張杰， 蔣建中， 郭軍利 信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院， 鄭州 450002

基于兩步最小二乘定位的偏差改進(jìn)算法

張杰*， 蔣建中， 郭軍利 信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院， 鄭州 450002

針對(duì)傳統(tǒng)最小二乘(LS)定位算法在噪聲較大時(shí)會(huì)出現(xiàn)有偏估計(jì)的問(wèn)題。首先詳細(xì)推導(dǎo)了傳統(tǒng)兩步最小二乘算法在時(shí)差角度聯(lián)合定位場(chǎng)景下的理論偏差，給出了出現(xiàn)偏差的原因；其次對(duì)誤差均值加入二次約束條件，提出一種基于時(shí)差角度聯(lián)合定位的改進(jìn)算法，并詳細(xì)推導(dǎo)新算法的理論偏差以及均方誤差。相比于其他加限制條件的方法，新算法能有效降低估計(jì)偏差，另外由于其不需要進(jìn)行特征值分解且能得到閉式解，計(jì)算復(fù)雜度較小。仿真結(jié)果表明，新算法在保持原有均方誤差(MSE)的前提下能顯著降低估計(jì)偏差，其定位偏差與最大似然估計(jì)器相當(dāng)。

多站無(wú)源定位； 有偏估計(jì)； 加權(quán)最小二乘； 時(shí)差角度聯(lián)合定位； 均方誤差

近年來(lái)，無(wú)源定位技術(shù)受到人們?cè)絹?lái)越多的關(guān)注。目前多站無(wú)源定位體制主要有測(cè)角交叉定位[1]，時(shí)差定位[2]以及綜合利用多種觀測(cè)信息的復(fù)合體制定位[3]。角度以及時(shí)差信息是無(wú)源定位中最基本的觀測(cè)量，測(cè)角定位設(shè)備簡(jiǎn)單，然而當(dāng)觀測(cè)距離較遠(yuǎn)時(shí)不易實(shí)現(xiàn)精確定位；時(shí)差定位在現(xiàn)有的觀測(cè)條件下具有較高的定位精度。時(shí)差角度聯(lián)合定位能利用更多的觀測(cè)信息，有助于提高定位精度，因此本文主要研究到達(dá)時(shí)間差(TDOA)以及角度測(cè)量(AOA)結(jié)合的多站無(wú)源定位問(wèn)題。

目前定位解算方法主要包括搜索法[4]、迭代算法[5-6]以及解析算法[7-8]等，相對(duì)于其他兩種算法，解析算法保證了收斂性，實(shí)時(shí)性較好。當(dāng)觀測(cè)誤差較小時(shí)，均方誤差能逼近克拉美-羅下限(Cramér-Rao Lower Bound， CRLB)，故而許多學(xué)者致力于研究解析算法。Chan和Ho提出了基于兩步加權(quán)最小二乘(Weighted Least Square, WLS)的定位方法[2]，從理論和仿真兩個(gè)角度證明當(dāng)噪聲較小且服從高斯分布時(shí)，其均方誤差能達(dá)到CRLB。由于性能優(yōu)越，Chan算法得到了廣泛應(yīng)用，并衍生出許多針對(duì)其他定位場(chǎng)景的無(wú)源定位算法，例如鄧平和Cheung等分別提出了基于TDOA以及AOA信息的混合定位算法[9-10]，Ho和Xu提出了基于時(shí)差以及頻差信息的兩步定位方法[11]。然而任何將非線性方程近似為線性方程的算法均存在誤差，因此文獻(xiàn)[2]提出的兩步最小二乘算法是有偏估計(jì)，當(dāng)信噪比較高或觀測(cè)站位置排列很好時(shí)，估計(jì)偏差較小，均方誤差主要由估計(jì)方差產(chǎn)生；當(dāng)信噪比較低或觀測(cè)站位置較為惡劣時(shí)，文獻(xiàn)[2]的估計(jì)偏差十分明顯；另外，在跟蹤過(guò)程中常常對(duì)不同時(shí)刻觀測(cè)到的數(shù)據(jù)取平均值來(lái)提高估計(jì)精度[12]，然而求均值只能降低估計(jì)方差并不能降低估計(jì)偏差。為了降低估計(jì)偏差，文獻(xiàn)[13]在求解最小二乘方程時(shí)加入二次約束條件，但是其需要進(jìn)行迭代計(jì)算，計(jì)算量較大；文獻(xiàn)[14-15]利用總體最小二乘算法進(jìn)行定位，其減少估計(jì)偏差的同時(shí)卻增大了估計(jì)方差；文獻(xiàn)[16]對(duì)基于TDOA信息的兩步最小二乘算法進(jìn)行了詳細(xì)的偏差分析，提出了一種能有效消除估計(jì)偏差的改進(jìn)算法。

