張敏山西省大同市同煤一中數(shù)學(xué)組

橢圓性質(zhì)及其應(yīng)用的探究和推廣

張敏
山西省大同市同煤一中數(shù)學(xué)組

在高考中，圓錐曲線這一章節(jié)一直是一個(gè)熱點(diǎn)，而橢圓又是圓錐曲線學(xué)習(xí)中的一個(gè)基礎(chǔ)。所以，教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)該能夠根據(jù)學(xué)生的情況確定自己的教學(xué)方法，讓學(xué)生能夠牢固的掌握橢圓的性質(zhì)，并且進(jìn)行探究和推廣。

橢圓性質(zhì)；探究；推廣

圓錐曲線在高考中是較為重要的一格章節(jié)，學(xué)生和教師都應(yīng)該重視這部分的學(xué)習(xí)。目前在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，鼓勵(lì)教師可以通過各種創(chuàng)新方式讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)鉆研數(shù)學(xué)題目，感受到數(shù)學(xué)本身真正的魅力。在橢圓的學(xué)習(xí)過程中也是如此，教師不妨嘗試?yán)煤?jiǎn)單的數(shù)學(xué)題目，讓學(xué)生自己推算出橢圓的性質(zhì)，總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)。

一、橢圓的定義及性質(zhì)

1.橢圓的定義

在我們教學(xué)內(nèi)容中，關(guān)于橢圓是這樣進(jìn)行定義的：在某一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的和為定值的點(diǎn)的集合。其中，F(xiàn)1與F2被稱為焦點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離被稱為焦距，而橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和2a就是定長(zhǎng)。

2.橢圓的性質(zhì)

對(duì)于焦點(diǎn)在X軸，圓點(diǎn)在坐標(biāo)軸中心的橢圓X2/a2+Y2/b2=1（a> b>0）有以下幾個(gè)性質(zhì)：（1）|X|≤a，|Y|≤b；（2）橢圓具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸為X軸、Y軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)o（0，0）；（3）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度為2a，短軸的長(zhǎng)度為2b；（4）設(shè)點(diǎn)p為橢圓上的一點(diǎn)，PF之間最大的距離為a+c，PF之間最小距離為a-c；（5）橢圓的離心率為e=c/a，且離心率范圍在0 至1之間。

二、典型例題分析

橢圓的相關(guān)性質(zhì)并不難理解，重要的是將性質(zhì)能應(yīng)用在解題過程中。在教學(xué)過程中，教師選擇的題目應(yīng)該由易到難，先讓學(xué)生掌握好橢圓基本性質(zhì)后，再去進(jìn)行一些拓展和延伸。簡(jiǎn)單的關(guān)于橢圓性質(zhì)例題主要可以分為兩類，一是利用橢圓的斜率、長(zhǎng)短軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等等已知條件，推算出關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，二是利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推算長(zhǎng)短軸、斜率、頂點(diǎn)等等。

下面是兩道關(guān)于橢圓的性質(zhì)的典型例題。

例一：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，長(zhǎng)軸在X軸，離心率e= √3/2，已知一點(diǎn)p（0，3/2）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為√7，求該橢圓的方程，并求點(diǎn)p到橢圓上距離為√7的點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：這道例題除了需要了解橢圓的性質(zhì)以外，還要求學(xué)生能夠了解距離公式，最大值等知識(shí)點(diǎn)。解決這道例題共有兩種方法，一是可以利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，二是可以選擇橢圓的參數(shù)方程。需要學(xué)生擁有較強(qiáng)的綜合分析能力和較高的邏輯推理能力。關(guān)鍵時(shí)教師可以進(jìn)行一定的引導(dǎo)。另外，在求d的的最大值時(shí)，應(yīng)該要提醒學(xué)生要注意討論b的取值范圍。

例二：橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）與x軸正向相交與點(diǎn)F，若這個(gè)橢圓上總有一點(diǎn)P，使OP⊥FP，求該橢圓離心率的取值范圍。

