崔曉琛 吳天一 張曉偉 周曰波

(鎮(zhèn)江船艇學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

繞月衛(wèi)星軟著陸最優(yōu)軌道控制策略分析

崔曉琛 吳天一 張曉偉 周曰波

(鎮(zhèn)江船艇學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

對(duì)于繞月衛(wèi)星的軟著陸軌道問(wèn)題，運(yùn)用天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律構(gòu)建了物理模型，并利用最優(yōu)化原理，把軟著陸軌道控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)正確控制狀態(tài)改變點(diǎn)來(lái)擬定最優(yōu)控制策略.文章以嫦娥三號(hào)衛(wèi)星為例，參考相關(guān)實(shí)際數(shù)據(jù)，給定相應(yīng)初始條件，結(jié)合Matlab的計(jì)算結(jié)果，給出了多個(gè)相關(guān)參數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，在此基礎(chǔ)上詳細(xì)分析了衛(wèi)星軟著陸過(guò)程中的6個(gè)分階段，定性討論了在此過(guò)程中可能影響著陸精度的多種誤差因素，并且通過(guò)敏感性分析給出了提升安全著落概率的方法.

軟著陸；約束非線性規(guī)劃；最優(yōu)控制

自從人類掌握了航天技術(shù)之后，探測(cè)地外天體的首選目標(biāo)就是月球，進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，中國(guó)的航天科技人員們提出了以發(fā)射繞月衛(wèi)星為切入點(diǎn)的探月工程計(jì)劃.繞月衛(wèi)星的軟著陸軌道及其控制策略關(guān)乎探月工程的成敗，成為當(dāng)前航天科技最為關(guān)心的話題之一.相關(guān)資料表明，由于月球上沒(méi)有大氣，故繞月衛(wèi)星軟著陸過(guò)程中主要是依靠自身攜帶的變推力發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)改變其運(yùn)行軌道，但并沒(méi)有充分考慮合適的狀態(tài)改變點(diǎn).本文將繞月衛(wèi)星的軟著陸軌道控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)正確控制狀態(tài)改變點(diǎn)，使得軟著陸軌道達(dá)到最優(yōu).接著以嫦娥三號(hào)衛(wèi)星為例，給出相關(guān)參數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系，分析軟著陸過(guò)程中的6個(gè)階段，討論可能影響著陸精度的誤差，給出提升安全著落概率的方法.

1 構(gòu)建模型 擬定策略

如圖1所示，繞月衛(wèi)星經(jīng)過(guò)地月轉(zhuǎn)移軌道，在近月軌道作圓周運(yùn)動(dòng)，在變推力發(fā)動(dòng)機(jī)的推進(jìn)下，使其進(jìn)入橢圓軌道，當(dāng)降至近月點(diǎn)時(shí)開(kāi)始軟著陸.

圖1 繞月衛(wèi)星運(yùn)行軌跡示意圖

考慮到降落時(shí)間較短，忽略月球自轉(zhuǎn)、月球引力、日月引力攝動(dòng)等因素的影響，可利用二體模型描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，建立如圖2所示的月球軟著陸極坐標(biāo)[1].假設(shè)著陸軌道在縱向平面內(nèi)，令月心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Oy軸由月心指向近月點(diǎn)，Ox軸指向著陸器的運(yùn)動(dòng)方向，其中r為著陸器的月心距；v為著陸器在矢徑r方向上的速率，則有

(1)

圖2 月球軟著陸極坐標(biāo)模型

其中，θ為著陸器環(huán)繞月球表面的航程角，即矢徑r與Oy軸之間的夾角；ω為著陸器繞月心的角速度，則有

(2)

設(shè)F為制動(dòng)推力器的推力，0

(3)

整理可得著陸器的質(zhì)心方程組為

(6)

尋找最優(yōu)控制，即使性能指標(biāo)——燃料消耗量

(7)

取最小值，且滿足軟著陸條件

(8)

其中，t0為軟著陸的初始時(shí)刻，且定義t0=0時(shí)刻的狀態(tài)參數(shù)即為橢圓軌道的近月點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)；tf為著陸時(shí)刻，且tf未知；RM為月球半徑.根據(jù)Pontryagin最大值原理[2]，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，假設(shè)制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)一直以最大推力工作，即F(t)=Fmax.

