圖1 區(qū)域快速路網(wǎng)分解及交通特性示意圖

Fig.1 Schematic diagram of regional freeway network decomposition and traffic characteristic

si(k)]

(1)

si(k)=βi(k)qi-1(k)

(2)

(3)

(4)

(5)

式(1)-(5)所示二階宏觀交通流模型對(duì)交通流密度、速度、流量的動(dòng)態(tài)關(guān)系進(jìn)行了完整表述，其中模型參數(shù)對(duì)路網(wǎng)變化不敏感，而最佳速度vf、最佳密度ρcr、指數(shù)參數(shù)a較為敏感，路網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、環(huán)境因素不同，這三者都會(huì)有明顯變化[15,20].文中選取的交通流模型是以流體力學(xué)模型為理論基礎(chǔ)發(fā)展而來，有較大的參數(shù)規(guī)模、較高的復(fù)雜度，在描述三相交通流的變化趨勢方面有較好表現(xiàn)，已經(jīng)被驗(yàn)證能對(duì)實(shí)際交通流狀態(tài)做出較為良好的預(yù)測[21].

1.2 交通流狀態(tài)空間建模

以上述模型為基礎(chǔ)，參照?qǐng)D1所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，構(gòu)建交通流狀態(tài)空間模型，對(duì)每一個(gè)路段的ρi(k)、vi(k)，快速路網(wǎng)的入口流量q0、速度v0，路網(wǎng)出口密度ρN+1，路段的入口匝道流量ri(k)，出口匝道流量占比βi(k)，以及路網(wǎng)模型參數(shù)vf、ρcr、a進(jìn)行全面預(yù)測：

(6)

構(gòu)建交通流特征變量z、邊界變量b、模型參數(shù)p向量:

(7)

對(duì)于交通流特征變量z，預(yù)測狀態(tài)與當(dāng)前狀態(tài)存在函數(shù)關(guān)系φ(·)，對(duì)于邊界變量b和模型參數(shù)p，采用疊加噪聲的一步預(yù)測方式獲取下一時(shí)刻的狀態(tài).因此，狀態(tài)空間表達(dá)式為

(8)

式中，ξ(k)均為疊加零均值高斯白噪聲.假設(shè)在相鄰路段的臨界及路網(wǎng)邊界都設(shè)有檢測裝置，則觀測變量為

y=q1v1…qNvNq0v0r1…

rNβ1…βNT

(9)

進(jìn)而得出觀測方程

y(k)=g(x(k),η(k))

(10)

式中，η(k)為零均值高斯白噪聲.

綜上所述，得出宏觀交通流系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：

(11)

2 無損卡爾曼濾波算法

傳統(tǒng)的非線性濾波算法以擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)為代表，該算法通過對(duì)非線性模型進(jìn)行Taylor展開，忽略高階項(xiàng)，再結(jié)合經(jīng)典的卡爾曼濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，屬于典型的函數(shù)近似法.然而，非線性函數(shù)的Jacobian矩陣求解計(jì)算量較大，在強(qiáng)非線性環(huán)境下精度降低，甚至?xí)霈F(xiàn)濾波發(fā)散，穩(wěn)定性較差.無損卡爾曼濾波(UKF)是近年來提出的新型非線性濾波算法，該方法基于帶有權(quán)值的樣本集，通過無損變換(UT)估計(jì)非線性函數(shù)的概率密度分布，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)和協(xié)方差的非線性傳遞，對(duì)于濾波更新結(jié)果再利用經(jīng)典卡爾曼濾波框架進(jìn)行迭代運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)估計(jì).UKF摒棄了函數(shù)近似法的理念，不存在高階截?cái)嗾`差，不需要求導(dǎo)計(jì)算，較之EKF計(jì)算精度和穩(wěn)定性都有所提高.

2.1 標(biāo)準(zhǔn)UKF算法

考慮系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程和觀測方程如式(11)所示，其中：x(k+1)和x(k)分別為k+1、k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，y(k)為k時(shí)刻系統(tǒng)觀測值，f(·)為狀態(tài)模型，g(·)為觀測模型，ξ(k)為過程噪聲，η(k)為觀測噪聲，且滿足：

(12)

UKF的計(jì)算步驟如下[22- 23]：

1)系統(tǒng)狀態(tài)初始化

(13)

2)選取Sigma點(diǎn)

(14)

(15)