本文借鑒文獻(xiàn)[16]的分析思路，針對(duì)TDOA-AOA結(jié)合的定位場(chǎng)景，詳細(xì)分析了兩步最小二乘定位的理論偏差。由文獻(xiàn)[16]可知，偏差主要由于以下兩個(gè)原因：① 最小二乘變量之間存在噪聲相關(guān)性；② 觀測(cè)量與輻射源位置之間存在非線性特性。針對(duì)上述原因?qū)φ`差均值加入限制條件，雖然利用限制條件降低估計(jì)偏差是比較常規(guī)的方法，但其通常需要迭代計(jì)算，而新算法能得到閉式解且不需要特征值分解，計(jì)算量較小。文章對(duì)新算法的性能進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，從理論上證明新算法在不增加均方誤差的同時(shí)能有效降低估計(jì)偏差。

1 定位模型

(u-s1)T(u-s1)=-2xi,1x-

2yi,1y+Ki-K1

i=2,3,…,M

(1)

(y-yi)/(x-xi)i=1,2,…,M

(2)

步驟1

(3)

式中:

Q=

步驟2

(4)

式中：

其中：⊙表示向量的Schur積，最終定位結(jié)果為

(5)

2 傳統(tǒng)算法的偏差分析

本節(jié)將推導(dǎo)TDOA-AOA結(jié)合的傳統(tǒng)兩步WLS算法的理論偏差，保留噪聲的二次項(xiàng)，下面依次對(duì)兩個(gè)步驟的偏差進(jìn)行分析。

(6)

式中：nTDOA和nAOA分別為時(shí)差及角度信息的觀測(cè)誤差。對(duì)式(6)求期望即可得到φ1的偏差，然而由于G1以及h1中的數(shù)據(jù)含有相同的觀測(cè)噪聲，因此Δφ1的期望并不容易求得，為了突出重點(diǎn)，下面直接給出Δφ1的期望，具體步驟詳見(jiàn)附錄A。

(7)

式中:

其中：H1(i,:)、H1(:,j)分別為矩陣H1的第i行、第j列；qTDOA、qAOA分別為TDOA以及AOA觀測(cè)方差組成的列向量。式(7)的第1項(xiàng)來(lái)自于h1中噪聲的二次項(xiàng)，其余各項(xiàng)由于h1、G1中所含噪聲具有相關(guān)性，因此減小變量之間的噪聲相關(guān)性是降低偏差的關(guān)鍵。

(8)

由式(8)可知，φ1的偏差以及方差導(dǎo)致φ2出現(xiàn)偏差。與步驟1不同，步驟2中G2的元素均為常數(shù)，不存在誤差，然而由式(4)可知W2的求解需要用到步驟1的估計(jì)值φ1，因此求解φ2的偏差并不容易，為了突出重點(diǎn)，下面直接給出Δφ2的期望，具體步驟詳見(jiàn)附錄B。

E(Δφ2)=H2(c1+B2E(Δφ1)+

(9)

對(duì)Δu求期望可得

(10)

式中：cu為一列向量，其值由u的均方誤差矩陣Cu的對(duì)角線元素組成，由文獻(xiàn)[2]可知

綜上所述，文獻(xiàn)[9]的偏差可由式(7)、式(9)和式(10)求得。

3 算法改進(jìn)

B1n=Avo

(11)

v的估計(jì)值應(yīng)使誤差ε=vTATW1Av達(dá)到最小。將矩陣A表示為真實(shí)值加噪聲的形式，即

(12)

式中：

(13)

對(duì)式(13)求期望可得v的均值，由于ΔA的均值為零，可得

(14)

minvTATW1Av

s.t.vTΩv=k

(15)

ATW1Av=λΩv

(16)

(17)

4 改進(jìn)算法的性能分析

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

保留噪聲的二次項(xiàng)，對(duì)式(21)化簡(jiǎn)可得

(23)

當(dāng)噪聲較小時(shí)，根據(jù)紐曼級(jí)數(shù)[19]

H1[E11nE12nE13n]H1B1n

(24)

(25)