(9)

(10)

其中,

(11)

為得到各狀態(tài)量隨時(shí)間的變化，需增加微分方程

(12)

式(10)和(12)組成新的狀態(tài)方程組，因?qū)嶋H計(jì)算時(shí)式(10)中的第4個(gè)方程可省略，故新的狀態(tài)方程組個(gè)數(shù)不變.

目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(13)

約束條件變?yōu)?/p>

(14)

(15)

采取廣義乘子法解決此有約束非線性規(guī)劃問(wèn)題.

定義增廣拉格朗日函數(shù)

(16)

式中，λ=[λ1,λ2,…,λi]T，g(ω′)=[g1(ω′),g2(ω′),…,gi(ω′)]T.

(1) 假設(shè)初始點(diǎn)ω′(0)，乘子向量初始估計(jì)λ(1)，初始罰因子σ，允許誤差ε>0，參數(shù)α>1，β∈(0,1)，置k=1.

(2) 以ω′(k-1)為初始點(diǎn)，利用擬牛頓法求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題minφ(ω′,λ,σ)，得到解ω′(k).

(17)

式中,p(k)=ω′(k+1)-ω′(k);q(k)=gk+1(ω′)-gk(ω′)，gk+1(ω′)=m(ω′(k+1));可以通過(guò)有限差分得出，ω′(k)和ω′(k+1)為兩個(gè)迭代點(diǎn).

(3) 若‖g(ω′(k))‖<ε，停止計(jì)算，得到點(diǎn)ω′(k)；否則，繼續(xù)下一步.

(5) 采用下式修正乘子

置k=k+1，轉(zhuǎn)步驟(2)[4].

2 嫦娥三號(hào)數(shù)據(jù)分析

以嫦娥三號(hào)衛(wèi)星為例，取初始條件為：r0=1753km，v0=0，θ0=0，t0=0，ω′(0)=-9.65×10-4rad/s[5]，m0=2.4t；月球引力常數(shù)μ=4902.75km3/s2，月球半徑RM=1738km[5]；變推力發(fā)動(dòng)機(jī)推力取最大值F=7500N，比沖Isp=2940m/s；控制量初值ψi=0(i=0,1,2,…,N)，乘子向量初始估計(jì)λ(1)=[10,10]T，初始罰因子σ=20，允許誤差ε=0.1，參數(shù)α=2，β=0.5.

利用Matlab進(jìn)行計(jì)算，得到最優(yōu)結(jié)果為：終端速度vf=0.05m/s，終端月心距rf=1738.013m，燃料消耗量J=1491.43kg.軟著陸過(guò)程中相關(guān)參數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖3～6所示[6].

圖3 著陸器高度隨時(shí)間的變化曲線

圖4 著陸器制動(dòng)推力方向角隨時(shí)間的變化曲線

圖5 著陸器徑向速度隨時(shí)間的變化曲線

圖6 著陸器角速度隨時(shí)間的變化曲線

結(jié)合上述計(jì)算結(jié)果，軟著陸過(guò)程可分為以下6個(gè)階段：

(1) 著陸準(zhǔn)備軌道：著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)是15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)是100km.近月點(diǎn)位置和軟著陸軌道共同決定了著陸點(diǎn)的位置.嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上繞月球運(yùn)動(dòng)幾圈穩(wěn)定后選擇近月點(diǎn)準(zhǔn)備著陸.

(2) 主減速段：主減速段為距離月面15km降到3km.嫦娥三號(hào)沿拋物線變減速運(yùn)動(dòng)至3km處，速度降為57m/s.

(3) 快速調(diào)整段：快速調(diào)整段為距離月面3km降至2.4km，且水平速度降為零.此階段由于距離較短，角度不大，可看作直線運(yùn)動(dòng).

