趙學斐， 王曙光， 杜東升， 劉偉慶

(南京工業(yè)大學土木工程學院， 江蘇 南京 210009)

考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用的黏彈性減震結(jié)構(gòu)的簡化設計方法①

趙學斐， 王曙光， 杜東升， 劉偉慶

(南京工業(yè)大學土木工程學院， 江蘇 南京 210009)

首先在頻域中建立了考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用(SSI)的黏彈性阻尼單自由度消能減震結(jié)構(gòu)體系的動力平衡方程,通過模態(tài)應變能法及結(jié)構(gòu)體系的傳遞函數(shù),推導出了結(jié)構(gòu)體系等效周期及等效阻尼比的計算方法，并參數(shù)化分析了SSI效應對消能減震結(jié)構(gòu)的影響。結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的高寬比及初始附加阻尼比對阻尼器的減震效率影響較大。通過等效方法將質(zhì)量剛度分布比較均勻的多自由度減震框架體系簡化為單質(zhì)點體系進行抗震分析。算例表明該方法具有一定的精度，對考慮SSI效應的消能減震結(jié)構(gòu)體系的抗震評估具有一定的工程應用價值。

土-結(jié)構(gòu)相互作用； 減震結(jié)構(gòu); 黏彈性阻尼器； 等效方法

引 言

消能減震結(jié)構(gòu)通過在結(jié)構(gòu)中設置消能裝置來吸收地震能量，從而減輕主體結(jié)構(gòu)的地震反應或其他動力反應，提高結(jié)構(gòu)的安全性與經(jīng)濟性等要求。近幾十年來，消能減震技術(shù)迅速發(fā)展，得到越來越多的關注和工程應用[1-3]。由于土-結(jié)構(gòu)相互作用問題分析的復雜性，在進行結(jié)構(gòu)的抗震設計時，結(jié)構(gòu)工程師常采用剛性地基假定，此種假定在地基剛度比較大時是可行的，而對于軟土地基，該假定并不一定總是安全。消能減震裝置在增加結(jié)構(gòu)阻尼的同時也增加了結(jié)構(gòu)的剛度，使結(jié)構(gòu)的動力特性發(fā)生一定程度的變化。土-結(jié)構(gòu)剛度比作為SSI問題中的敏感性參數(shù)之一將很大程度上影響結(jié)構(gòu)的地震反應。因此，對建立在較軟弱地基上的消能減震結(jié)構(gòu)，忽略SSI效應將對分析結(jié)果將帶來一定的誤差，所以有必要對考慮SSI效應的消能減震結(jié)構(gòu)的地震反應進行探討和研究。

目前，關于SSI效應對消能減震結(jié)構(gòu)影響的研究相對較少。宋和平[4]等結(jié)合實際工程，對地震作用下消能減震結(jié)構(gòu)體系進行了分析，結(jié)果表明，在考慮SSI效應后，減震效果明顯變差。張兆超[5]通過數(shù)值算例分析，認為SSI作用降低了消能裝置的有效性，基于剛性地基假定進行高層結(jié)構(gòu)的減震控制和抗震性能評價并不一定偏于安全。但以往的研究一般根據(jù)工程實例計算結(jié)果得出結(jié)論，缺乏系統(tǒng)性和推廣性。

本文在以往學者研究成果的基礎上提出了考慮SSI效應的單自由度黏彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)等效周期和等效阻尼比的計算方法，并采用等效方法將質(zhì)量剛度分布較均勻的多自由度減震框架體系簡化為單質(zhì)點體系進行抗震分析，為考慮SSI效應的減震框架結(jié)構(gòu)的地震反應評估提供了一種簡單可行的分析方法。

1 考慮SSI效應的單自由度黏彈性阻尼減震體系的動力平衡方程

本文首先考慮了具有埋置基礎的單自由度減震結(jié)構(gòu)體系，如圖1所示。沿基礎上表面可將結(jié)構(gòu)體系分為上部結(jié)構(gòu)和下部基礎兩部分，結(jié)構(gòu)與基礎上表面之間有剪力和彎矩傳遞。上部結(jié)構(gòu)的運動方程可寫成如下形式：

(1)

(2)

(3)

