唐千升， 李朝峰， 聞邦椿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

帶有支承間隙的壓力管道振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)行為研究①

唐千升， 李朝峰， 聞邦椿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

以現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)和Sanders薄殼理論為基礎(chǔ)，建立了一端帶有支承間隙的壓力管道的非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用Ritz法對(duì)模型進(jìn)行分析。針對(duì)非線性系統(tǒng)的具體特點(diǎn)，通過數(shù)值計(jì)算，得到管壁振動(dòng)的幅頻特性曲線，并研究了支承剛度和支承間隙對(duì)管道動(dòng)力學(xué)特性的影響。結(jié)果表明：一端帶有支承間隙的壓力管道的管壁振動(dòng)幅頻曲線呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。支承間隙和支承剛度對(duì)管壁振動(dòng)響應(yīng)的各次諧波，尤其是低階諧波的共振幅值和共振頻率有著顯著的影響。了解帶有支承間隙的壓力管道振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)行為對(duì)管道的設(shè)計(jì)、安裝和日常維護(hù)檢查工作有著重要的意義。

非線性振動(dòng)； 壓力管道； 間隙模型； 共振頻率； 共振幅值

引 言

離心壓縮機(jī)進(jìn)出口管道振動(dòng)破壞是壓縮機(jī)組振動(dòng)故障的主要表現(xiàn)形式之一，劇烈的管道振動(dòng)會(huì)造成管道管壁、管道與機(jī)器的連接部件發(fā)生疲勞破壞、松動(dòng)、破裂等故障。由于多數(shù)情況下管道內(nèi)處理的是高壓有毒氣體，所以強(qiáng)烈的管道振動(dòng)會(huì)影響壓縮機(jī)組安全運(yùn)行，甚至造成安全事故。因此，對(duì)于管道振動(dòng)的研究有著不可回避的任務(wù)。

在壓縮機(jī)組工作過程中，由于管道管壁的持續(xù)振動(dòng)可能會(huì)造成支承件變形，使得其與管壁間產(chǎn)生間隙、松動(dòng)，從而影響管道的動(dòng)力學(xué)特性，因此有必要對(duì)更貼近實(shí)際工況的非線性支承的管道動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。目前，大多數(shù)非線性約束的研究是基于管道梁模型[1-4]。但是，研究梁模型的運(yùn)動(dòng)僅限于管道的橫向運(yùn)動(dòng)，適用于管長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于管徑的厚壁管道振動(dòng)分析，且其環(huán)向的模數(shù)較小。對(duì)于壓縮機(jī)出口管道，其管長(zhǎng)和管徑之比往往較小，且多為薄壁管道，其振動(dòng)現(xiàn)象更為復(fù)雜，殼模型才能夠更準(zhǔn)確地反映實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)狀況，揭示更多管道梁模型難以解釋的現(xiàn)象。

對(duì)于薄殼模型，學(xué)者們也進(jìn)行了許多研究。曹志遠(yuǎn)[5]系統(tǒng)地介紹了一系列的針對(duì)圓柱殼的分析方法。其他學(xué)者也對(duì)經(jīng)典邊界、彈性邊界和特殊邊界情況下各類圓柱殼振動(dòng)做了許多工作，如劉彥琦[6]考慮不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的內(nèi)力和固有特性。孫述鵬[7]引入彈簧對(duì)一般彈性邊界下旋轉(zhuǎn)圓柱殼進(jìn)行建模，并利用正交多項(xiàng)式法對(duì)其固有特性進(jìn)行了求解分析。A G Shah[8]基于波傳播法對(duì)Pasternak基礎(chǔ)下的多功能梯度圓柱殼進(jìn)行了分析。Liu[9]分析了復(fù)雜激勵(lì)下簡(jiǎn)支圓柱殼非線性動(dòng)力學(xué)特性，分析激振力、幾何缺陷和體分比對(duì)響應(yīng)的影響。在流固耦合領(lǐng)域，張琪昌[10]基于Donnell簡(jiǎn)化殼理論，應(yīng)用多尺度法研究了流體脈動(dòng)激勵(lì)下的薄壁圓柱殼非線性動(dòng)力學(xué)特性。