分析：在這道例題中，因?yàn)辄c(diǎn)O與點(diǎn)F為固定點(diǎn)，而P點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，所以我們可以考慮將P點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，將OP⊥FP轉(zhuǎn)變成關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，在將坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于a、b、c的不等式，從而得到關(guān)于離心率的取值范圍。在這道題中，為了減少參數(shù)，我們應(yīng)該考慮利用橢圓的參數(shù)方程。

三、橢圓性質(zhì)推廣實(shí)例分析

在學(xué)習(xí)的過程中，雖然主體是學(xué)生自己，但是作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該積極的對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，完善他們的解題思路。

有這樣一道高考題目：已知橢圓x24+y23=1，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1,32），點(diǎn)E與點(diǎn)F為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。那么，如果直線AE斜率與AF的斜率為相反數(shù)，求直線EF斜率的值。

這道題目想要進(jìn)行解答就必須需要學(xué)生們自己進(jìn)行思考。而教師在為學(xué)生講解這道題目是應(yīng)該明白以下幾個(gè)目的：

1.通過例題鼓勵(lì)學(xué)生多嘗試使用不同的方式進(jìn)行解答，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，擴(kuò)寬思維方式。

2.點(diǎn)A不斷移動(dòng)時(shí)，EP的斜率會(huì)不會(huì)發(fā)生改變？或是是否在那個(gè)點(diǎn)上斜率才發(fā)生改變。

3.結(jié)果所得的理論是不是能夠應(yīng)用在雙曲線或是拋物線上呢？

這道題解題不是最終的目的，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中鞏固橢圓性質(zhì)并進(jìn)行應(yīng)用和推廣。

如果學(xué)生在課堂前的準(zhǔn)備充分，那么可以發(fā)現(xiàn)有很多的解題方法：點(diǎn)差法、參數(shù)法或是利用方程組。題目看似會(huì)在解題中存在困難，但是如果能夠?qū)︻}目認(rèn)真的進(jìn)行研讀，很容易就會(huì)有自己的思路。

教師在解題的過程中也應(yīng)該主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，直線EF的斜率值與點(diǎn)A有什么關(guān)系？這個(gè)為題開始只能依靠學(xué)生的猜測(cè)，有的學(xué)生可能會(huì)提出借用供給進(jìn)行測(cè)量，而教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，讓學(xué)生思考如何進(jìn)行證明。

學(xué)生在推算的過程中，對(duì)相關(guān)問題的探究、證明，讓學(xué)生真正的能夠夠利用數(shù)學(xué)思維，將幾何與代數(shù)相結(jié)合，并為自己的解題過程積累了經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于橢圓的相關(guān)性質(zhì)掌握的更為牢固，解題的速度和正確率也會(huì)得到提升。

四、橢圓性質(zhì)教學(xué)反思

在課堂中，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，而不是將知識(shí)點(diǎn)死板的灌輸給學(xué)生，要在課上給留給學(xué)生充分思考的時(shí)間。這樣的方法看似很耽誤課堂時(shí)間，但并不是如此，課上學(xué)生思考的過程也是學(xué)習(xí)的過程，對(duì)于橢圓性質(zhì)由學(xué)生自己進(jìn)行思考可能會(huì)掌握的更加牢固。而教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該將過去的解答題目變成思路引導(dǎo)，并且鼓勵(lì)讓學(xué)生利用多種方法進(jìn)行解題。這樣的方法學(xué)生的思考能力很容易被提升，從而學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效率也會(huì)得到提升。

橢圓相對(duì)于圓這一章節(jié)來說難度有了一定的提高，但是，橢圓的部分內(nèi)容又是為以后雙曲線等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。所以，教師在教學(xué)的過程中，一定要利用各種適合自己學(xué)生情況的辦法讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并且能夠根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)做出一定拓展應(yīng)用。

[1]徐德同.離心率相同的橢圓性質(zhì)初探--對(duì)《數(shù)學(xué)通報(bào)》2092號(hào)問題的探究[J].數(shù)學(xué)通報(bào).2014(05)

[2]蔡欣.從類比推理的視角認(rèn)識(shí)橢圓的幾個(gè)性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2014(02)

[3]玉邴圖.讓課堂教學(xué)充滿探索與交流--圓錐曲線“準(zhǔn)點(diǎn)”的教學(xué)實(shí)錄[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2009(07)