圖1 考慮SSI效應的單自由度減震體系Fig.1 The SDOF energy dissipated structure considering SSI

通過傅里葉變換，運動方程在頻域中的表達式如下：

(4)

(5)

(6)

黏彈性阻尼器本構(gòu)采用Makris[6]提出的五參數(shù)分數(shù)導數(shù)模型，其具體表達式如下

(7)

其中

表達式中具體參數(shù)通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到，其中：k=0,c0=15kN/m ,b=0.3 s0.6,α=1，β=0.6。實部剛度與虛部剛度及阻尼系數(shù)隨頻率的變化如圖2所示。

考慮剪切面積與剪切厚度的影響，阻尼器復剛度表達式如下所示

(8)

式中As為黏彈性阻尼器剪切面積，d為剪切厚度。

圖2 黏彈性阻尼復剛度及阻尼系數(shù)Fig.2 The complex stiffness and damping coefficient of VED

下部基礎與土體相互作用的平衡方程如下所示：

(9)

式中Ghh,Ghr,Grh,Grr分別表示基礎的水平阻抗，水平-回轉(zhuǎn)耦合阻抗，回轉(zhuǎn)-水平耦合阻抗，回轉(zhuǎn)阻抗。其通常具有如下統(tǒng)一的表達式

G(ia0)=GR(a0)+iGI(a0)

(10)

基礎的存在會對地震波的傳播產(chǎn)生一定程度的影響，從而造成輸入結(jié)構(gòu)的地震動與自由場地震動是不相同的，這種現(xiàn)象稱之為土-結(jié)運動相互作用。基礎的存在一般會對自由場水平地震動不同頻段的傅里葉幅值產(chǎn)生一定的削弱作用，與此同時產(chǎn)生回轉(zhuǎn)地震動。本文使用原田提出的基礎輸入運動的近似公式[7]來考慮土結(jié)動力相互作用問題。水平、回轉(zhuǎn)分量如下所示:

水平分量：

(11)

回轉(zhuǎn)分量：

(12)

(13)

綜上，同時考慮土-結(jié)運動相互作用與慣性相互作用的單自由度黏彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)體系的動力平衡方程如下表示：

(14)

表達式中具體參數(shù)如下所示

IT=mh2+J+J0

式(14)可變換為如下形式

(15)

2 結(jié)構(gòu)體系的等效周期與等效阻尼比

直接求解考慮SSI效應的消能減震結(jié)構(gòu)體系的地震動反應比較繁瑣，若能將原結(jié)構(gòu)體系簡化為在固定基礎上的具有等效周期及阻尼比的單質(zhì)點體系(即將圖1所示結(jié)構(gòu)體系等效為圖3所示結(jié)構(gòu)體系)，則問題不僅將得到大大簡化，結(jié)構(gòu)體系還可在時域中進行等效分析。本節(jié)在以往學者對減震結(jié)構(gòu)及土結(jié)相互作用研究成果的基礎上，提出了能夠考慮SSI效應的消能減震結(jié)構(gòu)體系等效周期及阻尼比的計算方法，并對等效結(jié)果的精度進行了驗證。

圖3 固定基礎等效單自由度體系Fig.3 The equivalent SDOF system on fixed base

首先考慮固定基礎上單質(zhì)點黏彈性阻尼減震體系，其動力方程在頻域中的表達式如下所示

(16)

(17)

(18)

結(jié)合式(14)與(18)，定義如式(17)所示的復頻傳遞函數(shù)

(19)

式中V為上部結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量質(zhì)心處相對與基礎表面的位移的傅里葉變換，Vg為自由場地位移的傅里葉變換。

(20)

體系的等效阻尼比及等效周期可采用共振傳遞函數(shù)[9]得到，其表達式如下所示：

(21)

(22)

為驗證該等效計算方法的精度，對以上過程通過Matlab編程進行數(shù)值檢驗。模型基本參數(shù)為：基礎采用埋置圓形基礎，半徑D=10 m，埋深E=5 m，其阻抗函數(shù)根據(jù)Kausel[10]提出的簡化方法計算求得；上部結(jié)構(gòu)周期T=0.7 s，阻尼比ξ=0.05；土體密度ρ=2000 kg/m3，泊松比ν=0.4, 剪切波速Vs=100 m/s；結(jié)構(gòu)-土體質(zhì)量比δ=15 %(其中δ=m/(ρπD2h)); 阻尼器對固定基礎結(jié)構(gòu)提供的初始附加阻尼比分別取0，5%，10%，15%(可通過模態(tài)應變能方法求得[8])。

