劉　帥, 閆鋒剛, 金　銘, 喬曉林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209)

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基于四元數(shù)MUSIC的錐面共形陣列極化-DOA聯(lián)合估計

劉帥, 閆鋒剛, 金銘, 喬曉林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209)

摘要：基于交叉偶極子構(gòu)成的錐面共形陣列,建立了四元數(shù)表示的錐面共形陣列模型并提出了四元數(shù)多重信號分類 (multiple signal classification,MUSIC)算法。算法通過同極化子陣的構(gòu)造以及秩損原理實現(xiàn)了導(dǎo)向矢量中極化信息和波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)信息的剝離,進(jìn)而得到入射信號的二維DOA估計和極化參數(shù)估計,有效降低了極化-DOA聯(lián)合估計的計算量。仿真結(jié)果驗證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：錐面共形陣列; 四元數(shù); 極化-DOA聯(lián)合估計

0引言

由于具有滿足空氣動力學(xué)要求、節(jié)省空間、減輕重量、極化敏感、充分利用孔徑改善波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計精度等優(yōu)點,共形陣列[1]在軍事、航空、航天、通信等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。電磁波極化信息包括極化角和極化相位,其在軍事上的應(yīng)用可以提高地基雷達(dá)的抗干擾能力,提高機(jī)載雷達(dá)抑制地雜波和區(qū)分目標(biāo)的能力,提高偵測系統(tǒng)信號分選與識別能力等;在移動通信中的應(yīng)用,可以克服共信道干擾和多徑衰落干擾,提高信道利用率,提高通信質(zhì)量。錐面共形陣列作為共形陣列的典型代表,在機(jī)載、彈載等平臺上有廣泛的應(yīng)用前景。因此，開展基于錐面共形陣列的多參量估計算法研究具有十分重要的意義。

目前在共形陣列的研究方面,已取得較多的研究成果[2-12]。其中文獻(xiàn)[2]采用流形分離技術(shù)(manifold separation technique, MST)實現(xiàn)了共形陣列下全極化和差波束形成;文獻(xiàn)[3]利用線性約束最小方差(linearly constrained minimum variance, LSMV)準(zhǔn)則實現(xiàn)了共形陣列條件下的寬帶自適應(yīng)波束形成;文獻(xiàn)[4]采用基于遺傳算法的投影方法,實現(xiàn)了共形陣列條件下的低旁瓣波束形成。在錐面共形陣列參數(shù)估計方面,文獻(xiàn)[5]利用錐面共形陣列的多極化特性,結(jié)合多重信號分類 (multiple signal classification,MUSIC)算法實現(xiàn)了對入射信號的極化-DOA聯(lián)合估計;文獻(xiàn)[6]針對電磁偶極子構(gòu)成的錐面共形陣列,先由坡印廷矢量得到信號到達(dá)角的粗略估計,再對下圓環(huán)子陣解相位模糊,最終得到DOA的精確估計值;文獻(xiàn)[7]通過陣元結(jié)構(gòu)設(shè)計,給出了基于旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(estimation of signal parameters via rotational invariant techniques, ESPRIT)的錐面共形陣列解相干空間平滑算法,實現(xiàn)了相干信源的高分辨DOA估計;文獻(xiàn)[8]通過空間平滑實現(xiàn)了信源的解相干,由ESPRIT算法完成了多個相干信源DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計。此外,文獻(xiàn)[9]實現(xiàn)了共形陣列條件下寬帶信號的波束掃描,其1 dB增益帶寬達(dá)到20%;文獻(xiàn)[10]通過MST技術(shù)實現(xiàn)了球面共形陣列條件下的穩(wěn)健的波束形成算法;文獻(xiàn)[11]利用四階累積量和旋轉(zhuǎn)不變子空間算法實現(xiàn)了共形陣列(錐面、柱面、球面)條件下的盲極化DOA估計;文獻(xiàn)[12]首先對柱面共形陣列進(jìn)行建模,然后通過旋轉(zhuǎn)不變子空間算法實現(xiàn)了對入射信號DOA和極化參數(shù)的估計。

