蘇建勛，李增瑞

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

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一種簡化對稱電磁模型的有效方法

蘇建勛，李增瑞

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

摘要：本文提出了一種有效降低矩量法分析對稱電磁模型計算復(fù)雜度的方法。通過對激勵向量[V]的分解和重組，使得幾何對稱結(jié)構(gòu)具有對稱的電流分布，從而只需對一部分電流進行求解，大大減少了未知量數(shù)目。數(shù)值仿真實例驗證了所提出方法的有效性與精確性。

關(guān)鍵詞：對稱電磁模型；矩量法；簡化法

1引言

基于積分方程的矩量法被廣泛應(yīng)用于時諧電磁輻射與散射問題。對于實際的電磁問題，很多目標(biāo)模型具有很好的對稱性，例如，軍用目標(biāo)(坦克、飛機、導(dǎo)彈等)，微波與光學(xué)裝置等。如果對稱性可被利用，則未知量將會大大減少。在文獻[1]中，J. Lobry等提出了簡化旋轉(zhuǎn)對稱(Rotational Symmetry)模型的方法，應(yīng)用于邊界元法。然而，這種方法無法處理反射對稱(Reflective Symmetry)模型。事實上，過去20年中，T.Naito等在簡化對稱模型的方法上做出了很大的貢獻。對旋轉(zhuǎn)對稱問題，利用空域本征模通過矩陣變換，把阻抗矩陣變換為一個塊對角陣[2，3]. 對于電大問題，矩陣變換會增加額外的內(nèi)存開銷，計算時間也不可接受，而且此步驟很難通過快速多極子(MLFMA)等相關(guān)快速算法進行加速。文獻[4]對簡化方法做了進一步的改進，能同時處理旋轉(zhuǎn)對稱和反射對稱問題。然而，矩陣變換更復(fù)雜了，不能應(yīng)用于電大尺寸問題，也很難跟現(xiàn)有的MoM

程序集成。商業(yè)軟件方面，通過對稱面(Symmetry Plane)來簡化對稱結(jié)構(gòu)，但應(yīng)用的前提是幾何模型和激勵源都具有對稱性，即場分布具有對稱性。它的局限性就是要求激勵源也是對稱的。

本文提出了一種有效簡化對稱模型的方法。通過對激勵向量[V]的分解和重組，使得對稱結(jié)構(gòu)具有對稱的電流分布，從而只有一部分電流需要求解，大大減少了未知量。這種方法具有簡單的積分方程形式，即一個場三角對應(yīng)N個源三角。因此，該方法很容易與快速算法(Fast Algorithms)結(jié)合，也很容易集成于現(xiàn)有MoM代碼中。另外，本方法不要求激勵源具有對稱性。本文還引入兩種衍生于Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函數(shù)的新基函數(shù)，用于處理簡化模型截斷邊界處的電流連續(xù)性。

2 理論公式

2.1　積分方程和基函數(shù)

定義S為金屬目標(biāo)的表面，分析基于求解下面混合勢積分方程(MPIE)：

本方法中使用了三種基函數(shù)，RWG基、half-RWG基和invert-RWG基，最后兩種基函數(shù)衍生于如下RWG基函數(shù)：

(a)RWG 基　　　　　(b)invert-RWG基　　　(c)half-RWG 基圖1　三種基函數(shù)

2.2　激勵向量[V]的分解

V是電壓激勵向量，當(dāng)我們考慮一個散射問題的時候，電壓激勵向量[V]可以表示為[5]：

其中，

(4)

其中，

3利用對稱性簡化電磁模型

在這一節(jié)，我們以一個金屬長方體為例，如圖2所示。其中心在原點，關(guān)于xoz、yoz和xoy面呈面對稱。

圖2　金屬方塊的幾何模型簡化為原來的1/8

通過分解和重組等式(4)，它可以表示為如下形式

(5)

其中，激勵向量分為8部分

V1=αθ-βδ-γη，

V2=βθ-αδ-γφ，

V3=γθ-αη-βφ，

V4=-αφ-βη-γδ，

八個子區(qū)域的激勵向量符號關(guān)系如表1所示

表1　激勵向量符號關(guān)系

續(xù)表

金屬方體模型分為8個子塊，因此阻抗矩陣有64個(子矩陣)元素。由對稱性可知，64個元素中，僅有8個是獨立的。每一行或每一列都是由這8個獨立的元素構(gòu)成。因此，求解得到的電流擴展系數(shù)[I]的符號是跟激勵向量[V]的符號一致的。

考慮第一個激勵向量V1，可以得到8個子區(qū)域的電流系數(shù)關(guān)系：

I1=-I2=-I3=I4=I5=-I6=-I7=I8

因為八個子區(qū)域的電流分布具有這種關(guān)系，所以只需求解一個子區(qū)域上的電流分布。從而，混合勢積分方程(MPIE)的阻抗矩陣為

其中，

一個場三角對應(yīng)8個源三角，如圖3所示。fn1是主源三角n1的基函數(shù)；fn2，fn3，…fn8分別是其它7個源三角(n2，n3，…n8)的基函數(shù)。

