彭亞發(fā)

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，浙江 東陽(yáng) 322100）

“月上柳梢頭”的時(shí)間預(yù)測(cè)模型與求解

彭亞發(fā)

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，浙江 東陽(yáng) 322100）

定義“月上柳梢頭”為月亮對(duì)觀察者的仰角大于10°，“黃昏”時(shí)刻為太陽(yáng)的邊緣與地平線相切的時(shí)刻，“黃昏后”3 h為可“約”時(shí)間。建立“月上柳梢頭”時(shí)間預(yù)測(cè)模型，求解得到太陽(yáng)位置與月亮對(duì)觀察者的仰角隨時(shí)間變化的關(guān)系；借助已有的天文資料，采用計(jì)算機(jī)仿真求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間。仿真結(jié)果表明，該模型能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)發(fā)生時(shí)間。

數(shù)學(xué)模型；計(jì)算機(jī)仿真；天文學(xué)；高度角

0 引 言

“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋詩(shī)人歐陽(yáng)修描述的佳人相約情景，“月上柳梢頭”自古以來(lái)也是一種奇特的天文景觀。地球、月球和太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)紛繁復(fù)雜，因而要預(yù)知某個(gè)城市發(fā)生這種天文現(xiàn)象的準(zhǔn)確時(shí)間非常困難。針對(duì)“月上柳梢頭”的時(shí)間預(yù)測(cè)，國(guó)內(nèi)學(xué)者開(kāi)展了諸多研究。如薛毅就“月上柳梢頭”的天文現(xiàn)象提出三種模型：模型1假定黃赤交角和黃白交角均為0°，模型2假定黃白交角為0°，模型3假定天體作圓周運(yùn)動(dòng)，最終利用三種模型假設(shè)對(duì)比計(jì)算求解的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)[1]；李波等利用Mathematica軟件編程計(jì)算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型，Mathematica強(qiáng)大的日期函數(shù)處理功能，使輸出結(jié)果可讀性較強(qiáng)[2]。本文借助數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型求解得到太陽(yáng)的位置與月亮對(duì)觀察者的仰角隨時(shí)間變化的關(guān)系，最后利用挖掘的天文資料數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，以期精確預(yù)測(cè)“月上柳梢頭”發(fā)生的時(shí)間和地點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)建模與仿真技術(shù)和天文學(xué)知識(shí)的融合創(chuàng)新。

1 “月上柳梢頭”的相關(guān)問(wèn)題

以月亮在空中與觀察者構(gòu)成的角度進(jìn)行推理，“月上柳梢頭”是指觀察者與月亮的仰角大于10°時(shí)的天文現(xiàn)象，即當(dāng)月亮相對(duì)觀察者的高度角（仰角）大于10°時(shí)可實(shí)現(xiàn)“月上柳梢頭”?？梢?jiàn)，最終需要推導(dǎo)出月亮與觀察者的高度角隨時(shí)間變化的關(guān)系，即求解月亮相對(duì)觀察者的高度角大于10°的這一特定時(shí)刻。同時(shí)將傍晚太陽(yáng)上邊緣和地平線相切的時(shí)刻定義為日沒(méi)時(shí)刻，即“黃昏后”的時(shí)刻。在定義黃昏時(shí)刻后，還需要對(duì)“約”的時(shí)間加以限制，結(jié)合日沒(méi)時(shí)刻之后夜幕降臨，進(jìn)入深夜就不適合相“約”的現(xiàn)實(shí)，約定自黃昏時(shí)刻起后3h為約會(huì)時(shí)間。接著對(duì)任意時(shí)刻太陽(yáng)和月亮位置的計(jì)算進(jìn)行改進(jìn)，同時(shí)加入攝動(dòng)量和觀測(cè)地點(diǎn)的海拔，以最終提高模型精度。根據(jù)相關(guān)天文學(xué)資料分析，在農(nóng)歷每月初一新月時(shí)，月亮和太陽(yáng)同時(shí)升起，每過(guò)一天，月亮升起時(shí)間晚52min；到了農(nóng)歷每月十五，月亮在太陽(yáng)落下時(shí)升起，隨后同樣是每過(guò)一天，月亮出來(lái)晚52min。因此，為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)“月上柳梢頭”的發(fā)生時(shí)間，先將公歷時(shí)間轉(zhuǎn)換為農(nóng)歷時(shí)間，如果農(nóng)歷時(shí)間小于農(nóng)歷十五，則直接舍去；對(duì)于剩余日期分別計(jì)算日沒(méi)時(shí)刻，并判斷“月上柳梢頭”的時(shí)刻是否在日沒(méi)時(shí)刻之后3h以?xún)?nèi)。通過(guò)該方法可充分剔除與“月上柳梢頭”不相關(guān)的時(shí)間段，減少計(jì)算量，同時(shí)大大提高模型的精度。