雖然學(xué)者們?cè)跉つＰ头矫孀隽嗽S多工作，但針對(duì)非線性支承下壓力管道，尤其是對(duì)一端帶有支承間隙的壓力管道的研究尚不多見。本文引入管道圓柱殼模型，針對(duì)工程中管道管夾變形情況，建立了一端帶有支承間隙的壓縮機(jī)出口壓力管道的簡(jiǎn)化模型。利用Ritz法對(duì)模型進(jìn)行分析，通過數(shù)值計(jì)算得到管壁振動(dòng)的幅頻特性曲線。研究了支承剛度和支承間隙對(duì)管道動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 帶有支承間隙壓力管道模型的建立

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型

本文將一段壓縮機(jī)出口壓力管道列為研究對(duì)象，管道一端為焊接(固定支承)，另一端為管夾支承(間隙端)。根據(jù)所取管段的長(zhǎng)徑比較小，徑厚比較大的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可建立壓力管道的薄壁短圓柱殼簡(jiǎn)化模型，因此一端帶有支承間隙的壓力管道動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型如圖1所示。根據(jù)薄殼理論，考慮中曲面上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來表示壓力管道上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在中曲面上任意位置處建立柱面坐標(biāo)系o-xθz。其中x，θ，z分別代表管道的軸向、圓周方向(以下又稱環(huán)向)和徑向，相應(yīng)三個(gè)方向的位移假設(shè)為u，v，w。同時(shí)管壁受到徑向初始均勻分布的氣流壓力q。設(shè)其管道中曲面半徑為R，管道厚度為h，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，材料密度為ρ，彈性模量E，泊松比為μ。

圖1 一端帶有支承間隙的壓力管道動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型Fig.1 The simplified dynamic model of pipe segment with a clearance at one end

引入無質(zhì)量彈簧組來描述管道管夾對(duì)管壁的約束作用，管夾與管道接觸剛度也由彈簧剛度來近似表達(dá)，每組彈簧由4個(gè)彈簧組成，分別約束軸向、環(huán)向、徑向和轉(zhuǎn)向的變形，剛度值分別為ku，kv，kw和kθ。假設(shè)支承間隙為b；當(dāng)管壁振動(dòng)較小時(shí)，管夾與管道管壁相分離，此時(shí)的端部約束失效，彈簧等效剛度為0；當(dāng)管壁振動(dòng)較大時(shí)，管夾與管道管壁相接觸，約束作用有效，等效線性剛度為k。故設(shè)帶有支承間隙壓力管道端等約束效剛度為：

ku,kθ=0，

(1)

1.2 壓力管道振動(dòng)微分方程

在柱面坐標(biāo)系o-xθz中，管道中曲面上任意一點(diǎn)的振動(dòng)速度為

(2)

則管道的動(dòng)能可表示為

(3)

式中ξ為壓力管道無量綱長(zhǎng)度，ξ=x/L。

管道的應(yīng)變勢(shì)能表達(dá)式為

(4)

引入根據(jù)Sanders薄殼理論：

(5)

(6)

其中：

由于管道受到初始均勻分布的氣流壓力作用，從而引起管道受到周向應(yīng)力[11]，則其引起管道變形的勢(shì)能可表示為

(7)

綜合應(yīng)變勢(shì)能和壓力勢(shì)能，則管道總勢(shì)能為

U=Uq+Uε

(8)

由于管道內(nèi)部氣流壓力不均勻度的影響，管道管壁受到徑向沖擊的脈動(dòng)載荷的作用，因此可假設(shè)壓力管道的管壁上某一點(diǎn)(x0，θ0)受到沿管道截面徑向的集中氣流激勵(lì)，則可以表示為

fpz=Fpsin(ωt)

(9)

由1.1分析可知，在有間隙端的管夾對(duì)管道約束是分段線性的非線性力，其約束力可表示為

fsv=kvv|ξ=1;fsw=kw(w|ξ=1-b)

(10)

根據(jù)Ritz和Galerkin離散思想，管壁振動(dòng)位移可以表示為：

u(ξ,θ,t)=UTa

(11a)

v(ξ,θ,t) =VTb

(11b)

w(ξ,θ,t) =WTc

(11c)

式中a，b和c為是與時(shí)間相關(guān)的廣義坐標(biāo)向量；U，V，W是滿足邊界條件約束的振型向量。

將式(11)代入式(3)，(8)和(9)得到動(dòng)能、勢(shì)能和氣流激振力廣義表達(dá)式：

(12)

(14)

其中，δ(x-x0)是狄拉克函數(shù)。

將式(11)代入(10)得到廣義約束力表達(dá)式

(15)

因此管道的動(dòng)能、應(yīng)變勢(shì)能和平均氣流壓力引起的勢(shì)能，脈動(dòng)氣流激勵(lì)以及邊界彈簧約束力，再根據(jù)拉格朗日方程，得到壓力管道振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程

