張道祥， 程 航

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241002)

非牛頓流體在多孔介質(zhì)和霍爾電流效應(yīng)下的幾類精確解

張道祥， 程 航

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241002)

非牛頓二階流體的運動方程是一個高維的非線性微分方程,其精確解求解非常困難.本文利用逆方法求得非牛頓流體在多孔介質(zhì)和霍爾電流效應(yīng)下的幾類精確解,所得的精確解有助于人們認(rèn)識和理解非牛頓流體的流動特性.

非牛頓流體;逆方法;霍爾效應(yīng);多孔介質(zhì)

由于經(jīng)典的Navier-Stokes方程只能描述簡單的非牛頓流體運動,為了解決復(fù)雜的非牛頓流體的運動,許多研究者將注意力集中在了非牛頓流體的研究上.最常見的求解非牛頓流體的方法就是Nemenyi提出的逆方法[1].逆方法是預(yù)先假設(shè)規(guī)定的渦量場或流場滿足某種物理或者數(shù)學(xué)上的性質(zhì),再根據(jù)此求解其精確解.Taylor[2]通過假設(shè)渦量分布與流函數(shù)成正比,在牛頓流體中獲得了隨時間指數(shù)衰減的雙無限渦列的精確解.Lin和Tobak[3]通過假設(shè)渦量與受到一個均勻流擾動的流函數(shù)成正比,運用逆方法解出了牛頓流體的精確解.Asghar[4],Labropulu[5],Siddiqui[6],張道祥,馮素曉[7]等利用逆方法獲得二階流體精確解.最近本文作者運用預(yù)設(shè)流函數(shù)求解偶應(yīng)力流體的Riabouchinsky 型精確解[8].

受上述文章的啟發(fā),本文研究非牛頓流體在多孔介質(zhì)和霍爾電流效應(yīng)下的幾類精確解.首先假設(shè)非牛頓流體的渦量分布滿足

▽2ψ=A(ψ-Ux-BUy),

(1)

其中A,U,B都為常數(shù)且A≠0,U≠0.

1 基本方程

帶有多孔介質(zhì)和霍爾電流效應(yīng)下的不可壓縮二階流體的控制方程為:

divV=0

(2)

(3)

其中V是速度向量,P為壓力,ρ是常值密度,J是電流密度,B是總磁場,u是磁導(dǎo)率,E是總電場電流,K是多孔介質(zhì)的滲透性,f是體力,T是Cauchy應(yīng)力張量.

(4)

其中,u,α1,α2是可測量的物質(zhì)常數(shù),A1,A2為第一和第二階Rivlin-Ericksen張量.

(5)

根據(jù)霍爾效應(yīng)[9]有

▽·B=0,▽×B=umJ,▽×E=0,

(6)

(7)

we是回旋頻率,Te是電子碰撞時間,σ是導(dǎo)電性,e是總電子電荷,Pe是電子壓力.將方程(4)-(7)代入方程(2)和(3),并且我們引入流函數(shù)ψ(x,y,t),它滿足

代入方程(2)和(3)我們得到

(8)

(9)

當(dāng)1-WeA=0時,我們可以看出方程(9)變?yōu)棣?x,y)=Ux+BUy,則u(x,y)=BU,v(x,y)=-U.

下面,我們考慮1-WeA≠0時定常和非定常下的精確解.

2 定常下的精確解

在定常條件下方程(9)變?yōu)?/p>

(10)

(11)

可以解出方程(11)的通解為

ψ=Uξ+eNyg(ξ)

(12)

(1+B2)g″(ξ)+(B+BN)g′(ξ)+(N-A2)g(ξ)=0

(13)

此時的特征方程為

(1+B2)λ2+(B+BN)λ+(N-A2)=0

(14)

令Δ=(B+BN)-4(1+B2)(N-A2)

2.1Δ>0

此時,則

(15)

則g(x)的表達(dá)式為

g(ξ)=c1eλ1ξ+c2eλ2ξ

(16)

流函數(shù)和速度場為

ψ=Uξ+eNy(c1eλ1ξ+c2eλ2ξ)

(17)

u(x,y)=BU+NeNy(c1eλ1ξ+c2eλ2ξ)+BeNy(λ1c1eλ1ξ+λ2c2eλ2ξ)

(18)

v(x,y)=-U-eNy(λ1c1eλ1ξ+λ2c2eλ2ξ)

(19)

2.2Δ=0

(20)

流函數(shù)和速度場為

ψ(x,y)=Uξ+eNy(c1+c2ξ)eλ3ξ，

(21)

u(x,y)=BU+NeNy(c1+c2ξ)eλ3ξ+Bλ1eNyeλ3ξ(c1+c2ξ)+c2BeNyeλ3ξ，

(22)

v(x,y)=-U-c2eNyeλ3ξ-λ1(c1+c2ξ)eNyeλ3ξ，

(23)

其中c1,c2為常數(shù).

2.3Δ<0

流函數(shù)和速度場為

ψ(x,y)=Uξ+eNyeIξ(D1sinI2ξ+D2cosI2ξ)，

(24)

u(x,y)=BU+(N+BI1+BI2)eNyeI1ξ(D1sinI2ξ+D2cosI2ξ)，

(25)

v(x,y)=-U-(I1+I2)eNyeI1ξ(D1sinI2ξ+D2cosI2ξ)，

(26)

3 非定常下的精確解

在非定常情形下,因為1-WeA≠0,令B=0我們有

(27)

我們令ξ=y+Ut,y=y.