綜上,基于錐面共形陣列的多參量聯(lián)合估計算法大多通過ESPRIT算法實現(xiàn),在多參量估計過程中需要參數(shù)配對;而基于MUSIC的多參量估計算法需要在二維極化域和二維DOA域構(gòu)成的四維空間內(nèi)尋優(yōu),計算量巨大。

四元數(shù)是一種長復(fù)數(shù)的表示形式,將其應(yīng)用于極化敏感陣列可以實現(xiàn)對色噪聲的有效抑制以及降維參數(shù)估計等。在極化敏感陣列多參量估計方面,文獻(xiàn)[13]提出了四元數(shù)模型下的矢量傳感器信號建模和處理的新方法。此后文獻(xiàn)[14]通過定義四元數(shù)的相關(guān)函數(shù),利用四元數(shù)MUSIC算法在高斯背景下有效地估計出了信號參數(shù)。國內(nèi)方面,文獻(xiàn)[15]針對極化敏感陣列,通過八元數(shù)的定義以及相應(yīng)矩陣的特征值分解實現(xiàn)了八元數(shù)MUSIC算法,該方法相對于經(jīng)典長矢量算法有效地提高了參數(shù)估計性能。文獻(xiàn)[16]在建立電磁矢量傳感器陣列四元數(shù)模型的基礎(chǔ)上,利用四元數(shù)-MUSIC方法實現(xiàn)了參數(shù)估計的降維處理,降低了極化-DOA聯(lián)合估計算法的計算量。綜上,基于四元數(shù)的多參量估計算法主要通過對導(dǎo)向矢量的四元數(shù)表示,將極化參數(shù)與DOA參數(shù)的“去耦合”,進(jìn)而得到多參量估計結(jié)果。由于錐面共形陣列的特點導(dǎo)致其全局坐標(biāo)系下陣元的極化形式不完全一致,因此已有的四元數(shù)MUSIC算法無法應(yīng)用于錐面共形陣列。

本文首先建立了由四元數(shù)表示的錐面共形陣列信號模型,然后通過構(gòu)造若干同極化子陣并結(jié)合秩損理論給出了基于錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法,實現(xiàn)了極化和DOA參數(shù)聯(lián)合估計的降維處理。算法先估計入射信號的DOA參數(shù),再由文獻(xiàn)[5]中給出的長矢量MUSIC算法估計信號的極化參數(shù),有效地降低了計算量,且自動完成參數(shù)配對。最后通過仿真實驗比較了四元數(shù)MUSIC算法和長矢量MUSIC算法的估計精度。

1四元數(shù)定義及性質(zhì)

(1) 四元數(shù)定義

設(shè)q=a+bi+cj+dk,a,b,c,d∈R,若i,j,k滿足:i2=j2=k2=-1,其中ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j則稱數(shù)q為四元數(shù),稱a為四元數(shù)q的實部,稱bi+cj+dk為q的虛部。

(2) 四元數(shù)矩陣的特征值分解

(1)

(2)

2基于四元數(shù)的錐面共形陣列模型

2.1雙極化錐面共形陣列

雙極化錐面共形陣列由交叉偶極子在錐面載體共形形成,其具體形式如圖1所示[2,5],圓錐頂點處存在一個陣元,其下排列了若干圓環(huán)陣,n為由上至下的圓環(huán)陣序號,d為圓環(huán)陣間距離,每個圓環(huán)陣包含8個陣元,每個圓環(huán)陣中陣元序號m按逆時針方向排序,起始陣元位于X正半軸上,β為圓錐頂角的1/2。陣元坐標(biāo)可表示為

(3)

(4)

(5)

圖1　雙極化錐面共形陣列示意圖

2.2雙極化錐面共形陣列信號模型

假設(shè)有M個信號入射到由N個雙極化陣元構(gòu)成的錐面共形陣列,其信號模型[5]可表示為

(6)

(7)

(8)