3)時(shí)間更新

Sigma點(diǎn)的非線性變換：

(16)

k時(shí)刻的狀態(tài)向量預(yù)測均值：

(17)

k時(shí)刻的狀態(tài)向量協(xié)方差陣：

(18)

4)測量更新

k時(shí)刻觀測向量變換：

(19)

k時(shí)刻觀測向量預(yù)測均值：

(20)

k時(shí)刻觀測向量協(xié)方差陣：

(21)

5) 濾波更新

狀態(tài)向量與觀測向量協(xié)方差矩陣：

(22)

卡爾曼增益矩陣：

(23)

k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)：

(24)

k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差陣：

(25)

濾波殘差：

(26)

2.2 基于SVD的UKF算法

雖然UKF利用UT變換克服了EKF帶來的截?cái)嗾`差和濾波發(fā)散問題，但是在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)狀態(tài)先驗(yàn)信息矩陣的對(duì)稱正定性并不能時(shí)刻得到保證，例如計(jì)算機(jī)的觀測粗差、系統(tǒng)噪聲等不確定性干擾，以及狀態(tài)模型擾動(dòng)異常等，都會(huì)破壞協(xié)方差矩陣的正定性，影響濾波器效果[22].另外，單純通過抗差因子調(diào)節(jié)觀測噪聲矩陣的做法容易引起UT變換后觀測向量協(xié)方差矩陣病態(tài)，降低UKF的濾波精度和穩(wěn)定性.

UKF算法中的Sigma點(diǎn)選取環(huán)節(jié)，需要對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行Cholesky分解，但是當(dāng)協(xié)方差矩陣失去對(duì)稱正定性時(shí)，濾波計(jì)算將無法進(jìn)行.對(duì)于這種情況，可以采用奇異值分解(SVD)代替Cholesky分解.另外，非線性模型的復(fù)雜度越高，UT變換后越容易出現(xiàn)不確定的偏差，下文將介紹利用抗差因子對(duì)觀測向量協(xié)方差矩陣和增益矩陣進(jìn)行雙向調(diào)節(jié)的改進(jìn)算法，根據(jù)觀測向量協(xié)方差矩陣的不同狀態(tài)自適應(yīng)確定抗差策略，該算法的流程如圖2所示.

1)抗差因子

觀測信息對(duì)濾波結(jié)果的貢獻(xiàn)大小可以由抗差因子γ來調(diào)節(jié)，采用觀測向量殘差構(gòu)建抗差因子，即

圖2 基于SVD的改進(jìn)抗差UKF算法流程圖

Fig.2 Algorithm flow chart with improved resistance to error based on SVD-UKF

(27)

式中:k0、k1為閾值參數(shù)，通常k0取1.5～2.0，k1取3.0～8.5，兩者取值越小，說明判定越嚴(yán)格，反之越寬松，文中取k0=2，k1=5[24];Svk為標(biāo)準(zhǔn)殘差，計(jì)算公式為

(28)

2)優(yōu)化抗差SVD-UKF算法

為解決狀態(tài)協(xié)方差矩陣非正定時(shí)無法進(jìn)行Cholesky分解的問題，采用SVD分解計(jì)算Sigma點(diǎn)，即

(29)

值得說明的是,當(dāng)Pk-1滿足對(duì)稱正定性時(shí)，兩者的分解結(jié)果完全一致.

優(yōu)化抗差算法的流程如圖2所示，觀測向量協(xié)方差的計(jì)算式為

(30)

(31)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

建立如圖3所示路網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)前文所述的交通流狀態(tài)空間模型和預(yù)測算法進(jìn)行驗(yàn)證.在VISSIM仿真軟件采集的交通流數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上，利用Matlab完成交通流狀態(tài)估計(jì).參數(shù)設(shè)置見表1，選取3 h的預(yù)測時(shí)間，觀測周期T=60 s，采用180組數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

圖3 路網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.3 Network topology structure

參數(shù)類型參數(shù)設(shè)置路網(wǎng)參數(shù)l1=420m,l2=925m,l3=414m,1=2=3=3模型參數(shù)=20s,v=35km/h,κ=13veh/km,δ1=δ2=0.1過程噪聲D(ξqi(k))=100veh/h,D(ξvi(k))=11km/h,i=1,2,3D(ξq0(k))=100veh/h,D(ξv0(k))=5km/h,D(ξρ4(k))=1.5veh/km/lane,D(ξr2(k))=3veh/h,D(ξβ2(k))=0.001,D(ξvf(k))=0.5km/h,D(ξρcr(k))=0.1veh/km/lane,D(ξa(k))=0.01測量噪聲D(ηqi)=100veh/h,D(ηvi)=10km/h,i=0,1,2,3D(ηr2)=20veh/h,D(ηs2)=10veh/h