(28)

在新的坐標(biāo)系下方程(28)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(29)

我們可以得到

ψ=Ux+eNyg(ξ,x).

(30)

將(30)代入(1)中, 我們得到g(ξ,x)滿足

(31)

關(guān)于方程(31), 我們令

g=G(η),η=ξcosθ+xsinθ，

(32)

θ為常數(shù), 將(32)代入(31)

G″(η)+2NcosθG′(η)+(N2-A)G(η)=0,

(33)

我們假設(shè)(33)的解形式為G(η)=emη,我們有

m2+2Ncosθ+(N2-A)=0，

(34)

由方程(34)我們解出

(35)

3.1A-N2sinθ>0

此時我們有

G(η)=A1em1η+A2em2η，

(36)

其中m1,m2在(35)中給出, 這時候流函數(shù)以及速度分別為

ψ(x,y,t)=Ux+eNy(A1em1η+A2em2η)，

(37)

u(x,y,t)=NeNy(A1em1η+A2em2η)+eNycosθ(A1m1em1η+A2m2em2η)，

(38)

v(x,y,t)=-U-eNysinθ(A1em1η+A2em2η)，

(39)

其中,A1,A2是常數(shù).圖1給出了當(dāng)U=1,N=1,A1=1,A2=0,t=1,A=0.8,θ=0的流函數(shù)等值線.我們得到了帶有垂向上有抽(吸)作用的平行流動.

圖1 流函數(shù)的等值線

3.2A-N2sinθ=0

此時我們有

G(η)=e-Nηcosθ(D1+D2η)，

(40)

這時候流函數(shù)以及速度分別為

ψ(x,y,t)=Ux+eNy-Nηcosθ(D1+D2η)，

(41)

u(x,y,t)=eN(y-ηcosθ)[Nsin2θ(D1+D2η)+D2cosθ]，

(42)

v(x,y,t)=-U-eN(y-ηcosθ)sinθ[D2-D2cosθ(D1+D2η)]，

(43)

3.3A-N2sinθ<0

此時我們有

G(η)=e-Nηcosθ[E1sin(mη)+E2cos(mη)]，

(44)

圖2 流函數(shù)ψ(x,y,t)=-x+e-tsin(y-t)的等值線

ψ(x,y,t)=Ux+eN(y-ηcosθ)[E1sin(mη)+E2cos(mη)]

(45)

u(x,y,t)=eN(y-ηcosθ)Nsin2θ[E1sin(mη)+E2cos(mη)] +eN(y-ηcosθ)mcosη[E1sin(mη)-E2cos(mη)]，

(46)

v(x,y,t)=-U-eN(y-ηcosθ)sinθm[E1cos(mη)-E2sin(mη)] +eN(y-ηcosθ)sinθNcosθ[E1cos(mη)-E2sin(mη)]．

(47)

4 結(jié)論

非牛頓流體的精確解目前仍是力學(xué)和數(shù)學(xué)研究者關(guān)注的熱點問題.本文在預(yù)設(shè)渦量場分布的條件下,研究在多孔介質(zhì)和霍爾電流效應(yīng)下定常和非定常情形下二階流體的精確解.我們得到了帶有垂向上有抽(吸)作用的平行流動以及隨著時間按指數(shù)衰減的流動精確解.

[1]NEMENYIPF.Recentdevelopmentsininverseandsemi-inversemethodsinthemechanicsofcontinua[J]. Advance in Applied Mechanics, 1951,2(11):123-151.

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[5] LABROPULU F. Exact solutions of non-Newtonian fluid flows with prescribed vorticity[J]. Acta Mechanics,2000,(141):11-20.

[6] SIDDIQUI A M, MOHYUDDIN M R, HAYAT T, ASGHAR S. Some more inverse solutions for steady flows of a second-grade fluid[J]. Arch Mech, 2003,(55):373-387.

[7] 張道祥,馮素曉.二階非牛頓流行蠕流精確解[J].力學(xué)季刊, 2008,29(3):418-423.

[8] 張道祥,程航.偶應(yīng)力流體的Riabouchinsky型精確解[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2005,38(5):414-418.

[9] Muhammad R Mohyuddin, Ehsan Ellahi Ashraf. Inverse solutions for a second-grade fluid for porous medium channel and Hall current effects[J]. Indian Acad Sci, 2004,1(114):79-96.

Some Certain Exact Solutions of Non-Newtonian Fluid for Porous Medium Channel and Hall Current Effects

ZHANG Dao-xiang, CHENG Hang

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

The equations of non-Newtonian second-grade fluid flow are highly nonlinear partial differential equations. This paper aims to investigate analytical solutions of non-Newtonian fluid for porous medium channel and Hall current effects via inverse method for steady and unsteady cases. The exact solutions help us to understand the flow characteristics of non-Newtonian fluids.

non-Newtonian fluid; inverse method; Hall effects; porous medium

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.06.002

2015-10-20

國家自然科學(xué)基金青年項目(11302002).

張道祥(1979-)，男，安徽天長市人，副教授，博士.

張道祥，程航.非牛頓流體在多孔介質(zhì)和霍爾電流效應(yīng)下的幾類精確解[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2016，39(6)：516-520.

O175

A

1001-2443(2016)06-0516-05