式中,“⊙”為矩陣的Hadamard乘積;a(θi,φi)為導(dǎo)向矢量中與入射信號DOA相關(guān)的空域信息(具體形式見文獻(xiàn)[5]);p(θi,φi,γi,ηi)為導(dǎo)向矢量中的極化信息,可表示為

(9)

(10)

由以上討論可知,式(8)所示的雙極化錐面共形陣列導(dǎo)向矢量中的每個元素代表雙極化陣元的一個極化單元對入射信號的響應(yīng),因此對N個雙極化陣元構(gòu)成的共形陣列而言,其導(dǎo)向矢量的維數(shù)為2N。

2.3雙極化錐面共形陣列四元數(shù)模型

對于錐面共形陣列中的第k個雙極化陣元,其兩個極化單元對第i個信號源的響應(yīng)可以用一個二維列向量表示為

(11)

將pki用四元數(shù)表示為

(12)

此時,陣列的導(dǎo)向矢量用四元數(shù)表示為

(13)

(14)

(15)

式中，k和l分別為入射信號方向矢量和陣元的位置矢量,具體定義見文獻(xiàn)[5]。

觀察式(13)可以發(fā)現(xiàn),由于錐面共形陣列中每個雙極化陣元受載體曲率的影響,使陣元在全局坐標(biāo)下具有不同的極化狀態(tài)。對同一個入射信號而言,共形陣列中陣元的極化響應(yīng)不同,所有陣元的極化響應(yīng)不能用一個四元數(shù)表示,而應(yīng)為式(15)所示的四元數(shù)向量。此時四元數(shù)定義下的錐面共形陣列信號模型可以表示為

(16)

式中

(17)

(18)

式(18)為噪聲向量在四元數(shù)模型下的表示,其中元素可以表示為

(19)

式中,nih(t)和niv(t)表示疊加在第i個陣元兩個極化單元上的復(fù)噪聲。

與共形陣列不同,文獻(xiàn)[16]給出的由偶極子構(gòu)成的傳統(tǒng)極化敏感陣列,其四元數(shù)定義下的導(dǎo)向矢量表示為

(20)

綜上,完成了雙極化錐面共形陣列在四元數(shù)定義下的信號建模。對比式(13)和式(20)可知,共形陣列四元數(shù)模型與一般極化敏感陣列的四元數(shù)模型差別在于:由于共形載體曲率的影響,陣元的方向圖發(fā)生旋轉(zhuǎn),使得共形陣列中不同陣元感受到入射信號的極化信息不同,不能使用一個四元數(shù)表示所有陣元的極化輸出;而對一般極化敏感陣列來說,由于每個陣元的擺放形式一致,陣列中所有陣元感受到的入射信號極化信息相同,可以使用一個四元數(shù)表示所有陣元的四元數(shù)輸出。因此傳統(tǒng)的降維四元數(shù)MUSIC算法無法直接應(yīng)用于共形陣列,需要研究一種適用于雙極化錐面共形陣列的降維四元數(shù)MUSIC算法。

3基于錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法

3.1傳統(tǒng)極化敏感陣列的四元數(shù)MUSIC算法

文獻(xiàn)[16]給出了基于傳統(tǒng)極化敏感陣列的四元數(shù)算法,其主要處理過程為:計算陣列的四元數(shù)自相關(guān)函數(shù)

(21)

(22)

(23)

將式(20)代入式(23),并整理可得

(24)

其中

(25)

(26)

由式(26)構(gòu)造的空間譜函數(shù)在(θ,φ)二維搜索得到M個極大值即對應(yīng)信號的入射方向。在得到二維DOA估計值后,將其代入聯(lián)合譜中做(γ,η)兩維的逐個搜索即可估計得到信號的極化參數(shù)。

3.2錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法

由第2節(jié)討論可知,錐面共形陣列四元數(shù)模型與一般極化敏感陣列四元數(shù)模型相比,差別主要在于共形載體曲率導(dǎo)致的陣元方向圖的旋轉(zhuǎn),使共形陣列導(dǎo)向矢量的表達(dá)形式不同于一般極化敏感陣列,傳統(tǒng)四元數(shù)MUSIC算法無法直接應(yīng)用。本文根據(jù)錐面共形陣列特點,從布陣形式入手,結(jié)合秩損原理[17],實現(xiàn)了錐面共形陣列下的四元數(shù)MUSIC算法。