圖4-7給出了部分狀態(tài)變量的估計(jì)結(jié)果，可以看出預(yù)測結(jié)果能準(zhǔn)確跟蹤交通流狀態(tài)的變化趨勢.具體來說，交通流密度估計(jì)較為準(zhǔn)確，而速度變量(v1、v2、v3、v0、vf)在某些時(shí)間點(diǎn)上存在明顯的誤差，流量相關(guān)的變量(q0、r2、β3)的估計(jì)較為準(zhǔn)確，最佳密度(ρcr)的估計(jì)結(jié)果也在部分時(shí)刻出現(xiàn)了誤差，但是在基準(zhǔn)值的1/103水平上，可以忽略不計(jì).

引入誤差指標(biāo)如均方根誤差(RMSE)、平均絕對(duì)值百分比誤差(MAPE)，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上對(duì)EKF和SVD-UKF性能指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表2.

均方根誤差：

(32)

平均絕對(duì)值百分比誤差：

(33)

圖4 路段1交通流密度ρ1、速度v1估計(jì)

Fig.4 Estimation of traffic flow density and speed of segment 1

從性能指標(biāo)的對(duì)比結(jié)果來看，對(duì)于非線性程度較高的速度變量(v1、v2、v3，表2中用黑體顯示)的估計(jì)，兩個(gè)算法的RMSE均較高，但是SVD-UKF優(yōu)于EKF.對(duì)于其他狀態(tài)變量的估計(jì)，SVD-UKF的RMSE都比EKF提高了一個(gè)數(shù)量級(jí).然而，MAPE的結(jié)果顯示，對(duì)于速度變量(v1、v2、v3)的估計(jì)，SVD-UKF的MAPE稍遜于EKF，究其原因，相比于其他變量，速度狀態(tài)模型的非線性更強(qiáng)，在某些時(shí)刻UT變換帶來的轉(zhuǎn)換誤差非常大，速度估計(jì)相比原始值的偏差較大，而SVD-UKF算法的抗差設(shè)計(jì)并不能完全消除速度變量的不確定性誤差，因此，在今后的研究中需要進(jìn)一步改善.總體上來說，SVD-UKF算法在短時(shí)交通流狀態(tài)預(yù)測方面的性能優(yōu)于EKF算法.

表2 算法性能指標(biāo)對(duì)比Table 2 Algorithm performance comparison

圖5 快速路入口流量q0、速度v0估計(jì)Fig.5 Estimation of freeway entrance flow and velocity

圖6 模型參數(shù)最大速度vf、最佳密度ρcr估計(jì)

Fig.6 Estimation of model parameters maximum speed and the best density

圖7 入口匝道流量γ2、出口匝道流量占比β3估計(jì)

Fig.7 Estimation of the on-ramp traffic flow and off-ramp flow proportion

4 結(jié)語

文中針對(duì)城市區(qū)域快速路網(wǎng)，以實(shí)現(xiàn)交通流特征參數(shù)和模型參數(shù)的綜合估計(jì)為目標(biāo)，建立宏觀交通流狀態(tài)空間模型，對(duì)交通流狀態(tài)和模型參數(shù)進(jìn)行綜合估計(jì)，提高模型適應(yīng)性和預(yù)測精度.在標(biāo)準(zhǔn)UKF算法基礎(chǔ)上，基于SVD的優(yōu)化抗差UKF算法，用奇異值分解(SVD)代替標(biāo)準(zhǔn)UKF的Cholesky分解，在協(xié)方差矩陣非正定時(shí)，解決了濾波計(jì)算不能持續(xù)的問題，同時(shí)，該算法根據(jù)觀測協(xié)方差矩陣是否病態(tài)自動(dòng)選擇抗差策略，對(duì)增益矩陣和觀測協(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)計(jì)算，進(jìn)而抑制由于模型較高的非線性帶來的誤差.實(shí)驗(yàn)證明，宏觀交通流狀態(tài)空間模型能準(zhǔn)確跟蹤交通流的動(dòng)態(tài)變化，代價(jià)是較高的非線性和復(fù)雜度.相比于EKF，文中所提算法提高了交通流狀態(tài)估計(jì)的穩(wěn)定性和精度，今后將在模型參數(shù)優(yōu)化和抗差算法設(shè)計(jì)方面做深入研究，以期將文中模型和算法在實(shí)際的交通流預(yù)測中推廣應(yīng)用.

