王海英，符祖峰

(安順學院數(shù)理學院,貴州 安順 561000)

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嚴格α-預不變凸函數(shù)的若干性質(zhì)

王海英，符祖峰

(安順學院數(shù)理學院,貴州 安順 561000)

摘要：首先，在中間嚴格α-預不變凸函數(shù)條件下，利用α-預不變凸性、半嚴格α-預不變凸性、上半連續(xù)性和下半連續(xù)性，得到了嚴格α-預不變凸函數(shù)的一些特征性質(zhì)。其次，通過弱化γ∈(0,1)的一致性條件，在相對更弱的條件下，也獲得了同樣的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：嚴格α-預不變凸函數(shù)；α-預不變凸函數(shù)；半嚴格α-預不變凸函數(shù)；半連續(xù)函數(shù)

0引言

凸性及廣義凸性是數(shù)學規(guī)劃研究領(lǐng)域中的一項重要的研究內(nèi)容，在最優(yōu)化理論的研究中起到了重要作用。作為對凸函數(shù)的推廣，人們先后提出了一些廣義凸函數(shù)，例如預不變凸函數(shù)[1]、嚴格預不變凸函數(shù)[2]、半嚴格預不變凸函數(shù)[3]、α-預不變凸函數(shù)[4]、嚴格α-預不變凸函數(shù)[5]、半嚴格α-預不變凸函數(shù)[6]等，并且研究了這些廣義凸函數(shù)的一些性質(zhì)及在優(yōu)化問題中的一些應用[7-11]。

本文注意到，在一定條件下，凸性可以通過中間點的凸性得到，預不變凸性也可以通過中間點的預不變凸性得到，而預不變凸函數(shù)是α-預不變凸函數(shù)的一種特殊情形。所以，本文在α-預不變凸、半嚴格α-預不變凸、上半連續(xù)和下半連續(xù)條件下，分別建立了嚴格α-預不變凸函數(shù)的一些類似結(jié)論。并且，在通過弱化γ∈(0,1)的一致性條件下，利用弱中間嚴格α-預不變凸性，也獲得了同樣的結(jié)論。

1預備知識

假設(shè)H是實Hilbert空間，K?H且K≠φ。α:K×K→R是實值函數(shù)，η:K×K→H是向量值函數(shù)。

定義1[4]如果對于?x,y∈K，?λ∈[0,1]，有y+λα(x,y)η(x,y)∈K，則稱K是關(guān)于η和α的α-不變凸集。

定義2[4]設(shè)K是α-不變凸集，f是定義在K上的函數(shù)，如果對于?x,y∈K，?λ∈[0,1]，有f(y+λα(x,y)η(x,y))≤(1-λ)f(y)+λf(x)，則稱f是K上的α-預不變凸函數(shù)。

定義3[5]設(shè)K是α-不變凸集，f是定義在K上的函數(shù)，如果對于?x,y∈K，x≠y，?λ∈(0,1)，有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)，則稱f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)。

定義4[6]設(shè)K是α-不變凸集，f是定義在K上的函數(shù)，如果對于?x,y∈K，f(x)≠f(y)，?λ∈(0,1)，有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)，則稱f是K上的半嚴格α-預不變凸函數(shù)。

下面的條件和引理將在討論嚴格α-預不變凸函數(shù)的一些性質(zhì)時用到。

條件A[4]f(y+α(x,y)η(x,y))≤f(x)，?x,y∈K；

引理[7]?x,y∈K，?λ∈[0,1]，如果η和α滿足關(guān)系式η(y,y+λα(x,y)η(x,y))=-λη(x,y)，α(x,y)=α(y,y+λα(x,y)η(x,y))，則?γ1,γ2∈[0,1]，有α(y+γ1α(x,y)η(x,y),y+γ2α(x,y)η(x,y))=α(x,y)；η(y+γ1α(x,y)η(x,y),y+γ2α(x,y)η(x,y))=(γ1-γ2)η(x,y)。

2主要結(jié)果

本節(jié)假設(shè)：

1)K是關(guān)于η:K×K→H和α:K×K→R的α-不變凸集；

2)η滿足條件C，α滿足條件α(x,y)=α(y,y+λα(x,y)η(x,y))，f是K上的實值函數(shù)。

下面通過構(gòu)建適當條件，在中間點的嚴格α-預不變凸性下，建立嚴格α-預不變凸函數(shù)的幾個等價條件。

定理1f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f是K上的α-預不變凸函數(shù)；

2)條件Ⅱ：如果?γ∈(0,1)，使得對?x,y∈K，x≠y，均有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

證明由嚴格α-預不變凸函數(shù)的定義可以直接得到必要性，只需證明充分性。

假設(shè)f不是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)，則至少存在兩個點x,y∈K，x≠y，及某個λ∈(0,1)，有：

f(y+λα(x,y)η(x,y))≥λf(x)+(1-λ)f(y)

