吳　瀟, 黃樹彩, 凌　強, 鐘　宇

(空軍工程大學防空反導(dǎo)學院, 陜西 西安 710051)

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基于改進對稱量測方程的多目標跟蹤

吳瀟, 黃樹彩, 凌強, 鐘宇

(空軍工程大學防空反導(dǎo)學院, 陜西 西安 710051)

摘要：采用傳統(tǒng)對稱量測方程對多維多目標跟蹤會增加偽觀測量,在目標航跡交叉點附近容易產(chǎn)生較大跟蹤誤差。針對這一問題,提出一種基于多項式因式分解思想的改進對稱量測方程,通過建立同一目標在不同坐標系中狀態(tài)之間的聯(lián)系,將新量測集與原始量測集的對應(yīng)關(guān)系描述的更加準確,利用泰勒展開公式推導(dǎo)出新量測的觀測誤差,求出相應(yīng)的觀測誤差協(xié)方差陣。與現(xiàn)有對稱量測方程方法和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法仿真對比,驗證所提方法不僅延續(xù)了對稱量測方程時效性優(yōu)勢,而且提高了目標在航跡交叉時的跟蹤精度。

關(guān)鍵詞：對稱量測方程; 多目標跟蹤; 多項式因式分解

0引言

與單目標跟蹤相比,多目標跟蹤不僅面臨更加復(fù)雜的噪聲背景,而且還要處理好量測-航跡關(guān)聯(lián)。傳統(tǒng)多目標跟蹤算法[1]以數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)為核心,要先進行關(guān)聯(lián)運算,然后再對多個目標獨立跟蹤,如聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(joint probability data association,JPDA)、多假設(shè)跟蹤算法(multiple hypothesis tracking,MHT)等,這些方法隨著目標數(shù)目增多計算量會劇增,極大地制約了算法的時效性。

20世紀90年代,Kamen[2]首創(chuàng)了一種基于對稱量測方程(symmetric measurement equation,SME)的多目標跟蹤方法,通過構(gòu)造原始觀測值的對稱函數(shù)得到一組新量測,可以同時估計多個目標的狀態(tài),而不需要數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)運算。起初,Kamen僅考慮了一維空間量測數(shù)目與目標真實數(shù)目相等的情況,并且構(gòu)造的新量測也只有乘積和形式[2-3],隨著研究的深入,不僅將SME的適用范圍推廣到多維空間,以及存在虛警、漏警的情況[4],而且構(gòu)造了冪次和形式的SME[5]。

在處理多維多目標跟蹤問題時,Kamen做法[5]是各維獨立進行SME跟蹤,Muder[6]指出該處理方法會增加偽觀測量,在航跡交叉時容易產(chǎn)生較大影響。Lee[4]在二維空間提出了一種基于復(fù)數(shù)運算的SME方法,將原始測量值的橫縱坐標值分別表示為復(fù)數(shù)的實部和虛部,通過復(fù)數(shù)運算建立同一目標在不同坐標系中狀態(tài)之間的聯(lián)系,并且構(gòu)造出了基于復(fù)數(shù)運算的乘積和形式SME。Leven和Lanterman[7]在Lee研究的基礎(chǔ)上建立了基于復(fù)數(shù)運算的冪次和形式SME,并將擴展卡爾曼濾波(extended kalman filter,EKF)與無跡卡爾曼濾波(unscented kalman filter, UKF)對比,仿真發(fā)現(xiàn)UKF濾波可能會產(chǎn)生奇異矩陣,而選用EKF濾波效果更好。雖然基于復(fù)數(shù)運算的SME有效抑制了偽觀測量的產(chǎn)生,跟蹤效果與Kamen經(jīng)典的SME相比有了很大改善,但在航跡交叉點附近的跟蹤效果還有提升空間。近幾年,Baum等[8]針對SME誤差期望值和協(xié)方差難以有效計算和非線性濾波問題,提出了最優(yōu)高斯濾波器,由于考慮了新量測方程的高階項,因而能給出更優(yōu)估計效果,但該方法在目標數(shù)目增多時也存在計算復(fù)雜度較高的缺點。