(16)

式中f(q)為廣義彈簧力，為非線性力

f(q)=[0fsv(b)fsz(c)]T

阻尼矩陣C采用瑞利阻尼模型

C=αM+βK

(17)

其中，

式中ω1,ω2分別為第1，2階固有頻率，單位為Hz；ξ1,ξ2分別為對(duì)應(yīng)的第1,2階模態(tài)阻尼比。因此，帶有支承間隙的壓力管道模型是一個(gè)分段線性非線性振動(dòng)微分方程。

2 帶支承間隙壓力管道的非線性特性及參數(shù)影響分析

2.1 帶支承間隙壓力管道的非線性特性

首先，假設(shè)在理想情況下，帶管夾端的管道在工作過程中受線彈性支承，管壁振動(dòng)響應(yīng)幅頻特性響應(yīng)計(jì)算結(jié)果在圖2中表示為“*”?？梢钥匆?，在氣流脈動(dòng)頻率通過管道的固有頻率時(shí)，振幅明顯增大。對(duì)于有支承間隙端的支承剛度按式(1)來表示，在圖2中以“o”表示基諧波幅頻響應(yīng)。結(jié)合圖中曲線發(fā)現(xiàn)，由于支承間隙導(dǎo)致系統(tǒng)剛度成非線性，幅頻曲線出現(xiàn)向右傾斜的硬化現(xiàn)象，共振峰較線彈性支承提前到來，且共振幅值增大。取共振峰值附近A，B，C，D四個(gè)區(qū)域進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)隨氣流脈動(dòng)頻率的增加，硬式非線性現(xiàn)象越來越明顯。并且幅頻特性曲線隨著頻率的連續(xù)變化過程中出現(xiàn)了明顯的跳躍現(xiàn)象，如在脈動(dòng)頻率在750 Hz處發(fā)生明顯的跳躍，這反映了在脈動(dòng)頻率變化過程中，在750 Hz處管壁響應(yīng)點(diǎn)發(fā)生了比附近區(qū)域更大的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，容易造成劇烈的沖擊，從而產(chǎn)生很大的應(yīng)力作用。

圖2 基諧波頻率-幅值響應(yīng)曲線圖Fig.2 A harmonic amplitude-frequency response curve

2.2 支承間隙的影響

從方程(16)可知，支承間隙是壓力管道系統(tǒng)產(chǎn)生非線性現(xiàn)象的原因，不同的支承間隙值下管道系統(tǒng)也將呈現(xiàn)不同的振動(dòng)特性，本節(jié)給出了b=0.2, 0.3和0.4 mm下各次諧波曲線圖，如圖3所示。其中，圖3(a)是管壁振動(dòng)響應(yīng)的一次諧波幅頻特性曲線。由圖中可以看出，不同支承間隙下，系統(tǒng)都表現(xiàn)出明顯的硬式非線性特性?？梢园l(fā)現(xiàn)，支承間隙對(duì)系統(tǒng)共振區(qū)和共振幅值有較大影響。支承間隙越大，系統(tǒng)等效剛度越小，共振區(qū)幅值越大，達(dá)到共振所要求的激振頻率越??；同時(shí)，支承間隙越小，幅頻曲線硬化現(xiàn)象越明顯。由圖3(b)可知，支承間隙對(duì)管壁振動(dòng)響應(yīng)的三次諧波幅頻特性也有著重要的影響。在許多激振頻率附近區(qū)域內(nèi)三次諧波幅值較大，尤其在[600 Hz,800 Hz]區(qū)間內(nèi)，幅值最大。因此在此類激振頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)極有可能發(fā)生三階頻率共振。且在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線軟式非線性明顯，并在最大幅值頻率處發(fā)生跳躍現(xiàn)象。并且，間隙值越大，曲線峰值頻率越小，幅值越大。圖3(c)-(d)表示支承間隙對(duì)5次和7次振動(dòng)諧波幅值的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，高次諧波主要集中出現(xiàn)在低頻區(qū)間段，且間隙值對(duì)各次諧波幅值和頻率影響不大。