圖4～7給出了等效方法與SSI減震體系結(jié)構(gòu)頂部位移響應功率譜的對比情況(地震波采用El-Centro波南北向輸入，加速度峰值0.3g)。圖8及9給出了初始附加阻尼比為分別為5%，15%的等效方法與SSI減震體系計算所得位移時程對比情況

可以看出無論在頻域還是時域中，等效方法與原減震體系的計算結(jié)果均吻合得很好。

圖4 位移響應功率譜對比(無阻尼器)Fig.4 Comparison of displacement PSD(No damper)

圖5 位移響應功率譜對比(5%附加阻尼比)Fig.5 Comparison of displacement PSD(5% additional damping)

圖6 位移響應功率譜對比(10%附加阻尼比) Fig.6 Comparison of displacement PSD(10% additional damping)

圖7 位移響應功率譜對比(15%附加阻尼比)Fig.7 Comparison of displacement PSD(15% additional damping)

圖8 5%附加阻尼比等效體系與SSI減震體系位移時程對比Fig.8 The comparison of displacement time history between equivalent method and SSI system(5% additional damping)

圖9 15%附加阻尼比等效方法與SSI減震體系位移時程對比Fig.9 The comparison of displacement time history between equivalent method and SSI system(15% additional damping)

3 SSI效應對黏彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)影響的參數(shù)化分析

本節(jié)通過第2節(jié)提出的簡化方法參數(shù)化研究了結(jié)構(gòu)高寬比h/D，基礎埋深比E/D，阻尼器提供的附加阻尼比以及土體-結(jié)構(gòu)體剛度比σ=VsT/h(其倒數(shù)形式為α=1/σ)四種參數(shù)對結(jié)構(gòu)體系等效周期及等效阻尼比的影響。所有工況保持結(jié)構(gòu)-土體質(zhì)量比δ=15%不變，結(jié)構(gòu)初始阻尼比ξs=0.05。為考慮動力相互作用對結(jié)構(gòu)體系的影響，分別計算了只考慮慣性相互作用(基礎輸入地震波同自由場)與同時考慮慣性相互作用與運動相互作用結(jié)構(gòu)體系的等效周期及等效阻尼比。

圖10給出了基礎半徑D=10 m，不同參數(shù)下，結(jié)構(gòu)體系等效周期延長率的變化情況。圖中T為結(jié)構(gòu)體系的等效周期，T0為未增設阻尼器的結(jié)構(gòu)在固定基礎上的周期。ξ0表征在固定基礎情況下阻尼器所提供的附加阻尼比(例如：ξ0=5%表征阻尼器提供5%的附加阻尼比)。

圖10 不同參數(shù)對體系等效周期的影響Fig.10 The influence of different parameters on the equivalent period

等效周期在不同參數(shù)影響下的變化規(guī)律可歸納如下：(1)同時考慮土-結(jié)運動相互作用與慣性相互作用與只考慮土-結(jié)慣性相互作用情況下結(jié)構(gòu)的等效周期基本一致，因此在計算結(jié)構(gòu)體系的等效周期時可以忽略運動相互作用, 而只考慮慣性相互作用；(2)隨著基礎埋深的增加，結(jié)構(gòu)體系的等效周期具有一定程度的下降，該趨勢隨著土體的變軟而更加明顯；(3)結(jié)構(gòu)高寬比越大，等效周期越大。

圖11 不同參數(shù)對體系等效周期及等效阻尼比的影響Fig.11 The influence of different parameters on equivalent damping ratio