(4) 粗避障段：粗避障段為距離月面2.4km到100m的區(qū)間，其主要任務(wù)是要避開(kāi)大的隕石坑，實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)著陸點(diǎn)上方100m處懸停，并初步確定落月地點(diǎn).此階段為變速運(yùn)動(dòng)，且保證懸停時(shí)嫦娥三號(hào)的重力與推力相等.

(5) 精避障段：精避障段為距離月面100m到30m.要求嫦娥三號(hào)在距離月面100m的懸停處，對(duì)著陸點(diǎn)附近區(qū)域100m范圍內(nèi)拍攝圖像，獲得三維數(shù)字高程圖.通過(guò)分析三維數(shù)字高程圖，避開(kāi)較大的隕石坑，確定最佳著陸地點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)在著陸點(diǎn)上方30m處水平方向速度為零，在此過(guò)程中其下落速度應(yīng)盡量緩慢.

(6) 緩速下降階段：緩速下降階段的區(qū)間為距離月面30m到4m.該階段的主要任務(wù)是控制著陸器在距離月面4m處的速度為零，即實(shí)現(xiàn)在距離月面4m處相對(duì)于月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，使嫦娥三號(hào)自由落體到精確落月點(diǎn).

3 誤差分析

1) 比沖的變化

若比沖的變化量為ΔIsp，因假定整個(gè)過(guò)程推力不變，由推力F=m′·(Isp+ΔIsp)可知，當(dāng)ΔIsp>0時(shí)，其所消耗的燃料減少，那么最優(yōu)控制策略不會(huì)發(fā)生改變；而當(dāng)ΔIsp<0時(shí)，其所消耗的燃料就會(huì)增加，這時(shí)最優(yōu)控制策略必然要發(fā)生改變，通過(guò)減少燃料的消耗以達(dá)到在規(guī)定時(shí)間內(nèi)消耗的燃料最少，新的軟著陸軌道控制策略必然會(huì)與原來(lái)的有所不同.而要維持比沖的數(shù)值不變，就需要對(duì)燃料的性質(zhì)進(jìn)行研究.

2) 探月器所受推力不通過(guò)質(zhì)心

若探月器所受推力不通過(guò)質(zhì)心，推力相對(duì)于質(zhì)心的力矩會(huì)導(dǎo)致探月器發(fā)生偏轉(zhuǎn)，此時(shí)推力也會(huì)在實(shí)際效用上有所降低.為了保證探月器著落在原來(lái)規(guī)定的落地點(diǎn)，就必須調(diào)整變推力發(fā)動(dòng)機(jī)，克服探月器的偏轉(zhuǎn)，即通過(guò)增加燃料耗能來(lái)滿足實(shí)際需要，這時(shí)所消耗的燃料必然會(huì)發(fā)生改變，那么最優(yōu)化控制策略就會(huì)發(fā)生改變.而要保證探月器所受推力始終通過(guò)質(zhì)心，就需要對(duì)變推力發(fā)動(dòng)機(jī)的推進(jìn)方法進(jìn)行研究.

3) 萬(wàn)有引力在水平方向上有分力

在主減速階段，萬(wàn)有引力的水平分力會(huì)使得推力在水平方向上的分力發(fā)生變化，而推力在豎直方向上的分力并沒(méi)有發(fā)生變化，所以推力的方向角就會(huì)變化，從而導(dǎo)致探月器運(yùn)行軌跡的變化.在其他階段，萬(wàn)有引力的水平分力會(huì)導(dǎo)致探月器在水平方向上發(fā)生位移，從而引起運(yùn)行軌跡的變化.而要使得探月器的運(yùn)行軌跡能夠回到原來(lái)的軌道上來(lái)，就需要對(duì)變推力發(fā)動(dòng)機(jī)的推進(jìn)方法進(jìn)行研究.

4 安全著陸概率敏感性分析

提高探測(cè)器軟著陸的成功概率，還需進(jìn)行敏感性分析.首先保證探測(cè)器尺寸不變，擴(kuò)大著陸區(qū)域范圍，計(jì)算相應(yīng)的安全著陸概率，繪制安全著陸概率隨著陸區(qū)域邊長(zhǎng)變化曲線，如圖7所示；同時(shí)，保證著陸區(qū)域不變，擴(kuò)大探測(cè)器尺寸，計(jì)算相應(yīng)的安全著陸概率，繪制安全著陸概率隨探測(cè)器尺寸變化曲線，如圖8所示.