本文利用多項式因式分解的思想構(gòu)造了一種改進SME,在觀測誤差服從獨立同分布、零均值高斯白噪聲前提下,推導(dǎo)出相應(yīng)的觀測誤差協(xié)方差陣。與現(xiàn)有幾種典型SME和JPDA算法仿真對比,驗證新算法不僅延續(xù)了SME時效性優(yōu)勢,而且跟蹤精度基本達到與JPDA相近的水平,有效抑制了航跡交叉時跟蹤誤差較大現(xiàn)象。

1對稱量測方程

1.1基本概念

(1)

式中,T為采樣周期。

(2)

式中,IN為N×N的單位陣;0N為N×N的零矩陣;w(k)=[w1(k)w2(k)…wN(k)]T。

(3)

式中,xj(k)表示第j個目標在x軸的坐標值;uj(k)是第j個目標的觀測誤差,為零均值高斯白噪聲;j=1,2,…,N。

(4)

式中,hi表示第i個對稱變換函數(shù);vi(k)為第i個新量測的觀測誤差。

以一維空間N=2乘積和形式的SME為例,介紹具體構(gòu)造原理。假設(shè)獲得量測集為{z1(k),z2(k)},定義新量測

(5)

由式(4)可以得到

(6)

定義新量測矩陣Z(k)=[Z1(k),Z2(k)]T和觀測誤差矩陣V(k)=[v1(k),v2(k)]T,則觀測誤差協(xié)方差陣R(k)=E[V(k)V(k)T]。

1.2基于多項式思想的SME

以Kamen乘積和形式SME為例[3],在一維空間新量測可以表示為

(7)

式中,xi表示第i個目標的在x軸上的坐標值,i=1,…,N。

這種構(gòu)造新量測的方法有以下特點:

(1) 新量測通常具有對稱性,其對稱性表現(xiàn)為新量測與原始測量數(shù)據(jù)的輸入順序無關(guān),不會隨著原始測量數(shù)據(jù)順序的變化而發(fā)生改變。

(2) 從原始量測變換到新量測過程中信息應(yīng)當是完整而沒有丟失,即新量測集與原始量測集應(yīng)當具有一一對應(yīng)關(guān)系。具體表現(xiàn)為:當原始量測集已知時,可以確定與其對應(yīng)的新量測集;而當新量測集作為已知條件時,原始量測集也應(yīng)當可以求解得到。

由式(7)可以看出,一維空間Kamen乘積和SME顯然具有對稱性,為驗證其原始量測集與新量測集具有一一對應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造關(guān)于s的因式:pi=s+xi,則有一元多項式

(8)

Kamen乘積和SME即為多項式系數(shù)ai所組成的集合,由于一元多項式與其分解因式之間具有一一對應(yīng)關(guān)系[6],因此從原始測量集變換到新量測集的信息是完整而沒有丟失的。

將SME方法推廣到二維空間時,較為簡單的處理思路是各維獨立作SME變換,與之對應(yīng)的Kamen乘積和SME可表示為

(9)

式中,xi、yi分別是第i個目標的在x軸、y軸上的坐標值,i=1,…,N。

(10)

當新量測集已知時,可以得到x軸和y軸的觀測集分別為{x1,x2}和{y1,y2},但無法確定同一目標不同坐標之間的關(guān)系,即兩個目標的組合形式不僅有{(x1,y1), (x2,y2)},而且還有可能存在{(x1,y2), (x2,y1)}的形式。在跟蹤過程中顯然不希望后一種組合方式出現(xiàn),而這種被稱之為“鬼點”的坐標會對結(jié)果產(chǎn)生不良影響,尤其是在航跡交叉時表現(xiàn)更為明顯。因此,需要改進SME方法,使這種“鬼點”坐標越少越好。

2改進SME跟蹤算法

2.1改進SME

在二維空間提出一種基于分解因式的改進思路,以提高新量測集的信息完整性。構(gòu)造因式:qi=s+txi+yi,其中,xi、yi分別表示第i個目標的在x軸、y軸上的坐標值;i=1,…,N。于是有多項式

(11)

新量測集即為多項式系數(shù)bij所組成的集合,當N=2時,新量測可以表示為

(12)