(1)

選取β1,β2且0<β1<β2<1，λ=γβ1+(1-γ)β2。令x*=y+β1α(x,y)η(x,y)，y*=y+β2α(x,y)η(x,y)，由題設(shè)條件Ⅰ，有：

f(x*)≤β1f(x)+(1-β1)f(y)，f(y*)≤β2f(x)+(1-β2)f(y)

(2)

同時由引理1可得y*+γα(x*,y*)η(x*,y*)=y+λα(x,y)η(x,y)，從而由題設(shè)條件Ⅱ，有：

f(y+λα(x,y)η(x,y))=f(y*+γα(x*,y*)η(x*,y*))<(1-γ)f(y*)+γf(x*)

(3)

根據(jù)式(2)、式(3)可得f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y*)+γf(x*)≤γ[β1f(x)+(1-β1)f(y)]+(1-γ)[β2f(x)+(1-β2)f(y)]=λf(x)+(1-λ)f(y)，這與式(1)矛盾，即證得f是在K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)。

定理2f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f是K上的半嚴格α-預不變凸函數(shù)；

2)條件Ⅱ：如果?γ∈(0,1)，使得對?x,y∈K，x≠y均有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

證明直接由嚴格α-預不變凸函數(shù)的定義可以得到必要性，只需要證明充分性。

設(shè)?x,y∈K，x≠y，λ∈(0,1)，如果f(x)≠f(y)，由題設(shè)條件Ⅰ，有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)。如果f(x)=f(y)，由題設(shè)條件Ⅱ有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)=f(x)=f(y)。記x*=y+γα(x,y)η(x,y)，下面分兩種情況討論：

x*+uα(y,x*)η(y,x*)=y+λα(x,y)η(x,y)

(4)

于是由題設(shè)條件Ⅰ和式(4)，可得f(x*+μα(y,x*)η(y,x*))<(1-λ)f(y)+λf(x)=f(x)。

綜上，證得f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)。

事實上，定理1的條件可以削弱，得到如下的結(jié)論。

定理3f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f是K上的α-預不變凸函數(shù)；

2)條件Ⅱ：如果對?x,y∈K，x≠y，都?γ∈(0,1)使得f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

證明由嚴格α-預不變凸函數(shù)的定義可以直接得到定理的必要性，只需證明定理的充分性。

對于?x,y∈K，x≠y，?λ∈[0,1],由題設(shè)條件Ⅱ，?γ∈(0,1)，使得：

f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)

(5)

記x*=y+γα(x,y)η(x,y)，下面分兩種情況考慮：

f(y+λα(x,y)η(x,y))<λf(x)+(1-λ)f(y)

(6)

2)當γ<λ<1時，同理可證得式(6)成立。

綜上，證得f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)。

同理，定理2的條件也可以削弱，得到如下的結(jié)論。

定理4f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f是K上的半嚴格α-預不變凸函數(shù)；

2)條件Ⅱ：如果對?x,y∈K，f(x)≠f(y)，都?γ∈(0,1)使得f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

下面，給出嚴格α-預不變凸函數(shù)與上半連續(xù)函數(shù)、下半連續(xù)函數(shù)之間的重要關(guān)系。

定理5f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f上半連續(xù)且滿足條件A；

2)條件Ⅱ：如果?γ∈(0,1)，使得對?x,y∈K，x≠y均有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

證明由嚴格α-預不變凸函數(shù)的定義可以直接得到定理的必要性，只需證明充分性。

f(y+λ1α(x,y)η(x,y))-λ1f(x)-(1-λ1)f(y)=0

(7)

f(y+λ2α(x,y)η(x,y))-λ2f(x)-(1-λ2)f(y)=0

(8)

令x*=y+λ1α(x,y)η(x,y)，y*=y+λ2α(x,y)η(x,y)，則對?β∈(0,1)，由于λ1<βλ1+(1-β)λ2<λ2，注意到λ1,λ2的取法,及引理1、(7)、(8)知，f(y*+βα(x*,y*)η(x*,y*))=f[y+λ2α(x,y)η(x,y)+βα(y+λ1α(x,y)η(x,y),y+λ2α(x,y)η(x,y))η(y+λ1α(x,y)η(x,y),y+λ2α(x,y)η(x,y))]=f[y+λ2α(x,y)η(x,y)+β(λ1-λ2)α(x,y)η(x,y)]=f[y+(βλ1+(1-β)λ2)α(x,y)η(x,y)]≥(βλ1+(1-β)λ2)f(x)+[1-(βλ1+(1-β)λ2)]f(y)=β[λ1f(x)+(1-λ1)f(y)]+(1-β)[λ2f(x)+(1-λ2)f(y)]=βf(y+λ1α(x,y)η(x,y))+(1-β)f(y+λ2α(x,y)η(x,y))=βf(x*)+(1-β)f(y*)，這與題設(shè)條件Ⅱ相矛盾，即f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)。

