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        線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程Euler方法的收斂性

        2016-01-26 08:15:53王煥許張博洋
        關(guān)鍵詞:收斂性

        王煥許, 張博洋,柴 暢,王 爍

        (綏化學(xué)院 信息工程學(xué)院,黑龍江 綏化 152061)

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        線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程Euler方法的收斂性

        王煥許, 張博洋,柴暢,王爍

        (綏化學(xué)院 信息工程學(xué)院,黑龍江 綏化 152061)

        摘要:研究線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程的數(shù)值解的收斂性,采用的是Euler方法,在處理線性項(xiàng)的矩陣時(shí),證明的方法主要應(yīng)用了矩陣歐幾里得范數(shù),從而達(dá)到要研究線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的收斂性的目的,這也是本文解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

        關(guān)鍵詞:隨機(jī)延遲微分方程;Euler方法;收斂性;數(shù)值解;矩陣歐幾里得范數(shù);

        1引言與預(yù)備

        考慮n維的線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程

        (1)

        其中B(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

        由隨機(jī)微分的定義, 此方程等價(jià)于下面的積分方程

        (2)

        yn+1=yn+(Ayn+Byh([nh]))h+(Cyn+Dyh([nh]))ΔBn

        (3)

        其中 n=0,1,2,…,并且ΔBn=B(tn)-B(tn-1),yn是x(tn)的近似解,而yh([nh])是x([nh])的近似解,為了計(jì)算簡(jiǎn)便易懂,令n=km+l(k=0,1,2,…,l=0,1,2,…,m-1),因此(3)可以簡(jiǎn)化為下面的格式,

        ykm+l+1=ykm+l+(Aykm+l+Bykm)h+(Cykm+l+Dykm)ΔBkm+l

        (4)

        其中ΔBkm+l=B(tkm+l)-B(tkm+l-1),ykm+l是x(tkm+l)的近似解,而ykm是x([tkm+l])的近似解。把(4)進(jìn)行連續(xù)化得到下面的式子,

        (5)

        其中對(duì)于t∈[tkm+l,tkm+l+1),z(t)=ykm+l,z([t])=ykm.

        2Euler方法的收斂性

        下面給出線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的收斂性。首先給出兩個(gè)引理。

        引理1存在一個(gè)正數(shù)C1使得方程(1.2) 的解和連續(xù)的歐拉方法的數(shù)值解(5)滿足

        (6)

        其中C1=C1(T,L2)是與h無(wú)關(guān)的常數(shù)。

        證明 由(5)可得

        由H¨older 不等式可得

        對(duì)于所有0≤t≤T,得到

        通過(guò)Doob's 鞅不等式, 得到

        因此,有

        由Gronwall不等式得到

        其中C1=3E|x0|2exp{6(T|A|2+T|B|2+4|C|2+4|D|2)}.

        同理可得

        其中C1=3E|x0|2exp{6(T|A|2+T|B|2+4|C|2+4|D|2)}. 證畢。

        引理2 存在一個(gè)正數(shù)C2使得下面的式子成立

        (7)

        其中C2=C2(T,L2)是與h 無(wú)關(guān)的常數(shù)。

        證明 對(duì)于t∈[0,T],則存在兩個(gè)常數(shù)k,l使得t∈[tkm+l,tkm+l+1),那么

        y(t)=ykm+l+(Aykm+l+Bykm)(t-tkm+l)+(Cykm+l+Dykm)(B(t)-B(tkm+l))

        因此,

        |y(t)-z(t)|2=|ykm+l+(Aykm+l+Bykm)(t-tkm+l)

        +(Cykm+l+Dykm)(B(t)-B(tkm+l))-ykm+l|2

        ≤|(Aykm+l+Bykm)(t-tkm+l)+(Cykm+l+Dykm)(B(t)-B(tkm+l))|2

        對(duì)上面的式子取期望得到

        E|y(t)-z(t)|2≤4|A|2h2|ykm+l|2+4|B|2h2|ykm|2+2h|Cykm+l+Dykm|2

        因而,可得

        E|y(t)-z(t)|2≤4|A|2h2|ykm+l|2+4|B|2h2|ykm|2+2h|Cykm+l+Dykm|2

        ≤4|A|2h2|ykm+l|2+4|B|2h2|ykm|2

        +4|C|2h|ykm+l|2+4|D|2h|ykm|2

        ≤4(|A|2h2+|C|2h)E|ykm+l|2+4(|B|2h2+|D|2h)E|ykm|2

        ≤4(|A|2h2+|C|2h)C1+4(|B|2h2+|D|2h)C1

        因此,

        其中C2=4C1(|A|2T+|C|2+|B|2T+|D|2). 證畢。

        定理1方程(1)歐拉方法的數(shù)值解收斂到其精確解

        (8)

        證明 由(2)和 (3)得

        由H¨older 不等式有

        對(duì)于所有0≤t≤T,得到

        通過(guò)Doob's 鞅不等式, 得到

        因此,有

        ≤8{T(|A|2+|B|2)+2(|C|2+|D|2)}C2h

        ≤8{T(|A|2+|B|2)+2(|C|2+|D|2)}C2h

        由Gronwall 不等式可得

        這里C3={8T(|A|2+|B|2)+16(|C|2+|D|2)}C2exp8{T(|A|2+|B|2)+2(|C|2+|D|2)}

        因此,

        證畢。

        3結(jié)語(yǔ)

        綜上所述,本文給出了線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的收斂性,應(yīng)用的是Euler方法,方法是把離散的數(shù)值格式進(jìn)行連續(xù)化后來(lái)進(jìn)行證明,使得證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明了,針對(duì)隨機(jī)延遲微分方程的Euler方法已經(jīng)有人給出,但是關(guān)于線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程還沒有研究,本文就是針對(duì)這類方程給出了其數(shù)值解的收斂性,這為以后繼續(xù)研究線性分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程解析解和數(shù)值解的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)并提供理論根據(jù)。

        [參考文獻(xiàn)]

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        [3] X .Mao, Stochastic Differential Equations with markovian switching[M].London: Imperial College Press, 2006.

        [4] X. Mao, Numerical solutions of stochastic differential delay equations under the generalized Khasminskii-type conditions[J].Applied Mathematics and Computation, 2011,217:5512-5524.

        [5] Mao, X.: Numerical solutions of stochastic functional differential equations[J].LMS J. Comput. Math.,2003,6:141-161.

        [6] Mao, X.: Exponential stability of equidistant Euler-Maruyama approximations of stochastic differential delay equations[J].J. Comput. Appl. Math.,2007, 200:297-316.

        [7] 胡迪鶴.隨機(jī)過(guò)程論基礎(chǔ)、理論、應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2000:56-78.

        中圖分類號(hào):TN911.8

        文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

        文章編號(hào):2095-0063(2015)06-0047-04

        收稿日期:2015-09-01

        基金項(xiàng)目:綏化學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目:一類分段連續(xù)型隨機(jī)模型的Euler算法。

        作者簡(jiǎn)介:王煥許(1965-),男,黑龍江綏化人,教授,從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

        DOI10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2015.06.012

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