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本文借鑒文獻(xiàn)[15]的仿真場(chǎng)景：假設(shè)有9個(gè)觀測(cè)站，位于原點(diǎn)的主觀測(cè)站計(jì)算TDOA數(shù)據(jù)，其他觀測(cè)站的坐標(biāo)為

si=[1 000cos(2π(i-1)/8)

1 000sin(2π(i-1)/8)]Tm

i=2,3,…,9

圖1中實(shí)線和虛線分別表示傳統(tǒng)兩步WLS算法以及本文所提算法的理論偏差，由圖1可以看出：

1) 當(dāng)σd≤20dB時(shí)，WLS算法以及本文算法的仿真值均能很好地與理論值吻合，由此證明第3節(jié)以及第5節(jié)理論偏差分析的正確性。

2)CWLS算法的估計(jì)偏差相比于WLS算法只有少許下降，這說(shuō)明當(dāng)觀測(cè)站位置排列較好時(shí)CWLS算法抑制偏差的效果并不明顯。

3)TLS算法由于考慮了最小二乘變量之間的噪聲相關(guān)性，能有效降低估計(jì)偏差，相比WLS算法偏差降低約7dB，但由圖2可知其RMSE無(wú)法達(dá)到CRLB。

4) 本文所提算法能大幅降低定位偏差，其精度與最大似然算法一致，相比傳統(tǒng)WLS算法偏差降低約20dB，與TLS算法相比也有較大的改進(jìn)。

圖1 各算法的偏差隨噪聲的變化

Fig.1 Bias of the algorithms changing with noise

圖2 各算法的均方根誤差隨噪聲的變化

Fig.2 RMSE of the algorithms changing with noise

5) 當(dāng)σd>20dB時(shí)，傳統(tǒng)WLS算法以及本文算法均出現(xiàn)門限效應(yīng)，偏差的仿真值略低于理論值，這是因?yàn)殡S著噪聲的增大，只考慮噪聲的二次項(xiàng)已經(jīng)無(wú)法準(zhǔn)確描述算法的理論偏差，因此算法的仿真值與理論值并不吻合。

6) 當(dāng)25dB≤σd≤30dB時(shí)，TLS算法非但不能減小偏差，其偏差反而高于傳統(tǒng)WLS算法，當(dāng)σd=35dB時(shí)，TLS算法的定位偏差略低于傳統(tǒng)WLS算法，說(shuō)明當(dāng)噪聲較大時(shí)，TLS算法并不穩(wěn)定。

7) 當(dāng)σd≤30dB時(shí)，最大似然算法由于利用輻射源的真實(shí)值作為高斯-牛頓迭代的初始值，因此依然保持穩(wěn)定的定位效果，然而當(dāng)σd=35dB時(shí)，由于TDOA以及AOA的噪聲較大，導(dǎo)致算法發(fā)散，偏差大幅上升。

由圖2可以看出：

1) 算法的RMSE隨噪聲的升高而升高，當(dāng)σd≤20dB時(shí)，TLS算法的RMSE比CRLB高約3dB，而其他算法的RMSE均能達(dá)到CRLB，說(shuō)明本文算法能保持原有均方根誤差的前提下有效降低估計(jì)偏差。

2) 當(dāng)σd>20dB時(shí)，TLS算法的RMSE大幅增大，說(shuō)明當(dāng)噪聲較大時(shí)，TLS算法失效。

3) 當(dāng)σd=20dB時(shí)，傳統(tǒng)WLS算法以及CWLS算法已經(jīng)出現(xiàn)門限效應(yīng)，而此時(shí)本文算法以及ML算法的RMSE依然能達(dá)到CRLB，說(shuō)明本文算法對(duì)于噪聲具有一定的魯棒性，當(dāng)σd=35dB時(shí)，本文算法的RMSE大幅增大，其RMSE高于傳統(tǒng)WLS算法，如何在強(qiáng)噪聲條件下提高本文所提算法的性能是下一步研究的方向。

下面考慮各算法的偏差以及均方誤差隨觀測(cè)距離的變化情況。假設(shè)噪聲為20dB，觀測(cè)站呈圓形排列，坐標(biāo)與上文保持一致，令輻射源到位于原點(diǎn)的主觀測(cè)站的距離為d，觀測(cè)站半徑r=1 000m，令觀測(cè)距離L=d/r從0.5到10變化，其他實(shí)驗(yàn)條件同上。圖3和圖4分別為各算法的偏差以及RMSE隨觀測(cè)距離的變化曲線。

