王志蘭

（山西大學(xué)電力工程系，太原,030013）

分?jǐn)?shù)階電路階躍響應(yīng)特性研究

王志蘭

（山西大學(xué)電力工程系，太原,030013）

針對分?jǐn)?shù)階動態(tài)電路，基于分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解，研究0~2階分?jǐn)?shù)階動態(tài)電路的階躍響應(yīng)。利用MATLAB軟件，得到不同階次分?jǐn)?shù)階電路的階躍響應(yīng)曲線，并與整數(shù)一階電路和二階電路的階躍響應(yīng)作了對比研究，為今后分?jǐn)?shù)階電路的研究奠定了基礎(chǔ)。

分?jǐn)?shù)階電路；解析解；階躍響應(yīng)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分是指階次為分?jǐn)?shù)的微積分，當(dāng)階次為整數(shù)時，等同于常規(guī)定義下的微積分運算。學(xué)者們認(rèn)為，當(dāng)前對電容和電感的整數(shù)階物理描述是理想模型，分?jǐn)?shù)階的描述才是更真實的，本文將基于分?jǐn)?shù)階來研究動態(tài)電路的響應(yīng)。

求解分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，解析算法有拉氏變換法和傅里葉變換法，數(shù)值算法有Zhang and Shimizu法，L-1法和池田法等。數(shù)值算法雖然編程簡單，但計算精度取決于時間步長，若時間步長太小，計算時間過長。本文采用解析算法，精度較高，且所選系統(tǒng)為兩項分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，大大降低了解析算法公式的復(fù)雜度。

1 兩項分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解

初值為零的兩項分?jǐn)?shù)階微分方程為：

根據(jù)Podlubny的理論[4]和文獻[5]和[6]對兩項分?jǐn)?shù)階微分方程的研究，給出上式的解析解：

2 分?jǐn)?shù)階動態(tài)電路

2.1 含一個分?jǐn)?shù)階元件的動態(tài)電路

以RC串聯(lián)電路為例，研究分?jǐn)?shù)階電抗的階躍響應(yīng)。設(shè)分?jǐn)?shù)階電容的階次為α∈(0,1)，以uc(t)為待求量，對應(yīng)的微分方程為：

設(shè)電容初始儲能為零，即uc(0-)=0；為簡化方程，令R=1Ω，C=1F，當(dāng)u(t)=時，利用MATLAB編程仿真，求得不同時電容電壓的單位階躍響應(yīng)，如圖1。α=1時為整數(shù)階電路。

由仿真結(jié)果可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階電容階次的增大，穩(wěn)定輸出增大，響應(yīng)時間也增大。階次低于1時，響應(yīng)曲線未出現(xiàn)振蕩，與一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線走向一致，但穩(wěn)定輸出小于1。

圖1 不同階次分?jǐn)?shù)階動態(tài)電路的單位階躍響應(yīng)

圖2 階次為1-2階電路的階躍響應(yīng)

2.2 含兩個分?jǐn)?shù)階元件的動態(tài)電路

用分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容元件并聯(lián)形成含兩個分?jǐn)?shù)階元件的動態(tài)電路，電容和電感的階次分別為

α∈(0,1)和β∈(0,1)。以iL(t)為待求量，對應(yīng)的方程為：

求解上式，得到不同階次的分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容組成的無阻尼電路的單位階躍響應(yīng)，α+β＜1時同上分析，只分析α+β＞1的情況，結(jié)果如圖2。

可以看出，當(dāng)階次大于1時，階躍響應(yīng)開始出現(xiàn)振蕩，且隨著階次增大，振蕩加劇，直至2階系統(tǒng)的等幅振蕩階躍響應(yīng)；同時，階次增大，達到穩(wěn)態(tài)的時間變長，最大超調(diào)量變大。

3 結(jié)論

本文從拉氏變換的角度給出了分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解，分析了階次在0-2之間的分?jǐn)?shù)階電路的單位階躍響應(yīng)，與傳統(tǒng)整數(shù)階電路作了對比研究。研究表明分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可取得比整數(shù)階系統(tǒng)更靈活的響應(yīng)輸出和響應(yīng)時間，可利用分?jǐn)?shù)階元件實現(xiàn)對整數(shù)階系統(tǒng)的改進。

[1]周激流，蒲亦非，廖科．分?jǐn)?shù)階微積分原理及其在現(xiàn)代信號分析與處理中的應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，2010．

[2]汪紀(jì)鋒.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制性能分析[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2010．

[3]王振濱，曹廣益．分?jǐn)?shù)階動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)值算法[J]．系統(tǒng)仿真學(xué)報，2004，16(3)：477-479，484．

[4]Podlubny I．Fractional Differential Equations[M]．San Diego：Academic Press，1999．

[5]王學(xué)彬．兩項分?jǐn)?shù)階微分方程在控制系統(tǒng)的應(yīng)用[J]．南平師專學(xué)報，2005，24(2)：16-19．

[6]Yizheng Hu，Yong Luo，Zhengyi Lu．Analytical solution of the linear fractional differential equation by Adomian decomposition method[J]．Computational and Applied Methematics，2008，215(1)：220-229．

Research on the Step Response Characteristics of Fractional Order Circuit

Wang Zhilan
(Department of Power Engineering,Shanxi University,Taiyuan,030013,China)

Based on the analytic solution of fractional differential equations,the paper investigates the step responses of fractional circuit with the order between zero and two.The simulation results are compared with the step responses of integer order circuit.This paper lays the foundation for the future research of the fractional order circuit.

fractional circuit;analytic solution;step response