩套坐標(biāo)通常來自不同測(cè)量時(shí)期或采用不同測(cè)量手段，故而得到的精度差異較大。針對(duì)無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換過程中很難確定合理的先驗(yàn)精度這一棘手問題，本文以二維仿射無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換為例，研究無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的方差分量估計(jì)理論，導(dǎo)出了無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的方差分量估計(jì)公式，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。其主要結(jié)論如下：①無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型將計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)和變換非公共點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)合處理，且考慮所有坐標(biāo)誤差(即公共點(diǎn)的兩套坐標(biāo)誤差及非公共點(diǎn)誤差)，理論上是嚴(yán)密的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型。②無縫基準(zhǔn)變換的方差分量估計(jì)可恢復(fù)兩套坐標(biāo)正確的方差因子，從而避免先驗(yàn)方差不合理對(duì)轉(zhuǎn)換精度的影響。③在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用誤差傳播定律計(jì)算轉(zhuǎn)換精度，無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的方差分量估計(jì)除了提高轉(zhuǎn)換精度外，更重要的是避免了誤差傳播定律計(jì)算的轉(zhuǎn)換精度受不合理先驗(yàn)方差的影響，從而提供合理、客觀的精度評(píng)定。最后，盡管本文針對(duì)二維無縫仿射基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換展開研究，研究思路和公式可類似地推廣至三維無縫仿射變換和三維無縫相似變換。

圖4　通過誤差傳播定律計(jì)算得到的無縫基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換精度：上圖和下圖分別為不采用和采用方差分量估計(jì)得到的結(jié)果Fig.4　The transformation precisions computed in terms of error propagation law with and without VCE

參考文獻(xiàn)：

[1]RAPP R H. Geometric Geodesy：Part II[M]. Ohio: Ohio State University, 1993: 60-75.

[2]YANG Yuanxi. Robust Estimation of Geodetic Datum Transformation[J]. Journal of Geodesy, 1999, 73(5): 268-274.

[3]沈云中, 胡雷鳴, 李博峰. Bursa模型用于局部區(qū)域坐標(biāo)變換的病態(tài)問題及其解法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2006, 35(2): 95-98.

SHEN Yunzhong, HU Leiming, LI Bofeng. Ill-posed Problem in Determination of Coordinate Transformation Parameters with Small Area’s Data Based on Bursa Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2006, 35(2): 95-98.

[4]陳義, 沈云中, 劉大杰. 適用于大旋轉(zhuǎn)角的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的一種簡(jiǎn)便模型[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版), 2004, 29(12): 1101-1105.

CHEN Yi, SHEN Yunzhong, LIU Dajie. A Simplified Model of Three Dimensional-datum Transformation Adapted to Big Rotation Angle[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2004, 29(12): 1101-1105.

[5]沈云中, 衛(wèi)剛. 利用過渡坐標(biāo)系改進(jìn)3維坐標(biāo)變換模型[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 1998, 27(2): 161-165.

SHEN Yunzhong, WEI Gang. Improvement of Three Dimensional Coordinate Transformation Model by Use of Interim Coordinate System[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 1998, 27(2): 161-165.

[6]楊元喜, 徐天河. 不同坐標(biāo)系綜合變換法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版), 2001, 26(6): 509-513.

YANG Yuanxi, XU Tianhe. The Combined Method of Datum Transformation between Different Coordinate Systems[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2001, 26(6): 509-513.

[7]楊元喜, 張菊清, 張亮. 基于方差分量估計(jì)的擬合推估及其在GIS誤差糾正的應(yīng)用[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2008, 37(2): 152-157.

YANG Yuanxi, ZHANG Juqing, ZHANG Liang. Variance Component Estimation Based Collocation and Its Application in GIS Error Fitting[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2008, 37(2): 152-157.

[8]LI Bofeng, SHEN Yunzhong, LI Weixiao. The Seamless Model for Three-dimensional Datum Transformation[J]. Science China Earth Sciences, 2012, 55(12): 2099-2108.

[9]TEUNISSEN PJG, SIMONS D, TIBERIUS C. Probability and Observation Theory[M]. Delft: Lecture Notes Delft University of Technology, 2008: 204-212.