由于觀測量中包含Kamen乘積和SME,因此,當新量測集已知時,容易得到x軸和y軸的觀測集分別為{x1,x2}和{y1,y2},并且新量測通過最后一項加強了不同坐標之間的關(guān)系。假設(shè)不同坐標之間的關(guān)系并不明確,{(x1,y2), (x2,y1)}的組合的形式仍然不能被消除,則有

(x1y1+x2y2)-(x1y2+x2y1)=0

(13)

式(13)表明,當x1=x2或y1=y2時,這種坐標間關(guān)系不明確的情況才會發(fā)生。然而,一旦x1=x2或y1=y2,集合{(x1,y1), (x2,y2)}與{(x1,y2), (x2,y1)}并沒有區(qū)別。因此,改進算法能夠有效抑制“鬼點”現(xiàn)象,提高新量測集的信息完整性。

2.2觀測誤差協(xié)方差陣

由于觀測方程發(fā)生改變,與之相應(yīng)的觀測誤差協(xié)方差陣也要做出調(diào)整。但是經(jīng)過對稱變換的觀測方程其觀測誤差往往不再服從高斯分布,在計算時卻通常視作高斯分布近似處理[9],難點是新量測誤差協(xié)方差陣的求解十分困難。

假設(shè)在一維空間含誤差的原始量測值zi=xi+ui,其中,i=1,…,N;xi為真實值,ui為觀測誤差。則經(jīng)過hi對稱變換后的新量測誤差vi由文獻[3]式(28)泰勒公式展開

vi=

(14)

設(shè)新量測的觀測誤差向量V=[v1,…,vn]T,其中,n為新量測方程個數(shù),通過R=E[VVT]可求得新觀測誤差協(xié)方差陣。根據(jù)式(14)可知,V為多項式向量,則VVT為多項式矩陣,文獻[10]定理1給出了當變量服從高斯分布時,求解多項式期望的方法。

定理 1假設(shè)u=[u1,…,um]T~N(μ,Σ),Σ為m×m的半正定矩陣,對于非負整數(shù)s1,…,sm,有

(15)

對于如式(12)所示的新觀測方程,設(shè)初始觀測誤差向量u=[ux1, ux2, uy1, uy2]T為零均值高斯白噪聲,且滿足獨立同分布,即

(16)

式中,σ為初始觀測噪聲標準差。

則新的觀測誤差協(xié)方差陣有

R=E[VVT]=

(17)

式中,H(x1,x2,y1,y2)是h(x1,x2,y1,y2)的Jacobian陣。

3仿真分析

考慮二維空間上兩個勻速直線運動的目標,設(shè)定初始位置和速度以保證兩目標能夠發(fā)生航跡交叉。另外,在真實位置的基礎(chǔ)上附加獨立同分布、零均值高斯白噪聲作為原始測量數(shù)據(jù)。目標1初始狀態(tài)為:X1=[500,20,0,30]T,目標2初始狀態(tài)為:X2=[0,40,500,10]T,當采樣周期T=1s,觀測噪聲標準差σ分別為50m、100m時,原始觀測值和真實值如圖1所示。

圖1　目標觀測值與真實值

假設(shè)跟蹤時無差別地獲取兩個目標的量測值,且量測與目標的對應(yīng)關(guān)系未知,不考慮虛警和漏警的情況。經(jīng)過改進SME算法濾波后的效果圖如圖2所示。

圖2　跟蹤效果圖

由圖2中可看出:改進算法在不同觀測噪聲下都能基本實現(xiàn)對兩個目標的跟蹤,當觀測噪聲比較小時,跟蹤的比較穩(wěn)定,但隨著噪聲的增大,跟蹤的精度也逐漸降低。

為了評估改進算法的跟蹤效果,將改進SME算法與Kamen乘積和SME[3]、復(fù)數(shù)乘積和SME[4]以及JPDA算法進行比較。分別在觀測噪聲標準差σ=50m和σ=100m條件下,進行100次蒙特卡羅仿真,以目標1為例,各算法的位置均方根誤差如圖3所示。