[1] CLARK S.Traffic prediction using multivariate nonparametric regression [J].Journal of Transportation Enginee-ring,2003,129(2)：161- 168.

[2] WILLIAMS B M,HOEL L A.Modeling and forecasting vehicular traffic flow as a seasonal ARIMA process：theoretical basis and empirical results [J].Journal of Transportation Engineering,2003,129(6)：664- 672.

[3] ZHANG L,MA Y,SHI L.A hybrid traffic flow model for real time freeway traffic simulation [J].KSCE Journal of Civil Engineering,2014,18(4)：1160- 1164.

[4] 傅貴,韓國強(qiáng),逯峰,等.基于支持向量機(jī)回歸的短時(shí)交通流預(yù)測模型 [J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,41(9)：71- 76. FU Gui,HAN Guo-qiang,LU Feng,et al.Short-term traffic flow prediction based on SVM regression model [J].Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition),2013,41(9)：71- 76.

[5] LI T,SHENG L.Prediction for short-term traffic flow based on optimized wavelet neural network model [J].International Journal of Computer Science & Information Technology,2015,7(2)：183.

[6] 董春嬌,邵春福,張輝,等.基于 GP 算法的快速路交通流參數(shù)相空間重構(gòu) [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版,2012,42(3)：594- 599. DONG Chun-jiao,SHAO Chun-fu,ZHANG Hui,et al.Phase space reconstruction of traffic flow parameters on expressway based on G-P algorithm [J].Journal of Jilin University:Engineering and Technology Edition,2012,42(3)：594- 599.

[7] MIHAYLOVA L,BOEL R,HEGYI A.Freeway traffic estimation within particle filtering framework [J].Automatica,2007,43(2)：290- 300.

[8] KUMAR K,PARIDA M,KATIYAR V K.Short term tra-ffic flow prediction in heterogeneous condition using artificial neural network [J].Transport,2015,30(4)：397- 405.

[9] MEI H,MA A,POSLAD S,et al.Short-term traffic volume prediction for sustainable transportation in an urban area [J].Journal of Computing in Civil Engineering,2013,29(2)：04014036.

[10] 李松,劉力軍,翟曼.改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的短時(shí)交通流預(yù)測 [J].系統(tǒng)工程理論實(shí)踐,2012,32(9)：2045- 2049. LI Song,LIU Li-jun,ZHAI Man.Prediction for short-term traffic flow based on modified PS0 optimized BP neural network [J].Systems Engineering-Theory & Practice,2012,32(9)：2045- 2049.

[11] 董春嬌,邵春福,諸葛承祥,等.基于時(shí)空特性的交通自由流短時(shí)預(yù)測狀態(tài)空間模型 [J].土木工程學(xué)報(bào),2013,46(8)：111- 118. DONG Chun-jiao,SHAO Chun-fu,ZHUGE Cheng-xiang,et al.A short-term state-space model for free flow prediction based on spatial-temporal characteristics [J].China Civil Engineering Journal ,2013,46(8)：111- 118.

[12] 董春嬌,邵春福,周雪梅,等.基于交通流參數(shù)相關(guān)的阻塞流短時(shí)預(yù)測卡爾曼濾波算法 [J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,44(2)：413- 419. DONG Chun-jiao,SHAO Chun-fu,ZHOU Xiao-mei,et al.Kalman filter algorithm for short-term jam traffic prediction based on traffic parameter correlation [J].Journal of Southeast University(Natural Science Edition),2014,44(2)：413- 419.

[13] PAPAGEORGIOU M,BLOSSEVILLE J M,HADJ-SALEM H.Modelling and real-time control of traffic flow on the southern part of Boulevard Peripherique in Paris：part I：Modelling [J].Transportation Research Part A：Gene-ral,1990,24(5)：345- 359.

[14] WANG Y,PAPAGEORGIOU M.Real-time freeway tra-ffic state estimation based on extended Kalman filter：a general approach [J].Transportation Research Part B：Methodological,2005,39(2)：141- 167.

[15] WANG Y,PAPAGEORGIOU M,MESSMER A.Real-time freeway traffic state estimation based on extended Kalman filter：adaptive capabilities and real data testing [J].Transportation Research Part A：Policy and Practice,2008,42(10)：1340- 1358.

