周 晶，張紅芹

(吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院，長春 130118)

Chebyshev多項(xiàng)式及其插值法在函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

周 晶，張紅芹

(吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院，長春 130118)

為了更精確地用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逼近復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本文基于Chebyshev多項(xiàng)式和最小零偏差定理提出了一種應(yīng)用Lagrange插值求復(fù)雜函數(shù)導(dǎo)數(shù)的新方法。我們首先以n+1次Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行Lagrange插值，進(jìn)而用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值逼近被插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。誤差分析和數(shù)值算例表明本文所提出的方法在復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)中取得了良好的效果。

Chebyshev多項(xiàng)式；插值；最小零偏差；函數(shù)求導(dǎo)

0 引言

函數(shù)逼近論是近代數(shù)學(xué)的重要研究方向，其主要思想是用簡單可計(jì)算函數(shù)對(duì)一般復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行近似逼近。一種非常重要的逼近方法就是插值逼近，如代數(shù)多項(xiàng)式插值、三角多項(xiàng)式插值、樣條函數(shù)插值等，而且計(jì)算數(shù)學(xué)的其他理論如數(shù)值微分、數(shù)值積分等都是以插值理論作為基礎(chǔ)展開研究的[1-2]。

目前關(guān)于對(duì)原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的逼近問題，通常采用樣條插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近。但由于Lagrange插值或Newton插值可能出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，因此應(yīng)用一般的Lagrange或Newton插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逼近原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)收斂性的問題。而Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)插值方法可以克服Runge現(xiàn)象，并可對(duì)任意變化的函數(shù)得到更高精度的近似[1-2]。本文給出一種應(yīng)用Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值函數(shù)求導(dǎo)逼近原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，研究表明應(yīng)用此方法可以得到原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最佳一致逼近多項(xiàng)式。

1 Lagrange插值與Chebyshev多項(xiàng)式[2-7]

1.1 Lagrange插值

插值多項(xiàng)式為

余項(xiàng)為

其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

1.2 Chebyshev多項(xiàng)式

Chebyshev多項(xiàng)式是一類特殊的n次代數(shù)多項(xiàng)式，由于其零點(diǎn)(通常稱為Chebyshev節(jié)點(diǎn))用于多項(xiàng)式插值時(shí)，相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能夠最大限度的降低龍格現(xiàn)象，因此切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近理論中有著非常重要的應(yīng)用。

定義(Chebyshev多項(xiàng)式)設(shè)x是區(qū)間[-1,1]上的任意實(shí)數(shù)，n∈N，則稱多項(xiàng)式

Tn(x)=cos(narccosx)，為n階Chebyshev多項(xiàng)式。

由方程易得n+1階切比雪夫多項(xiàng)式的n+1個(gè)零點(diǎn)為：

引理[7](最小零偏差定理)設(shè)x0,x1,…,xn是Chebyshev多項(xiàng)式Tn+1(x)的n+1個(gè)根，記ωn+1(x)為

設(shè)f(x)∈Cn[-1,1]為被插值函數(shù)，則根據(jù)最小零偏差定理，其插值節(jié)點(diǎn)選為切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí)所得插值函數(shù)最佳一致逼近函數(shù)f(x)。

2 誤差分析

我們應(yīng)用Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，用Lagrange插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逼近原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并給出了誤差分析。

|Rn′(x)|

證明：當(dāng)x=xi時(shí)，有：

當(dāng)x≠xi時(shí)，有：

證明已知插值區(qū)間為[a,b]，為了應(yīng)用Chebyshev多項(xiàng)式插值法，需通過簡單變換歸一化到區(qū)間[-1,1]。因此作變換如下，設(shè)：

x∈[a,b],z∈[-1,1]。則

ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)

因此，Chebyshev多項(xiàng)式Tn+1(z)的零點(diǎn)為：

則相應(yīng)多項(xiàng)式Tn+1(x)的零點(diǎn)為：

將xj(j=0,1,…,n)作為插值節(jié)點(diǎn),可得誤差為：

3 數(shù)值算例

P6(x)=-7.6389x6+8.6749x5+4.7438x4-5.681x3-0.7876x2-0.8364x+1.0666。

相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為：

P6′(x)=-45.8334x5+43.3745x4+18.0752x3-17.043x2-1.5752x-0.8364。

綜上可知，Chebyshev多項(xiàng)式在插值函數(shù)的求導(dǎo)中是非常適用的，并且對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)可以更加容易的得出結(jié)果。

[1] 王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2] 李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.

[3] 肖蒙,李軍.切比雪夫多項(xiàng)式及其插值法在檢測中的應(yīng)用研究[J].自動(dòng)化與儀器儀表,2006(3):13-16.

[4] 徐曉芳,蔡靜.切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值與非線性方程求根[J].湖州師范學(xué)院報(bào),2016,38(2)：1-5.

[5] 化小會(huì),張秋生.切比雪夫多項(xiàng)式在代數(shù)信號(hào)處理中的應(yīng)用[J].西南師范大學(xué)報(bào),2016,41(5)：108-114.

[6] 尤文堅(jiān),梁兵,李萌軍.基于切比雪夫算法傳感器特性參數(shù)擬合系統(tǒng)[J].傳感器及非電量檢測技術(shù),2013,36(2)：92-107.

[7] 王倩,阿不都熱西提·阿不都外力.用最小零偏差定理逼近多項(xiàng)式函數(shù)的低次公式及其Matlab程序設(shè)計(jì)[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào),2005,23(2)：140-142.

責(zé)任編輯：程艷艷

Application of Chebyshev Polynomial and Its Interpolation Method in Function Derivative

ZHOU Jing, ZHANG Hongqin

(College of Information Technology, Jilin Agricultural University, Changchun 130118, China)

In order to accurately make the approximation of interpolation function derivative to complex function derivative, this paper presents a new solution to complex function derivation by Lagrange interpolation based on Chebyshev polynomial and minimum zero deviation. We take the zero point of Chebyshev polynomial with n+1 degree as the interpolation node to make Lagrange interpolation, and then use the derivative value of interpolation function to approximate the derivative value of primitive function. The error analysis and numerical example show that the method presented in this paper achieves a better effect in complex function derivation.

Chebyshev polynomial; interpolation; minimum zero deviation; function derivation

2016-07-16

吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(2015043)

周晶(1980-)，女，吉林德惠人，講師，碩士，主要從事從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面研究；張紅芹(1971-)，女，河北定縣人，回族，講師，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)方面研究。

O241

A

1009-3907(2016)12-0056-03