張壯，王謙，趙現(xiàn)朝，高峰

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

基于非線性PID的冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)控制

張壯，王謙，趙現(xiàn)朝，高峰

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

摘要：冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是一個(gè)具有容錯(cuò)、低速輸出的特殊機(jī)構(gòu)。闡述了冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的工作原理，對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。在進(jìn)行無刷直流伺服電機(jī)和絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)建模后，建立了冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的全閉環(huán)數(shù)學(xué)模型。在介紹線性PID基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了應(yīng)用于該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的非線性PID控制器。對該冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了頻響試驗(yàn)，驗(yàn)證了非線性PID控制器的合理可行。

關(guān)鍵詞：冗余驅(qū)動(dòng)；伺服電機(jī)；非線性PID

Redundant Drive Mechanism Control Based on Nonlinear PID Controller

ZHANG Zhuang， WANG Qian， ZHAO Xianchao，GAO Feng

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:The redundant drive mechanism is a special mechanism wich the fault-tolerance and stable low export. This article elaborates its working principle and does the kinematic analysis. After the brushless DC moter and the screw drive modelling, it establishes the close-loop control model of the redundant drive and based on the linear-PID, designs a nonlinear-PID, then its feasibility is proved through the frequency response test.

Keywords:redundant drive; servo motor; nonlinear PID

0引言

冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是指輸入驅(qū)動(dòng)構(gòu)件數(shù)多于輸出構(gòu)件數(shù)的機(jī)構(gòu)。由于冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的輸入構(gòu)件較多，與一般驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)相比，該類機(jī)構(gòu)有很強(qiáng)的容錯(cuò)性和差速性。

國內(nèi)外許多學(xué)者對多冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究。P.Choudhury和A.Ghosal研究得出通過增加冗余驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和支鏈，可以減少并聯(lián)機(jī)器人工作空間的奇異區(qū)域[1]。上海交通大學(xué)高峰教授把冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)用到了重型操作機(jī)和地震模擬器中。

對于冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的控制，傳統(tǒng)的線性PID控制效果已經(jīng)遠(yuǎn)不能達(dá)到人們的要求。為了提高機(jī)構(gòu)的軌跡跟蹤特性，提出了各種算法。Nguyen[2]等提出了自適應(yīng)PID控制算法，實(shí)現(xiàn)了6自由度并聯(lián)機(jī)器人的高精度軌跡跟蹤。合肥工業(yè)大學(xué)徐海青博士提出了基于前饋的非線性PID控制方法，取得了很好的控制效果

文中首先對冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行原理介紹和機(jī)電控制系統(tǒng)建模，提出了非線性PID控制器設(shè)計(jì)。然后對該控制系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)，試驗(yàn)驗(yàn)證了非線性PID控制器的合理和可行。

1冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)

如圖1所示，雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是由2組絲杠、2個(gè)齒輪和2臺(tái)電機(jī)組成。其中，每個(gè)絲杠螺母的內(nèi)圈與絲杠形成螺旋副，絲杠螺母的外圈固聯(lián)齒輪。其工作原理：當(dāng)2臺(tái)電機(jī)輸出相同速度時(shí)，2組絲杠轉(zhuǎn)速相同，齒輪無轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊輸出速度等效于單臺(tái)電機(jī)輸出效果；當(dāng)2臺(tái)電機(jī)輸出速度不同時(shí)，2組絲杠輸出速度不同，2個(gè)齒輪發(fā)生嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)。調(diào)節(jié)2組絲杠與螺母的轉(zhuǎn)速差，實(shí)現(xiàn)2組絲杠與螺母轉(zhuǎn)速差相同，最終實(shí)現(xiàn)同步輸出。

圖1　冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)示意圖

在冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)中2組絲杠旋向相反，在此定義兩導(dǎo)程P1、P2為矢量單位，左旋為正，右旋為負(fù)。由圖1可知，滑塊的速度和2個(gè)齒輪的軸向速度是相同的，即滑塊的速度：

ν=ν1=ν2

齒輪副中的2個(gè)齒輪轉(zhuǎn)速相同，即：

ω1'=ω2'