圖11給出了基礎半徑D=10 m，不同參數(shù)下，結(jié)構(gòu)體系等效阻尼比ξ的變化情況。

等效阻尼比在不同參數(shù)影響下的變化規(guī)律如下：(1)當結(jié)構(gòu)高寬比較小(h/D=1)時，只考慮慣性相互作用與同時考慮慣性相互作用與運動相互作用所計算得出的等效阻尼比具有明顯的差異，這種差異程度隨著基礎埋深的增加與附加阻尼比的增加而更加明顯。而當結(jié)構(gòu)高寬比變大時，運動相互作用的影響可逐漸忽略。(2)基礎的埋深越大，結(jié)構(gòu)體系的等效阻尼比越大。(3)當結(jié)構(gòu)高寬比較小時(h/D=1)，結(jié)構(gòu)體系的等效阻尼比隨土體的變軟而增加，而隨著結(jié)構(gòu)高寬比變大及初始附加阻尼比的提高，結(jié)構(gòu)體系的等效阻尼比下降程度逐漸增加。說明對建在軟土地基上的具有高附加阻尼比的高層減震結(jié)構(gòu)，阻尼器的減震效率同固定基礎的設計目標相比具有很大程度的下降。

4 考慮SSI效應的多質(zhì)點黏彈性減震結(jié)構(gòu)地震反應簡化評估

質(zhì)量及剛度分布較為均為的多自由度框架結(jié)構(gòu)的地震反應通?？傻刃閱钨|(zhì)點結(jié)構(gòu)體系進行分析。其等效質(zhì)量可寫為如下的表達形式[11]

(23)

式中φj1為第一振型第j層分量，mj為第j層質(zhì)量。

等效高度可寫為如下表達形式

(24)

式中Hj為第j層質(zhì)心處相對于基礎上表面高度。

阻尼器布置按層剛度比例分配

(25)

式中Kj為第j層剛度值，p為比例系數(shù)。

單質(zhì)點體系的周期與多質(zhì)點體系一階周期相同，則等效剛度可通過下式計算得出

(26)

單質(zhì)點體系附加阻尼器存儲剛度根據(jù)式(25)中的比例系數(shù)p得到，則考慮SSI效應的多質(zhì)點消能減震結(jié)構(gòu)體系等效為了單質(zhì)點結(jié)構(gòu)體系，從而可通過第2節(jié)提出的簡化方法進行地震反應分析。

5 算例分析

為驗證上述方法的可行性，本節(jié)建立了考慮SSI效應的四層減震框架結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型，基礎采用埋置圓形基礎，基礎半徑D=10 m，埋深E=5 m。土體剪切波速考慮三種情況，Vs=100 m/s，200 m/s, 300 m/s，分別定義為Case1,Case2,Case3,以研究不同土性對計算結(jié)果以及計算精度的影響。土體密度ρ=2000 kg/m3, 泊松比ν=0.4。表1給出了結(jié)構(gòu)及阻尼器的相關參數(shù)。

根據(jù)式(23)及(24)的等效原則，將原結(jié)構(gòu)等效為單自由度體系，其等效質(zhì)量Meq=1.54×106kg,等效高度Heq=11.8 m, 結(jié)構(gòu)第一振型周期為T=0.718 s。按照等剛度比例原則，等效單自由度體系阻尼器的形狀系數(shù)As/d=920 mm。

表1 四層結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 The parameters of four story structure

樓層質(zhì)量/kg剛度/(kN·m-1)樓層高度m形狀系數(shù)(As/d)/mm44.20×1052.05×10816160034.38×1052.40×10812186024.57×1052.75×1088214014.75×1053.10×10842400基礎3.48×105///

等效單自由度體系參數(shù)確定后，通過第2節(jié)提出的等效周期及等效阻尼比計算公式得到結(jié)構(gòu)體系在不同土體情況下的等效周期與等效阻尼比。對Case1, 等效周期Teq=0.728 s，等效阻尼比ξeq=0.161；對Case2，Teq=0.683 s，ξeq=0.158；對Case 3,Teq=0.671 s，ξeq=0.155。

地震輸入采用El-Centro波和Kobe波，加速度峰值均調(diào)整為0.3g。采用Matlab分別計算了原四層減震結(jié)構(gòu)的地震反應和等效單自由度結(jié)構(gòu)的地震反應。

圖12～15給出了等效體系與SSI減震體系在El-Centro波輸入下，頂部加速度及位移地震反應時程的對比情況。圖16～19給出了等效體系與SSI減震體系在Kobe波輸入下，頂部加速度及位移地震反應時程的對比情況。由于篇幅有限，并未列出所有工況的時程對比。