圖3　各算法對目標1跟蹤誤差圖

由圖3中可看出:當觀測誤差較小時,幾種算法的跟蹤效果相差不大,僅在航跡交叉點附近有不同程度的差別;當觀測誤差較大時,改進SME算法跟蹤精度明顯比Kamen乘積和SME、復(fù)數(shù)乘積和SME算法的跟蹤精度要高,基本達到與JPDA相近的水平。當然,評判一個算法的優(yōu)劣不能僅僅考慮跟蹤精度,其時效性也是極為重要的指標。分別取不同次數(shù)的蒙特卡羅仿真,統(tǒng)計各復(fù)數(shù)運算SME和JPDA算法的總運行時間如表1所示。

表1　各算法總運行時間比較　s

由表1可以看出:隨著仿真次數(shù)的增加,各算法的運行時間逐漸增大,同一仿真次數(shù)下SME算法運行時間相差不多,改進SME算法比基于復(fù)數(shù)運算SME算法的時間性能還要好一點,而JPDA算法的運行時間要比其他3種算法的運行時間大很多,這是由于JPDA涉及數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián),而其他3種算法不需要數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)運算,因此基于SME算法在時效性方面比JPDA算法更有優(yōu)勢。

4結(jié)論

本文介紹了一種基于SME的多目標跟蹤算法,該算法不需要復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)運算就能同時對多個目標進行跟蹤。針對現(xiàn)有SME的不足之處,構(gòu)造了一種基于多項式因式分解思想的改進SME,在觀測誤差服從獨立同分布、零均值高斯白噪聲前提下,推導(dǎo)出相應(yīng)的觀測誤差協(xié)方差陣。

在不同觀測噪聲下對存在航跡交叉的兩個目標進行跟蹤,取得了較好的跟蹤效果,驗證了新算法的有效性;與現(xiàn)有SME算法和JPDA算法對比,新算法不僅延續(xù)了SME時效性優(yōu)勢,而且跟蹤精度基本達到與JPDA相近的水平,有效抑制了航跡交叉時跟蹤誤差較大現(xiàn)象。然而新算法也存在一些不足,比如:構(gòu)造的新觀測量數(shù)目比現(xiàn)有SME要多一些,而且利用改進算法進行多目標跟蹤時,目標數(shù)目必須已知。

目前SME算法發(fā)展并不成熟,許多問題還沒有很好的解決,比如:存在虛警漏警時計算較為復(fù)雜、目標數(shù)目未知情況下應(yīng)用受限等。因此,需要投入更多的精力去了解、研究SME算法,使之成為一種成熟的理論,以便更好地解決多目標跟蹤問題。

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吳瀟(1991-),男,碩士研究生,主要研究方向為多目標跟蹤。

E-mail:february27th@163.com

黃樹彩(1967-),男,教授,博士,主要研究方向為系統(tǒng)辨識與模式識別、目標檢測與跟蹤。

E-mail:hsc67118@126.com

凌強(1990-),男,碩士研究生,主要研究方向為紅外弱小目標檢測與跟蹤。

E-mail:lq910131@gmail.com

鐘宇(1987-),男,博士研究生,主要研究方向為系統(tǒng)建模與仿真、天基紅外預(yù)警探測與跟蹤。

E-mail:zhongyu257678@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150818.1519.012.html

Multiple targets tracking using modified symmetric measurement equations

WU Xiao, HUANG Shu-cai, LING Qiang, ZHONG Yu

(AirandMissileDefenseCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710051,China)

Abstract:The classical symmetric measurement equation (SME) approach will produce pseudo-measurements while tracking multiple targets in multi-dimensions, which induces large tracking errors around the coordinate switching areas. To solve this problem, a modified SME is proposed by polynomial factoring to connect states of one target with different coordinates. As a result, the mapping relationships of original observations to new mesurements are described more precisely. The new measurement noise covariance matrix is deduced corresponding to the new SME measure noises which are derived by Taylor series expansions. Finally, simulations are constructed to validate the new SME’s characteristics by comparing with the existing SME approaches and joint probability data association algorithm respectively. Results show that the modified SME approach not only maintains the advantage of real-time performances, but also does well in improving tracking accuracy during the coordinate switching areas.

Keywords:symmetric measurement equation (SME); multiple targets tracking; polynomial factoring

作者簡介：

中圖分類號：V 249

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.01.04

基金項目：航空科學基金(20130196004)資助課題

收稿日期：2015-01-13；修回日期：2015-06-29；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-08-18。