對(duì)比圖7和圖8的變化曲線可知，著陸區(qū)域面積大小對(duì)安全著陸概率的影響較小，探測(cè)器尺寸對(duì)安全著陸概率的影響較大.因此，為了提高行

圖7 安全著陸概率隨著陸區(qū)域邊長(zhǎng)的變化曲線

圖8 安全著陸概率隨探測(cè)器尺寸的變化曲線

星探測(cè)的成功率和生存率，在不影響科學(xué)考察的前提下，探測(cè)器的設(shè)計(jì)應(yīng)盡可能地小型化.

5 結(jié)語(yǔ)

由以上分析可知，繞月衛(wèi)星軟著陸過(guò)程中，著陸器的高度、制動(dòng)推力方向角、徑向速率和角速度都是可以人為控制的，在著陸器到達(dá)合適狀態(tài)點(diǎn)即最佳變換時(shí)機(jī)時(shí)改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就可以使軟著陸軌跡達(dá)到最優(yōu).在此過(guò)程中，還需考慮比沖變化、推力不通過(guò)質(zhì)心、萬(wàn)有引力水平分力等因素造成的誤差，可通過(guò)研究燃料性質(zhì)和改善變推力發(fā)動(dòng)機(jī)的推進(jìn)方法來(lái)減小誤差.由敏感性分析得知，探測(cè)器的小型化也有助于提升安全著落的概率.

備注： 此文獲第二屆“八一杯”軍隊(duì)院校大學(xué)生物理科技創(chuàng)新競(jìng)賽論文類二等獎(jiǎng).

[1] 王大軼，李鐵壽，馬興瑞.月球最優(yōu)軟著陸兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)值解法[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2000，18(3):44-55.

[2] 史秀波，李澤民.用非線性方程組求解等式約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的降維算法[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2007，24(2):208-212.

[3] 周凈揚(yáng)，周荻.月球探測(cè)器軟著陸精確建模及最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)[J].宇航學(xué)報(bào)，2007，28(6)：1462,1466.

[4] 陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

[5] 朱建豐，徐世杰. 基于自適應(yīng)模擬退火遺傳算法的月球軟著陸軌道優(yōu)化[J].航空學(xué)報(bào),2007(28):806-812.

[6] 趙吉松，谷良賢.基于廣義乘子法的月球軟著陸軌道快速優(yōu)化般計(jì)[J].科技導(dǎo)報(bào),2008，26(20):50-54.

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STRATEGY ANALYSIS OF THE OPTIMAL TRAJECTORY CONTROL IN LUNAR SOFT LANDING

Cui Xiaochen Wu Tianyi Zhang Xiaowei Zhou Yuebo

(Zhenjiang Watercraft College, Zhenjiang, Jiangsu 212003)

To deal with the soft landing orbit of sircumlunar satelite, the model is built under the motion of celestial bodies. Under the principle of optimality, the problem of soft landing trajectory control is changed into the problem of nonlinear programming. The best control strategy is made through the correct control of state variations. Taking Chang’e-3 for example, reading related real datas for reference, giving initial conditions, the changing curves of the relevent parameters as the time goes by are given out, and the 6 phases of soft landing are detailedly analysed, the errrors that may affect the landing accuracy are qualitatively discussed. After the sensitivity analysis, the method has been demonstrated to increase the probability of safety landing.

lunar soft landing; constrained nonlinear optimal; optimal control

2015-11-04；

2016-02-26

崔曉琛，張曉偉，周曰波，男，2012級(jí)本科生.

吳天一，女，講師，主要從事物理教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué).wutianyiwty@126.com

崔曉琛，吳天一，張曉偉，等. 繞月衛(wèi)星軟著陸最優(yōu)軌道控制策略分析[J]. 物理與工程，2016，26(5)：89-92，96.