2.3 支承剛度的影響

支承剛度是影響管道系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的又一個(gè)重要參數(shù)。圖4表示的是間隙值b=0.3 mm時(shí)不同支承剛度下諧波隨脈動(dòng)頻率的響應(yīng)幅值變化圖。從圖4(a)可以看出，支承剛度對(duì)基諧波共振頻率和共振振幅有較大影響。當(dāng)k=5×108N/m時(shí)，在脈動(dòng)頻率為755 Hz處出現(xiàn)明顯的跳躍現(xiàn)象，隨著剛度值的減小，跳躍現(xiàn)象逐漸不明顯。且隨支承剛度減小，共振頻率也減小，幅頻曲線慢慢回正，硬式非線性現(xiàn)象逐漸減弱，但是響應(yīng)幅值也隨著逐漸增大。由圖4(b)可知，支承剛度對(duì)管壁響應(yīng)的3次諧波響應(yīng)也有著較大的影響。在[400 Hz, 500 Hz] 區(qū)間內(nèi)，支承剛度越大，跳躍現(xiàn)象愈加明顯；在[600 Hz, 850 Hz]區(qū)間內(nèi)支承剛度越大，曲線軟式非線性現(xiàn)象越弱，并且剛度越大，共振幅值和共振頻率也越大。由圖4(c)-(d)可看出，支承剛度對(duì)5次和7次振動(dòng)諧波幅值和共振頻率也有著類似影響，但對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨著諧波次數(shù)的增高，影響效果越來越不明顯。

圖3 不同支承間隙下各次諧波幅頻特性曲線圖Fig.3 Several harmonic amplitude-frequency response curves with different supported clearances

圖4 不同支承剛度下各次諧波幅頻特性曲線圖Fig.4 Several harmonic amplitude-frequency response curves with different supported clearances

3 結(jié) 論

本文建立了一端帶有支承間隙的壓力管道的非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了其在氣流脈動(dòng)載荷沖擊下的非線性振動(dòng)特性，通過管壁振動(dòng)頻幅響應(yīng)特性分析了氣流脈動(dòng)頻率、支承剛度和支承間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，研究結(jié)果如下：

(1)由于支承間隙的存在，導(dǎo)致壓力管道振動(dòng)幅頻曲線呈非線性特征，并伴有明顯的跳躍現(xiàn)象，容易在管壁上產(chǎn)生很大的沖擊從而引起很大的應(yīng)力作用，造成疲勞破壞，減小管壁壽命。管壁振動(dòng)響應(yīng)在一定的激振頻率區(qū)間包含有3次、5次、7次等高階諧波，且幅值很大，因此很可能引起高階頻率共振，進(jìn)一步引起管道破壞。

(2)支承間隙是影響管道振動(dòng)響應(yīng)特性的一個(gè)重要參數(shù)。支承間隙越大，系統(tǒng)等效剛度越小，共振區(qū)幅值越大，達(dá)到共振所要求的激振頻率越小。同時(shí)，支承間隙越小，基諧波幅頻曲線硬化現(xiàn)象越明顯。支承間隙對(duì)3次、5次和7次的共振幅值和共振頻率也有著明顯的影響。但對(duì)響應(yīng)中更高階諧波幅值的影響越來越小。

(3)支承剛度對(duì)共振頻率和共振振幅有較大影響。當(dāng)支承剛度減小時(shí)，基諧波硬式非線性現(xiàn)象逐漸減弱，高次諧波非線性現(xiàn)象逐漸增強(qiáng)。

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Nonlinear vibration of pressure pipe with support clearance at one end

TANGQian-sheng,LIChao-feng,WENBang-chun

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Based on modern nonlinear dynamics and Sanders theory, nonlinear dynamic model of pressure pipe with support clearance was established and the Ritz method is used to analyze the model. And numerical method was applied to get amplitude frequency characteristic curve of the vibration of pipe wall. And the effect of supporting stiffness and support clearance on dynamic behaviors of pipe vibration were studied. Results show that the frequency-amplitude curves show the obvious nonlinear phenomenon. supporting stiffness and support clearance have a great impact on the resonant frequency and resonant amplitude of harmonic response, especially lower harmonic, of pipe vibration. To study on dynamic behavior of pressure pipe with supporting clearance is signification for daily work of designing, installing and maintenance.

nonlinear vibration; pressure pipe; clearance model; resonant frequency; resonant amplitude

2015-11-05；

2016-05-17

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(N140304002，N140301001)；遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015020153)

O322

：A

1004-4523(2016)06-1028-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.011

唐千升(1989—)，男，博士研究生。電話：18202436223； E-mail: qiansh-tang@163.com

李朝峰(1980—)，男，副教授。電話：13514215459； E-mail: chfli@mail.neu.edu.cn