2 模型的建立與求解

為精確求解“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”天文現(xiàn)象出現(xiàn)的具體時(shí)間，先定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度，再定義“人約黃昏后”的具體時(shí)間?！霸律狭翌^”描述的是月亮的位置，“人約黃昏后”描述的是太陽(yáng)的位置。

2.1 求解月球經(jīng)度和緯度攝動(dòng)

設(shè)LunarPLon為經(jīng)度攝動(dòng)量，LunarPLat為緯度攝動(dòng)量，則有：

同時(shí)距離攝動(dòng)LunarPDist為：

其中，M為月球的異常度，當(dāng)時(shí)間給定后，該值為常量；DMoon為月球距離太陽(yáng)的平均角距離；MSun為太陽(yáng)的異常度，當(dāng)時(shí)間給定后，該值為常量；常量FMoon為月球的升交角矩。

設(shè)偏近點(diǎn)的近似估算E為：

E=M+esin(M)(1+ecos(M))

其中e=0.054900。

設(shè)a為地球赤道的平均半徑，計(jì)算在直角坐標(biāo)系中月球軌道參數(shù)為：

利用上述參數(shù)得到月球與地球之間的距離r及真近點(diǎn)角v：

至此可求出月球在橢圓坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

其中，N,i,w為月球軌道參數(shù)，i為傾斜度，w為近點(diǎn)角。將笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)，設(shè)eLon,eLat, eDist分別為xeclip,yeclip,zeclip對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)，考慮攝動(dòng)時(shí)，eLon,eLat,eDist的值被更新為：

將上述球面坐標(biāo)系再進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得到對(duì)應(yīng)月球在笛卡爾坐標(biāo)系中的位置，仍記為xeclip,yeclip, zeclip。至此，通過(guò)充分借助攝動(dòng)量這一關(guān)鍵元素對(duì)月球的位置進(jìn)行了重新計(jì)算[3]。

2.2 考慮觀測(cè)點(diǎn)海拔的月球位置計(jì)算

通過(guò)參考天文學(xué)相關(guān)資料可知，在相同經(jīng)緯度情況下，在海拔高處進(jìn)行觀測(cè)是先看到日出，而后看到日落，即海拔高處晝略長(zhǎng)。同理，對(duì)月球的觀測(cè)情形也類(lèi)似。因此，利用以上天文現(xiàn)象可將觀測(cè)點(diǎn)的海拔納入影響月球位置觀測(cè)的原因之一[4]。

設(shè)(eLon,eLat)為觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)緯度，Alt為觀測(cè)點(diǎn)的海拔高度。因此，可用該點(diǎn)的經(jīng)緯度和海拔高度作為該觀測(cè)點(diǎn)的球面坐標(biāo)，設(shè)該點(diǎn)球面坐標(biāo)為(Lon,Lat,Alt+ EarthRadEq)，其中EarthRadEq為地球赤道半徑。對(duì)應(yīng)笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xel, yel, zel)，而(Lon,Lat, Alt)對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)為(Xsl, ysl, zsl)。

若令Obl=23.439291-1.30042×10-2T-1.6×10-7T2+ 5.04×10-7T3，其中T表示儒略世紀(jì)數(shù)，記為：以海平面為基準(zhǔn)時(shí)坐標(biāo)直接的夾角為：

其中

同理，可得到在特定高度時(shí)坐標(biāo)之間的夾角為：

記。笛卡爾坐標(biāo)(sol1,sol2,sol3)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為(RA,δ)。由此可得到(Lon,Lat,Alt+EarthRadEq)的位置，月球相對(duì)于觀測(cè)者的高度角和方位角為：

其中HA為時(shí)角。

至此，在計(jì)算月亮相對(duì)于觀測(cè)點(diǎn)的位置時(shí)加入了攝動(dòng)量及觀測(cè)點(diǎn)的海拔。對(duì)于求解日沒(méi)時(shí)刻所涉及的太陽(yáng)位置，采用同樣的方法也可加入攝動(dòng)量及觀測(cè)點(diǎn)的海拔信息。

2.3 求解

根據(jù)我國(guó)部分城市的經(jīng)度、緯度及海拔信息（見(jiàn)表1），求解北京市“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間。

在農(nóng)歷每月初一新月時(shí)，月亮和太陽(yáng)同時(shí)升起；然后每過(guò)一天，月亮升起時(shí)間晚52min；到了農(nóng)歷每月十五，月亮在太陽(yáng)落下時(shí)升起；然后同樣是每過(guò)一天，月亮出來(lái)晚52min。究其原因是，月亮每月（29.5天）要向東公轉(zhuǎn)360°，平均每天東移58°，而新月時(shí)日月在同一直線，每天偏東58°，每天就比太陽(yáng)晚出來(lái)50多m i n。因此，根據(jù)月亮與太陽(yáng)在特定時(shí)間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間，如圖1所示。