由螺旋副可知：

(1)

(2)

其中，n1、n2代表絲杠的頭數(shù)。

聯(lián)立式(1)和式(2)，可得：

當(dāng)Z1=Z2、n1=n1=1、P1=-P2=P(符號代表方向)時(shí)，則：

由此可知，滑塊的最終速度與雙驅(qū)動(dòng)的輸出轉(zhuǎn)速差成正比，這種特性有兩種好處：1) 2臺(tái)電機(jī)在不變向時(shí)便能改變滑塊速度，且能夠在每個(gè)電機(jī)穩(wěn)定輸出范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)滑塊的低速輸出。2)2臺(tái)電機(jī)中的一個(gè)出現(xiàn)故障時(shí)，不會(huì)影響驅(qū)動(dòng)端速度的輸出，具有明顯的容錯(cuò)性能。

2雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)機(jī)電建模

2.1無刷直流伺服電機(jī)建模

無刷直流伺服電動(dòng)機(jī)，其模型可由下面3個(gè)方程表達(dá)：

電樞回路電壓平衡方程為：

(3)

式中，ua(t)為電樞電壓，La和Ra分別為電樞電路的電感和電阻；ia為電樞電壓所產(chǎn)生的電樞電流；Ea為電樞電勢，Ea=ke×ω(t)，ke為反電勢系數(shù)，ω(t)為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

Mm(t)=kmia(t)

(4)

式中，Mm(t)為電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩；km為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程(忽略摩擦等因素)為：

(5)

式中，Jm為電機(jī)和負(fù)載折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。聯(lián)立式(3)、式(4)和式(5)得無刷直流伺服電機(jī)模型傳遞函數(shù)框圖如圖2所示。

圖2　無刷直流伺服電機(jī)數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)框圖

處理可得電機(jī)的傳遞函數(shù)為：

2.2絲杠傳動(dòng)建模[3]

當(dāng)僅考慮慣性負(fù)載時(shí)，作用在電機(jī)軸的轉(zhuǎn)矩滿足如下動(dòng)力學(xué)方程

(6)

(7)

其中：mg為螺母質(zhì)量，mc為絲杠質(zhì)量，p為滾珠絲杠的導(dǎo)程，μ為滾動(dòng)導(dǎo)軌的摩擦系數(shù)，Ic為電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

且有電機(jī)絲杠轉(zhuǎn)速θL與絲杠螺母傳動(dòng)輸出速度υL的關(guān)系：

則聯(lián)立式(6)與式(7)整理后得：

(8)

考慮到機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度的影響，有：

Tr=KL(θr-θL)

(9)

其中，KL為絲杠的扭轉(zhuǎn)剛度。

聯(lián)立式(8)和式(9)可以得出機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的方框圖，如圖3所示。從而可以得到機(jī)械系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(10)

圖3　機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)控制框圖

2.3雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)全閉環(huán)建模

由無刷直流電機(jī)模型與絲杠傳動(dòng)模型聯(lián)立就可以得到閉環(huán)電機(jī)絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的模型，如圖4所示。其中，當(dāng)閉環(huán)的位置反饋是由光柵尺測量得到的，所得到的模型就是位置全閉環(huán)模型。

冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的控制系統(tǒng)模型，是由2個(gè)單電機(jī)絲杠模型組合而成，如圖5所示。該模型的末端實(shí)際位置Ps是由光柵尺測量而得到的。

假設(shè)冗余驅(qū)動(dòng)控制模型位置環(huán)算出速度為υ，2臺(tái)電機(jī)工作時(shí)的基速度為υ0，2臺(tái)電機(jī)的轉(zhuǎn)速分別為υ1和υ2。由冗余驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)可以知道該機(jī)構(gòu)模型中的速度差分算法為：

υ1=υ0+υ

υ2=υ0-υ

圖5模型中的雙驅(qū)動(dòng)輸出滑塊模塊速度與2組絲杠傳動(dòng)模型得到的速度差成正比。

圖5　冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)控制系統(tǒng)方框圖

3非線性PID控制器設(shè)計(jì)[4-5]