[16] 袁磊,梁丁文,蔡之華,等.基于正交差分演化無跡卡爾曼濾波的短時(shí)交通流量預(yù)測算法 [J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2015,35(11)：3151- 3156. YUAN Lei,LIANG Ding-wen,CAI Zhi-hua,et al.Short-term traffic flow prediction algorithm based onorthogonal differential evolution unscented Kalman filter [J].Journal of Computer Applications,2015,35(11)：3151- 3156.

[17] 朱征宇,劉琳,崔明.一種結(jié)合 SVM 與卡爾曼濾波的短時(shí)交通流預(yù)測模型 [J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2013,40(10)：248- 251. ZHU Zheng-yu,LIU Lin,CUI Ming.Short-term traffic flow forecasting model combining svm and kalman filtering [J].Computer Science,2013,40(10)：248- 251.

[18] 聶佩林,余志,何兆成.基于約束卡爾曼濾波的短時(shí)交通流量組合預(yù)測模型 [J].交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào),2008,8(5)：86- 90. NIE Pei-lin,YU Zhi,HE Zhao-cheng.Constrained Kalman filter combined predictor for short-term traffic flow [J].Journal of Traffic and Transportation Engineering,2008,8(5)：86- 90.

[19] PAPAGEORGIOU M,BLOSSEVILLE J M,HADJ-SALEM H.Macroscopic modelling of traffic flow on the Boulevard Périphérique in Paris [J].Transportation Research Part B：Methodological,1989,23(1)：29- 47.

[20] PAPAGEORGIOU M,BLOSSEVILLE J M,HAJ-SALEM H.Modelling and real-time control of traffic flow on the southern part of Boulevard Périphérique in Paris：part II：coordinated on-ramp metering [J].Transportation Research Part A：General,1990,24(5)：361- 370.

[21] WANG Y,PAPAGEORGIOU M,MESSMER A.Real-time freeway traffic state estimation based on extended Kalman filter：A case study [J].Transportation Science,2007,41(2)：167- 181.

[22] 高為廣,何海波,陳金平.自適應(yīng) UKF 算法及其在 GPS/INS 組合導(dǎo)航中的應(yīng)用 [J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(6)：505- 509. GAO Wei-guang,HE Hai-bo,CHEN Jin-ping.An adaptive UKF algorithm and its application for GPS-INS integrated navigation system [J].Trans Beijing Ins Technol,2008,28(6)：505- 509.

[23] 曲從善,許化龍,譚營.一種基于奇異值分解的非線性濾波新算法 [J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2009,21(9)：2650- 2653. QU Cong-shan,XU Hua-long,TAN Ying.New nonlinear filtering algorithm based on svd [J].Journal of System Simulation,2009,21(9)：2650- 2653.

[24] 楊元喜.自適應(yīng)動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位 [M].北京:測繪出版社,2006：99- 101

Application of SVD-Based Optimized Robust UKF Algorithm to Estimation of Short-Term Traffic Flow State

XULun-huiWANGXiang-xue

(School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

In order to realize the real-time traffic flow state estimation of the regional freeway network in cities, a macroscopic traffic flow state space model is constructed. This model helps to estimate the traffic flow states and update the model parameters, and it can improve the adaptability and accuracy of the traffic flow model. Then, the SVD(Singular Value Decomposition)-based optimized robust UKF(Unscented Kalman Filter) algorithm is proposed. In the algorithm, the singular value decomposition is adopted to replace the Cholesky decomposition, thus solving the problem that the filtering can’t continue when the covariance matrix is non-positive. Meanwhile, different strategies are chosen according to whether the observation covariance matrix is pathological, and both the gain matrix and the observation covariance matrix are adaptively calculated. Furthermore, the error caused by the high nonlinearity of the constructed model is inhibited.Experimental results show that the proposed algorithm can avoid the filtering divergence of the EKF(Extended Kalman Filter) algorithm and can accurately track the trend of the traffic flow, thus improving the stability and precision of the traffic flow state estimation.

traffic flow state space model; UKF algorithm; singular value decomposition; error resistance factor

2016- 04- 22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61263024) Foundation items: Supported by the National Natural Science Foundation of China(61263024)

許倫輝(1965-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事智能交通系統(tǒng)理論及應(yīng)用、交通流系統(tǒng)建模與仿真等研究.E-mail:lhxscut@163.com

1000- 565X(2016)12- 0044- 09

U 491

10.3969/j.issn.1000-565X.2016.12.007