圖3 各算法的偏差隨L的變化

Fig.3 Bias of the algorithms changing with L

圖4 各算法的均方根誤差隨L的變化

Fig.4 RMSE of the algorithms changing with L

觀察圖3和圖4依然可以得到類似于圖1和圖2的結(jié)論，這里不再贅述。另外，由圖3和圖4可知隨著輻射源逐漸遠(yuǎn)離觀測(cè)站，偏差以及RMSE均逐漸增大。

由圖3可知，當(dāng)L≤1時(shí)，TLS算法的估計(jì)偏差反而高于傳統(tǒng)WLS以及CWLS算法，說(shuō)明當(dāng)輻射源位于觀測(cè)站組成的圓內(nèi)或者十分接近觀測(cè)站時(shí)，TLS算法的優(yōu)勢(shì)無(wú)法體現(xiàn)，而本文所提算法的仿真值雖然略高于理論值以及最大似然估計(jì)器，但仍低于其他算法，這是由于式(7)～式(10)需要用到輻射源的真實(shí)位置，而實(shí)際中輻射源的位置并不知道，需要利用估計(jì)值代替真實(shí)值，當(dāng)輻射源位于觀測(cè)站內(nèi)或接近觀測(cè)站時(shí)，上述近似容易出現(xiàn)誤差[2,11]。當(dāng)輻射源逐漸遠(yuǎn)離觀測(cè)站(L≥2)，上述誤差迅速減小，相比于傳統(tǒng)WLS算法，新算法能大幅降低估計(jì)偏差。

由圖4可知無(wú)論輻射源是否接近觀測(cè)站，TLS算法的RMSE均高于CRLB，而其他算法的RMSE均能達(dá)到CRLB，這也與圖2保持一致。圖1～圖4給出了算法性能較好時(shí)的仿真效果，由文獻(xiàn)[20]可知，當(dāng)輻射源位于觀測(cè)站內(nèi)部或十分接近觀測(cè)站時(shí)，新算法抑制偏差的能力將大大下降，偏差大約只能減小7dB。

圖5 各算法的偏差隨AOA噪聲的變化

Fig.5 Bias of the algorithms changing with AOA noise

圖6 各算法的均方根誤差隨AOA噪聲的變化

Fig.6 RMSE of the algorithms changing with AOA noise

由圖5可以看出：

1) 由于TDOA的觀測(cè)誤差固定，因此TDOA定位算法的仿真值均為定值。當(dāng)ratio≤3×10-6時(shí)，TDOA-AOA聯(lián)合定位算法的定位偏差低于TDOA定位算法，然而當(dāng)ratio>3×10-6時(shí)，TDOA定位算法的偏差小于聯(lián)合定位算法，這說(shuō)明當(dāng)AOA噪聲較大時(shí)，角度信息已經(jīng)失效，其非但不能給定位精度帶來(lái)任何增益，反而會(huì)增大定位偏差。

2) 隨著AOA噪聲的不斷上升，各算法的偏差均逐漸增大，但其上升的趨勢(shì)逐漸變緩，這是因?yàn)楦魉惴ǖ臋?quán)值與噪聲協(xié)方差矩陣成反比，觀測(cè)值的噪聲越大其對(duì)定位結(jié)果的貢獻(xiàn)越小。

3) 無(wú)論ratio如何變化，本文算法的定位偏差始終低于TDOA定位算法，說(shuō)明當(dāng)噪聲較大時(shí)，本文所提算法依然能有效抑制定位偏差。其他結(jié)論與前面一致，這里不再贅述。

由圖6可以看出，各算法的RMSE均隨AOA噪聲的增大而不斷上升，當(dāng)ratio≤3×10-6時(shí)，除了TDOA定位算法外，各算法的RMSE均達(dá)到CRLB，當(dāng)ratio>3×10-6時(shí)，TDOA-AOA聯(lián)合定位算法以及CWLS算法均出現(xiàn)門限效應(yīng)，其RMSE逐漸偏離CRLB。當(dāng)ratio=3×10-5時(shí)，TDOA-AOA聯(lián)合定位算法的RMSE與TDOA定位算法重合，說(shuō)明此時(shí)角度信息已經(jīng)失效，而本文算法以及ML算法的RMSE依然能達(dá)到CRLB，說(shuō)明本文所提算法對(duì)于AOA誤差具有較強(qiáng)的魯棒性。

綜上所述，當(dāng)輻射源距離觀測(cè)站較遠(yuǎn)時(shí)，本文所提算法在不增加RMSE的同時(shí)能大幅降低估計(jì)偏差，另外其對(duì)AOA觀測(cè)誤差具有較強(qiáng)的魯棒性。