表1 我國(guó)部分城市的經(jīng)度、緯度及海拔信息

圖1 求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間的流程

至此，通過(guò)以上求解流程可計(jì)算得到北京市2016年“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間（見(jiàn)表2）。

由表2可知，2016年北京市11個(gè)月都會(huì)出現(xiàn)一次“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情形，但12月沒(méi)有符合要求的時(shí)間。通過(guò)仿真求解發(fā)現(xiàn)，黃昏時(shí)刻為16：48，而“月上柳梢頭”的時(shí)刻為20：53，已不在“約會(huì)”的3h內(nèi)。同理，通過(guò)以上方法可預(yù)測(cè)得到其它城市2016年“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間[5]。

通過(guò)求解月球經(jīng)度、緯度攝動(dòng)及考慮觀測(cè)點(diǎn)海拔的月球位置，建立模型與仿真求解。仿真結(jié)果表明，當(dāng)月亮對(duì)觀察者的高度角大于1 0°時(shí)可實(shí)現(xiàn)“月上柳梢頭”。因此，最終推導(dǎo)出月亮對(duì)觀察者的高度角隨時(shí)間變化的關(guān)系。同時(shí)，對(duì)任意時(shí)刻太陽(yáng)和月亮位置的計(jì)算進(jìn)行改進(jìn)，加入攝動(dòng)量和觀測(cè)點(diǎn)的海拔，可提高模型精度。根據(jù)客觀規(guī)律，剔除了一些幾乎不可能同時(shí)出現(xiàn)“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情況，對(duì)于剩余日期分別計(jì)算日沒(méi)時(shí)刻，并判斷“月上柳梢頭”的時(shí)刻是否在日沒(méi)時(shí)刻之后3 h以?xún)?nèi)。

表2 2016年北京市“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用攝動(dòng)量和所建立的數(shù)學(xué)模型更加準(zhǔn)確地描述了月亮與太陽(yáng)的位置，進(jìn)而可更加準(zhǔn)確求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)刻。該模型算法直觀，易于計(jì)算機(jī)編程仿真實(shí)現(xiàn)，并且能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)發(fā)生時(shí)間。由于數(shù)學(xué)模型的建立與求解最終都是為了更好地讓人們了解大自然的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同時(shí)為人們的生產(chǎn)生活提供更好的服務(wù)，因而下一步研究將借助該模型的相關(guān)算法應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)生活中，從而實(shí)現(xiàn)該模型的應(yīng)用和推廣價(jià)值。

[1]薛毅.“月上柳梢頭”問(wèn)題解析[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2015，4(4):50-60.

[2]李波，王妍婷，常星星.對(duì)“月上柳梢頭”的數(shù)學(xué)模型分析[J].湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，28(6):108-110.

[3]SCHLYTER P.Computing Planetary Positions-a Tutorial with Worked Examples[EB/OL].（2015-09-12）[2016-05-20]. http://stjarnhimlen.se/comp/tutorial.html.

[4]SCHLYTER P.How to Compute Rise/set Times and Altitude above Horizon[EB/OL].（2015-09-12）[2016-05-20]. http://www.stjarnhimlen.se/comp/riset.html#2.

[5]萬(wàn)永革，莊獻(xiàn)華.防專(zhuān)校園太陽(yáng)高度及升降方位的計(jì)算[J].防災(zāi)技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2003，5(1):1-9.

[責(zé)任編輯：王瑋明]

Time Prediction Model and Solution about “the Moon Rose above the Willow Tree”

PENG Yafa
(Information and Control Engineering Institute, Zhejiang Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang, 322100, China)

“The moon rose above the willow tree” is defined as the moon holds an elevation of more than 10 degrees to the observer. “Dusk” means the moment when the edge of the sun touches the horizon. Three hours after the dusk is the right time to have a date. By making the time predicting model for “the moon rose above the willow tree”, the research has demonstrated the relation between the location of the sun and the elevation of the moon changes with time for the observer. The study tries to use computer simulation to work out the date and time for “the moon rose above the willow tree, and after dusk he had a tryst with me” by referring to the available astronomic materials. The simulation result indicates that this model can predict the exact time.

Mathematical model; Computer simulation;Astronomy; Elevation angle

O242.1

A

1671-4326(2016)04-0062-04

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.086

2016-06-06

彭亞發(fā)（1979—），男，江西吉安人，浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息與控制工程學(xué)院副教授，碩士.