考慮對錐面共形陣列構(gòu)造極化形式相同的子陣,構(gòu)造方法如圖1所示。由共形陣列的建模過程可知[2,5],圖1中的錐面共形陣列,除去原點處陣元,S1、S2、S3 3條母線上各自的陣元具有相同的極化形式。

假設(shè)錐面共形陣列共有L條母線,每條母線上的陣元個數(shù)為K,則錐面共形陣列的陣元數(shù)N=L×K+1。由式(13)~式(15)可知,此時錐面共形陣列的導(dǎo)向矢量可以表示為

(27)

式(27)可重寫為

(28)

式中

(29)

其中

(30)

(31)

將式(28)代入到式(23)中,整理可得

(32)

式中

(33)

(34)

式中,det[·]表示求行列式值。

(35)

根據(jù)四元數(shù)矩陣行列式與矩陣特征值關(guān)系,可得對入射信源的二維DOA估計為

(36)

式中,λmin{·}為求矩陣的最小特征值。

在得到入射信號源的DOA估計結(jié)果后,即可使用MUSIC算法[5]實現(xiàn)對極化參數(shù)的估計

(37)

綜上,可得四元數(shù)MUSIC算法的具體步驟為:

步驟 5將得到的入射方向估計值分別代入式(37),做極化參數(shù)的二維搜索得到與入射信號對應(yīng)的極化參數(shù)估計值。

4仿真實驗

(1) 驗證四元數(shù)MUSIC算法的有效性。仿真中取雙極化錐面共形陣列，形式如圖1所示,具體參數(shù)為:β=20°,圓環(huán)陣個數(shù)3,由上至下每個圓環(huán)均勻分布8個陣元。圓環(huán)陣之間的高度為2.75λ,最底層圓環(huán)陣的半徑為3λ,λ為入射信號波長。

假設(shè)有兩個獨立信號源入射到陣列,入射參數(shù)分別為(θ1,φ1,γ1,η1)=(15°,50°,45°,90°),(θ2,φ2,γ2,η2)=(35°,150°,70°,0°),信噪比均為10 dB,快拍數(shù)為500?？捎伤脑獢?shù)MUSIC算法得到陣列的估計結(jié)果如圖2所示。

圖2　雙極化錐面共形陣列四元數(shù)算法結(jié)果圖

由圖2(a)的仿真結(jié)果可以看出,對于兩個不同極化的入射信號,通過四元數(shù)降維算法在角度域形成了二維譜峰,譜峰位置分別為(15°,50°)和(35°,150°)與仿真中設(shè)置的信號入射方向相同。

四元數(shù)MUSIC算法在得到入射信號的兩個DOA估計值后,將其分別代入式(37)描述的聯(lián)合譜中,做極化域的二維搜索可得對入射信號極化參數(shù)的估計結(jié)果如圖2 (b)和圖2(c)所示,可分別得到兩個信號的極化參數(shù)估計結(jié)果為 (45°,90°)和(70°,0°)。由于在極化域搜索時,已知信號的DOA信息,因此四元數(shù)MUSIC算法自動實現(xiàn)了極化-DOA參數(shù)的配對。

對共形陣列而言,在采用文獻(xiàn)[5]中的MUSIC算法估計信號極化和DOA參數(shù)時,需要做極化和DOA參數(shù)的四維搜索。以兩個入射信號,1°搜索步長為例,極化-DOA聯(lián)合譜估計算法[5]需要計算的譜值點數(shù)為90×360×91×360=1 061 424 000。在采用四元數(shù)算法時做二維DOA搜索時,所需計算的譜值點數(shù)為97 920點(二維DOA搜索需90×360=32 400,兩次二維極化搜索需2×91×360=65 520),可以看出,四元數(shù)降維算法大大降低了參數(shù)估計所需的計算量。