6 結(jié) 論

1) 本文詳細(xì)推導(dǎo)了基于TDOA-AOA信息的傳統(tǒng)兩步WLS算法的理論偏差，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)偏差主要由于步驟1中最小二乘變量之間存在噪聲相關(guān)性，針對(duì)這一問(wèn)題，在步驟一對(duì)誤差均值加入二次約束條件，有效降低最終的估計(jì)偏差。新算法能大幅降低估計(jì)偏差，不需要特征值分解且能得到閉式解，有效降低了計(jì)算量。

2) 仿真結(jié)果表明，當(dāng)輻射源距離觀測(cè)站較遠(yuǎn)時(shí)，新算法在保持原有RMSE的同時(shí)能有效降低估計(jì)偏差，其精度與最大似然估計(jì)器一致。今后可研究如何在強(qiáng)噪聲條件下提高新算法的性能。

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張杰 男， 碩士研究生。主要研究方向： 無(wú)源定位。

Tel: 0371-81622197

E-mail: hpzj242411@163.com

蔣建中 男， 碩士， 教授。主要研究方向： 通信中的信號(hào)處理。

Tel: 0371-81622197

E-mail: jiang3721@sina.com

郭軍利 男， 碩士， 副教授。主要研究方向： 通信中的信號(hào)處理。

Tel: 0371-81622197

E-mail: gjl@163.com

附錄A

由于G1中含有觀測(cè)噪聲，因此

所以

(A1)

(A2)

將式(A1)和式(A2)代入Δφ1的表達(dá)式,可得

(A3)

由于

根據(jù)ΔG1的表達(dá)式可得

(A4)

(A5)

(A6)

式中：C2、D2、C3和D3如式(7)所示，將式(A4)～(A6)代入式(A3)并求期望，可得φ1的偏差如式(7)所示。

附錄B

(B1)

當(dāng)觀測(cè)噪聲不大且輻射源距離觀測(cè)站較遠(yuǎn)時(shí)，根據(jù)紐曼級(jí)數(shù)[18]有

代入W2可得

(B2)

將式(B2)代入式(8)并省略3次及3次以上的噪聲項(xiàng)，φ2的偏差為

(B3)

式中：H2和c1如式(9)所示；P3=I-G2H2，將ΔW2的表達(dá)式代入式(B3)可得

(B4)

利用式(A1)以及式(A3)可得

(B5)

式中:

H1(:,M:2M-1)BAOA

同理由式(B1)可得

(B6)

Received： 2015-01-30； Revised： 2015-04-10； Accepted： 2015-06-15； Published online： 2015-07-20 08:53

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150720.0853.001.html

Foundation item： National Natural Science Foundation of China (61104036)

*Corresponding author. Tel.： 0371-81622197 E-mail: hpzj242411@163.com

Improved bias algorithm for localization using two-step least square

ZHANG Jie*, JIANG Jianzhong, GUO Junli

CollegeofInformationSystemEngineering,UniversityofInformationandEngineering,Zhengzhou450002,China

Bias of a source location estimate using classical least square (LS) algorithm is significant when the noise is large. This paper started by deriving the theoretical bias of the time-differences-of-arrival (TDOA) and angle-of-arrival (AOA) positioning which used the classical two-step LS algorithm and found the reason which caused the bias. Then the improved TDOA and AOA algorithm was proposed by adding the quadratic constraints to the expectation of the error. Compared to other methods with constraints, the novel algorithm can reduce the bias considerably. Furthermore, because the new algorithm does not require eigenvalue decomposition and can obtain the closed-form solution, it has little computation load. Simulation shows that the new method can reduce the bias significantly and obtain the original mean-square error (MSE). The improved algorithm is able to lower the bias to the same level as the maximum likelihood estimator.

multi-station passive localization; bias estimate; weighted least square; TDOA and AOA jointed localization; mean-square error

2015-01-30；退修日期：2015-04-10；錄用日期：2015-06-15； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：

時(shí)間： 2015-07-20 08：53

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張杰， 蔣建中， 郭軍利． 基于兩步最小二乘的偏差改進(jìn)算法[J]． 航空學(xué)報(bào), 2016, 37(2): 695-705. ZHANG J, JIANG J Z, GUO J L. Improved bias algorithm for localization using two-step least square[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2): 695-705.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0182

V247.5； TN911.7

： A

： 1000-6893(2016)02-0695-11

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