[10]SHEN Yunzhong, LI Bofeng, CHEN Yi. An Iterative Solution of Weighted Total Least-squares Adjustment[J]. Journal of Geodesy, 2011, 85(4): 229-238.

[11]方興, 曾文憲, 劉經(jīng)南, 等. 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的通用整體最小二乘算法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2014, 43(11): 1139-1143.

FANG Xing, ZENG Wenxian, LIU Jingnan, et al. A General Total Least Squares Algorithm for Three-dimensional Coordinate Transformations[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(11): 1139-1143.

[12]陳義, 陸玨. 以三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為例解算穩(wěn)健總體最小二乘方法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2012, 41(5): 715-722.

CHEN Yi, LU Jue. Robust Total Least-squares by Iterative Process of Weight Functions[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2012, 41(5): 715-722.

[13]袁慶, 樓立志, 陳瑋嫻. 加權(quán)總體最小二乘在三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2011, 40(sup): 115-119.

YUAN Qing, LOU Lizhi, CHEN Weixian. The Application of the Weighted Total Least-squares to Three Dimensional-datum Transformation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(sup): 115-119.

[14]LI Bofeng, SHEN Yunzhong, ZHANG Xingfu, et al. Seamless Multivariate Affine Error-in-variables Transformation and Its Application to Map Rectification[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2013, 27(8): 1572-1592.

[15]KOCH K R. Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models[M]. 2nd ed. Berlin: Springer, 1999.

[16]POPE A. Some Pitfalls to Be Avoided in the Iterative Adjustment of Nonlinear Problems[C]∥Proceedings of the 38th Annual Meeting of the American Society Photogrammetry. Washington, DC: [s.n.], 1972: 449-473.

[17]楊元喜, 劉念. 擬合推估兩步極小解法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2002, 31(3): 192-195.

YANG Yuanxi, LIU Nian. A New Resolution of Collocation by Two Minimization Steps[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2002, 31(3): 192-195.

[18]李博峰, 沈云中, 樓立志. 基于等效殘差的方差-協(xié)方差分量估計(jì)[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2010, 39(4): 349-354, 363.

LI Bofeng, SHEN Yunzhong, LOU Lizhi. Variance-covariance Component Estimation Based on the Equivalent Residuals[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2010, 39(4): 349-354, 363.

[19]XU Peiliang, LIU Jingnan. Variance Components in Errors-in-variables Models: Estimability, Stability and Bias Analysis[J]. Journal of Geodesy, 2014, 88(8): 719-734.

[20]AMIRI-SIMKOOEI A. Application of Least Squares Variance Component Estimation to Errors-in-variables Models[J]. Journal of Geodesy, 2013, 87(10-12): 935-944.

[21]LI Bofeng, SHEN Yunzhong, LOU Lizhi. Efficient Estimation of Variance and Covariance Components: A Case Study for GPS Stochastic Model Evaluation[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2011, 49(1): 203-210.

(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2015-08-30

Author： LI Bofeng (1983—), male, PhD, professor, majors in multi-frequency, multi-GNSS data processing theory and new application technologies.

E-mail： bofeng_li@#edu.cn

Variance Component Estimation in the Seamless Affine Transformation Model

LI Bofeng

College of Surveying and Geo-informatics, Tongji University, Shanghai 200092,China

Abstract：With the seamless affine transformation as an instance, the variance component estimation (VCE) theory is studied in the seamless datum transformation. The VCE formula of the seamless transformation model is derived. The results from the simulation experiments show that the VCE can correctly recover the objective variance components of coordinates in two datums. As a result, the accuracy of seamless transformation can be improved.

Key words：seamless datum transformation; affine transformation; variance component estimation

作者簡(jiǎn)介：李博峰(1983—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)槎囝l多模GNSS數(shù)據(jù)處理理論及應(yīng)用新技術(shù)。

收稿日期：2014-12-22

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(41374031; 41574023)；地理信息工程國家重點(diǎn)試驗(yàn)室開放基金(SKLGIE2013-M-2-2) ；測(cè)繪地理信息公益性行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)(HY14122136)

中圖分類號(hào)：P207

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)01-0030-06

引文格式：李博峰.無縫仿射基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的方差分量估計(jì)[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(1)：30-35.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140676.

LI Bofeng.Variance Component Estimation in the Seamless Affine Transformation Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(1):30-35.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140676.