圖3　場三角和源三角(紅色箭頭是八個源三角的電流方向)

yoz面上的三角網(wǎng)格要分配half-RWG基函數(shù)，因為有電流流過yoz平面。對于其它7個激勵向量，分析方法也是一樣的。最后，電流常數(shù)等于八個激勵向量相應(yīng)的電流系數(shù)的和。表2介紹如何處理簡化模型截斷邊界處的電流連續(xù)性問題以及哪一種基函數(shù)應(yīng)該分配給截斷邊緣處的三角網(wǎng)格。例如，對于激勵向量V7，xoy和yoz面上三角網(wǎng)格應(yīng)該分配half-RWG基函數(shù)。值得注意的是，一些激勵向量可能為0。當(dāng)平面波垂直入射，電磁沿x軸方向，僅有V1和V7是非零的，相應(yīng)的電流系數(shù)需要求解，其它為零的激勵向量無需求解。

表2　簡化模型切斷邊界處的基函數(shù)分配規(guī)則

(*H表示half-RWG基函數(shù))

4數(shù)值算例

利用提出的本簡化模型方法分析一枚戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈的散射特性。導(dǎo)彈模型如圖4所示。垂直極化的平面波斜入射角度為(θinc=450，θinc=450)。雙站RCS計算結(jié)果如圖5所示。由圖可見，本文方法計算結(jié)果與FEKO仿真結(jié)果非常吻合。仿真過程中，1/4簡化模型離散為2600個三角網(wǎng)格，網(wǎng)格邊長大約為自由空間波長的1/10。

圖4　導(dǎo)彈模型簡化為原來的1/4

(尺寸以λ為單位：l1=7.0，l2=2.0，l3=2.8，l4=0.8，w1=0.2，w2=0.7，w3=0.5，w4=0.4，w5=0.04，D=1.0，導(dǎo)彈頭的焦距深度為 1/32)

(a)XOZ-plane

(b)YOZ-plane圖5　雙站RCS

5總結(jié)

本文提出了一種有效簡化對性模型的方法。通過對激勵向量[V]的分解和重組，使得對稱結(jié)構(gòu)具有對稱的電流分布，故而僅有一部分的電流需要求解，未知量大大減少了。因此，相對于模擬整個結(jié)構(gòu)，該方法內(nèi)存消耗與線性系統(tǒng)的求解時間都大為減少。數(shù)值算例證明了本文方法的有效性與精確性。

參考文獻

[1]Lobry J，Trecat J，Broche C.Broken symmetry in the boundary element method[J].IEEE Trans Magn，1995，31(3).

[2]Tsuboi H，Sakurai A，Naito T. A simplification of boundary element model with rotational symmetry in electromagnetic field analysis[J].IEEE Trans Magn，1990，26(5)：2771-2773.

[3]Tsuboi H，Tanaka M，Misaki T，Analoui M，Naito T，Morita T. Reduction of vector unknowns using geometric symmetry in a triangular-patch moment method for electromagnetic scattering and radiation analysis[J].IEEE Trans Magn，1992，28(2).

[4]Naito T，Tsuboi H. A simplification method for reflective and rotational symmetry model in electromagnetic field analysis[J].IEEE Trans Magn，2001，37(5).

[5]S M Rao，D R Wilton，A W Gilisson.Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape[J].IEEE Trans Antennas Propag，1982，30(3)：409-518.

[6]S N Makarov. Antenna and EM Modeling with MATLAB[M].New York：Wiley，2002.

(責(zé)任編輯：馬玉鳳)

A Simplification Method for Symmetrical Model in

Computational Electromagnetics

SU Jian-xun，LI Zeng-rui

(School of Information Engineering，Communication University of China，Beijing 100024)

Abstract：In this paper，a new and efficient simplificationmethod for symmetry model in computational electromagnetics(CEM)is presented. The numerical method used in this paper is Method of Moments(MOM). We can make the induced currentdistribution of a symmetry structure symmetrical bydecomposing and restructuring the excitation vector [V]，so thatonly a part of the induced current needs to be calculated.Consequently，compared to modeling of the whole structure，thesimplification method provides a drastic reduction of unknowns，which saves much more memory resources and computation time.Numerical examples show the reliability and accuracy of theproposed method.

Keywords：MOM；symmetry model；simplification method

作者簡介：蘇建勛(1982-)，男(漢族)，廣東臺山人，中國傳媒大學(xué)博士后. E-mail：sujianxunjlgx@163.com

基金項目：國家自然科學(xué)資金(61331002和61201082)

收稿日期：2015-06-02

中圖分類號：TN011

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-4793(2015)05-0039-05