表2給出了所有工況下等效體系與SSI減震體系地震反應峰值的對比情況及其誤差分析。

通過圖表可以看出：采用本文提出的簡化設計方法對于質(zhì)量剛度分布比較均勻的以第一振型為主的框架結(jié)構(gòu)，其計算誤差比較小，具有較高的精度。

表2 地震反應峰值對比和誤差分析

Tab.2 Comparison of the peak seismic responses and error analysis

輸入地震動頂部位移/m基底剪力/kNCase1Case2Case3Case1Case2Case3El-CentroSSI體系0.0630.0580.05278511011410888等效體系0.0650.0560.05082351003310553誤差3.17%3.45%3.85%4.89%0.80%3.08%KobeSSI體系0.0370.0330.029436353865611等效體系0.0350.0340.030463554425752誤差5.41%3.03%3.45%6.23%1.04%2.51%

圖12 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系基底剪力對比(Vs=100 m/s)Fig.12 Comparison of base shear force between equivalent system and the original SSI system(Vs=100 m/s)

圖13 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系基底剪力對比(Vs=300 m/s)Fig.13 Comparison of base shear force between equivalent system and the original system(Vs=300 m/s)

圖14 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系頂部位移對比(Vs=100 m/s)Fig.14 Comparison of top displacement between equivalent system and the original SSI system(Vs=100 m/s)

圖15 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系頂部位移對比(Vs=300 m/s)Fig.15 Comparison of top displacement between equivalent system and the original SSI system(Vs=300 m/s)

圖16 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系基底剪力對比(Vs=100 m/s)Fig.16 Comparison of base shear force between equivalent system and the original SSI system(Vs=100 m/s)

圖17 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系基底剪力對比(Vs=300 m/s)Fig.17 Comparison of base shear force between equivalent system and the original system(Vs=300 m/s)

圖18 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系頂部位移對比(Vs=100 m/s)Fig.18 Comparison of top displacement between equivalent system and the original SSI system(Vs=100 m/s)

圖19 等效體系與原結(jié)構(gòu)體系頂部位移對比(Vs=300 m/s)Fig.19 Comparison of top displacement between equivalent system and the original SSI system(Vs=300 m/s)

6 結(jié)束語

本文通過結(jié)合模態(tài)應變能法與單自由度黏彈性減震結(jié)構(gòu)體系的傳遞函數(shù)，推導出了能夠考慮SSI效應的體系等效周期及等效阻尼比的計算方法，并進行了相應的參數(shù)化分析。通過多質(zhì)點體系的等效方法，將該簡化方法應用到質(zhì)量剛度分布比較均勻的以第一振型為主的減震框架結(jié)構(gòu)體系。算例表明該方法具有一定的精度，對考慮SSI效應的黏彈性減震框架結(jié)構(gòu)的抗震評估具有一定的工程應用價值。

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A simplified design method for structures with viscoelastic dampers
considering soil-structure dynamic interaction effect

ZHAOXue-fei,WANGShu-guang,DUDong-sheng,LIUWei-qing

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 210009, China)

The dynamic equilibrium equation for single-degree-of-freedom (SDOF) structure with viscoelastic dampers considering soil-structure interaction (SSI) effect is firstly established in frequency domain, then the equivalent period and damping are obtained through the combination of modal stain energy (MSE) method and the transfer function of the system. Parametric analysis is also conducted to study the SSI influence on the efficiency of the dampers, the results show that the slenderness ratio of the structure and the initial additional damping have a significant influence on the efficiency of the dampers. The proposed simple method is also used to multi-degree-of-freedom (MDOF) frame energy dissipating structures with relatively uniform mass and stiffness distribution. The numerical results demonstrate that this method has a good accuracy, which has an available application value in the evaluation of energy dissipating structures considering SSI effect.

soil-structure interaction; damping structure; viscoelastic damper; equivalent method

2015-08-23；

2016-05-27

國家自然科學基金重大研究計劃資助項目(90815017)；國家自然科學基金資助項目(51678302，51678301)

TU352.12；TU311.3

：A

1004-4523(2016)06-1079-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.018

趙學斐(1987—)，男，博士研究生。電話：15850573187；E-mail:zhaoxuefeinjut@163.com

王曙光(1972—)，男，教授,博士生導師。電話：13584029545；E-mail:720108@vip.sina.com