線性PID控制器的控制規(guī)律為：

其中，Kp為比例系數(shù)，Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)。

線性PID在對于低階和簡單模型的控制方面發(fā)揮很大作用。但是存在著系統(tǒng)的快速響應(yīng)與超調(diào)量相矛盾的缺點(diǎn)，對于高階系統(tǒng)和時(shí)延系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)控制效果不佳。

要想擺脫線性PID的固有缺點(diǎn)，需要深入了解控制系統(tǒng)的本質(zhì)，設(shè)計(jì)出一些典型模塊來構(gòu)成控制器。非線性PID控制的思想在于，當(dāng)誤差超過設(shè)定的閥值時(shí)，控制器的輸出為非線性指數(shù)形式，以增加控制量；當(dāng)誤差小于設(shè)定的閥值時(shí)，控制器的輸出為線性形式，以減小控制量。

先介紹跟蹤-微分器，如圖6所示，把參考輸入v(t)送入跟蹤-微分器Ⅰ，提取兩個(gè)信號Z11(t)和Z12(t)，Z11(t)跟蹤v(t)；把被調(diào)量y(t)送入跟蹤-微分器Ⅱ，提取兩個(gè)信號Z21(t)和Z22(t)，Z21(t)跟蹤y(t)。

圖6　非線性PID控制器框圖

給出非線性PID控制器構(gòu)造中需要用到的兩個(gè)函數(shù)為：

根據(jù)跟蹤-微分器可給出非線性PID控制器的具體形式為：

4試驗(yàn)結(jié)果分析

頻響實(shí)驗(yàn)指給系統(tǒng)一定頻率的正弦輸入信號，觀察系統(tǒng)跟隨該輸入的情況。頻響結(jié)果能夠直接反應(yīng)系統(tǒng)的跟隨特性。越高的頻響特性，系統(tǒng)的跟隨性能越好。課題中對雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行8Hz、12Hz和15Hz的頻響實(shí)驗(yàn)。每種頻響試驗(yàn)又分為空載頻響和負(fù)載頻響試驗(yàn)，分別對系統(tǒng)采用線性PID和非線性PID控制器，觀察各自的整定效果和系統(tǒng)跟隨特性。搭建真實(shí)的雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)如圖7所示。

圖7　冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)實(shí)物圖

4.1空載頻響試驗(yàn)

在冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)末端不加任何負(fù)載，給系統(tǒng)幅值為500 um的正弦曲線，采用線性PID和非線性PID控制器，得到的測試曲線如圖8-圖10所示。

圖8　空載8 Hz頻響圖

圖9　空載12 Hz頻響圖

圖10　空載15 Hz頻響圖

表1是總結(jié)圖8-圖10中的頻響結(jié)果，可以看出非線性PID的整定效果明顯比線性PID的效果好。

表1　空載頻響試驗(yàn)結(jié)果

4.2負(fù)載頻響試驗(yàn)

給冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)末端加上一個(gè)10kg的砝碼，在這種負(fù)載情況下測試雙驅(qū)動(dòng)的頻響試驗(yàn)，結(jié)果如圖11-圖13所示。

圖11　負(fù)載8 Hz頻響圖

圖12　負(fù)載12 Hz頻響圖

圖13　負(fù)載15 Hz頻響圖

表2是總結(jié)圖9-圖12中的頻響結(jié)果，可以看出非線性PID的整定效果明顯同樣比線性PID的效果好。

表2　空載頻響試驗(yàn)結(jié)果

5結(jié)語

介紹了冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的工作原理，進(jìn)行了機(jī)電系統(tǒng)建模。設(shè)計(jì)了非線性PID控制器，并通過頻響試驗(yàn)驗(yàn)證了該非線性PID控制器的合理和可行性。

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收稿日期：2014-02-24

中圖分類號：TM383.4+1；TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

文章編號：1671-5276(2015)04-0167-05

作者簡介：張壯(1989-)，男，安徽淮北人，碩士研究生，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制。