定理6f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f下半連續(xù)且滿足條件A；

2)條件Ⅱ：如果?λ∈(0,1)，使得對?x,y∈K，x≠y均有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)。

證明必要性可直接由嚴格α-預不變凸函數(shù)的定義得到，只需證明充分性。令A={λ∈[0,1]:f(y+λα(x,y)η(x,y))<λf(x)+(1-λ)f(y),?x,y∈K,x≠y}。則由題設(shè)條件知，f在A上有定義。

因為f下半連續(xù)，所以f(y+λα(x,y)η(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y)，即f是K上的α-預不變凸函數(shù)。根據(jù)定理1，f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)。

同理，定理5和定理6的條件也可以削弱，得到如下的結(jié)論。

定理7f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f上半連續(xù)且滿足條件A；

2)條件Ⅱ：如果對?x,y∈K，f(x)≠f(y)，都?γ∈(0,1)使得f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

定理8f是K上的嚴格α-預不變凸函數(shù)當且僅當下面的條件成立：

1)條件Ⅰ：f下半連續(xù)且滿足條件A；

2)條件Ⅱ：如果對?x,y∈K，f(x)≠f(y)，都?λ∈(0,1)使得f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)。

3結(jié)束語

嚴格預不變凸函數(shù)是嚴格α-預不變凸函數(shù)的一種特殊的情形。本文將嚴格預不變凸函數(shù)的一些結(jié)果[2,8]推廣到嚴格α-預不變凸函數(shù)，只考慮在中間點的嚴格α-預不變凸和一定條件下，簡化了一些證明過程，在一定程度上弱化了一些條件，從而為檢驗一個函數(shù)是不是嚴格α-預不變凸函數(shù)提供了一些方便方法。

參考文獻

[1]Yang X M,Li D.On Properties of Preinvex Punctions[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，256(1):229-241.

[2]Peng J W,Yang X M.Two Properties of Strictly Preinvex Functions[J].Operations Research Transactions，2005，9(1):37-42.

[3]Yang X M,Li D.Semistrictly Preinvex Functions[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001,258:287-308.

[4]Noor M A,Noor K I.Some characterizations of strongly preinvex functions[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,316:697-706.

[5]王美霞.α-預不變凸函數(shù)[D].天津:河北工業(yè)大學,2007:7-11.

[6]王海英,符祖峰.半嚴格α-預不變凸函數(shù)的一些性質(zhì)[J].安順學院學報，2012,14(3):130-132.

[7]Liu C P.Some Characterizations and Applications on Stronglyα-Preinvex and Stronglyα-Invex Functions[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2008,4(4):727-738.

[8]龐君乾,吳惠仙.嚴格預不變凸函數(shù)判別準則的注記[J].杭州電子科技大學學報,2007,27(2):96-98.

[9]Yang J,Yang X M.Two New Characterizations of Preinvex Functions[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems Series B：Applications & Algorithms,2012,19(3):405-410.

[10]Oveisiha M,Zafarani J.Vector optimization problem and generalized convexity[J].Journal of Global Optimization,2012,52(1):29-43.

[11]Tang W M.On Strictly and Semistrictly Quasiα-Preinvex Functions[J].Journal of Computational Analysis and Applications,2013,15(8):1391-1402.

Some Properties of Strictlyα-Preinvex Functions

Wang Haiying，F(xiàn)u Zufeng

(DepartmentofMathematicsandPhysics，AnshunUniversity，AnshunGuizhou561000，China)

Abstract：In this paper，we firstly give some characterizations of strictly α-preinvex functions under intermediate-point strictly α-preinvex for α-preinvex functions，semistrictly α-preinvex functions，upper semicontinuous functions and lower semicontinuous functions.Secondly，through the weakened consistency condition ofγ∈(0,1)，in the relatively weaker conditions，we also obtain the same conclusion.

Key words：strictly α-preinvex function;α-preinvex function；semistrictly α-preinvex function；semicontinuous function

中圖分類號：O224

文獻標識碼：A

文章編號：1001-9146(2015)06-0080-05

作者簡介：王海英(1982-)，女，河南南陽人，副教授，非線性泛函分析和最優(yōu)化理論.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61304146)；貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計劃資助項目(黔教合KY字[2012]101號)；貴州省科技廳、安順市政府、安順學院三方聯(lián)合基金資助項目(黔科合J字LKA[2013]19號)

收稿日期：2015-03-16

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2015.06.017