綜上分析可知,四元數(shù)算法可以將極化信息剝離,先估計入射信號的二維DOA參數(shù),在此基礎(chǔ)上,可以由聯(lián)合譜算法分別得到入射信號的極化參數(shù)估計結(jié)果,與聯(lián)合譜算法所需的四維搜索不同,四元數(shù)算法大大降低了錐面共形陣列條件下參數(shù)估計的計算量。仿真結(jié)果證明了算法的有效性。

(2)考察算法參數(shù)估計精度與SNR關(guān)系。假設(shè)有一個信號源入射到陣列上,參數(shù)為(θ1,φ1,γ1,η1)=(30°,85°,65°,120°),陣列接收的快拍數(shù)為200,信噪比從0 dB開始以2 dB為間隔增加到20 dB,在每個信噪比上獨立實驗200次,統(tǒng)計參數(shù)估計的均方根誤差,仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3　參數(shù)估計精度隨信噪比變化關(guān)系

由圖3的仿真結(jié)果可以看出,信噪比較低時,四元數(shù)MUSIC算法的DOA和極化參數(shù)估計精度略遜于MUSIC[5];在信噪比大于15dB時,四元數(shù)MUSIC算法的估計精度接近MUSIC算法[5]。綜上,總體上看四元數(shù)MUSIC算法的估計精度低于MUSIC,但考慮到四元數(shù)算法的降維過程大大降低了參數(shù)估計的計算復(fù)雜度,在實際應(yīng)用中仍不失為一種較好的選擇。

5結(jié)束語

本文針對的雙極化錐面共形陣列的特點,建立了陣列的四元數(shù)信號模型,提出了適用于錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法。算法通過同極化接收子陣的設(shè)置及秩損原理完成了導(dǎo)向矢量中極化信息和DOA信息的去耦合,先由四元數(shù)MUSIC算法對入射信號的DOA進(jìn)行估計,再由DOA估計結(jié)果及MUSIC算法得到極化參數(shù)的估計,實現(xiàn)了DOA參數(shù)和極化參數(shù)的自動配對;同時方法將極化和DOA域的四維搜索問題轉(zhuǎn)換為2維DOA搜索和2維極化域搜索,大大減小了極化-DOA聯(lián)合估計的計算量。最后通過仿真實驗驗證了本文方法的有效性。

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劉帥(1980-),男,副教授,博士,主要研究方向為陣列信號處理及自適應(yīng)波束形成。

E-mail:liu_shuai_boy@163.com

閆鋒剛(1982-),男,副教授,博士,主要研究方向為陣列信號處理、遙感圖像處理、統(tǒng)計性能及時頻域分析。

E-mail:yfglion@163.com

金銘(1968-),男,教授,博士,主要研究方向為雷達(dá)信號處理。

E-mail:jinming0987@163.com

喬曉林(1948-),男,教授,博士,主要研究方向為雷達(dá)信號處理。

E-mail:paulqiao@sohu.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150818.1519.018.html

Joint polarization-DOA estimation for conical conformal

array based on quaternion MUSIC

LIU Shuai, YAN Feng-gang, JIN Ming, QIAO Xiao-lin

(SchoolofInformationandElectricalEngineering,HarbinInstituteofTechnology(Weihai),Weihai264209,China)

Abstract:Based on conical conformal array with crossed dipole elements, the quaternion array signal model is built, and the quaternion multiple signal classification (MUSIC) algorithm is proposed. This algorithm realizes de-coupling polarization and direction of arrival (DOA) information through resetting the elements with the same polarizations of sub-arrays and the principle of rank-loss, then it obtains the estimations of 2D DOA and the polarization parameter of incident signals. The computational complexity of joint polarization-DOA estimation is reduced significantly. Finally, the simulation result verifies the effectiveness of the method.

Keywords:conical conformal array; quaternion; joint polarization-DOA estimation

作者簡介：

中圖分類號：TN 911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.01.01

基金項目：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金(HIT.NSRIF.2016102)；中國博士后科學(xué)基金(2015M571414)；山東省自然科學(xué)基金(ZR2014FQ003)；哈爾濱工業(yè)大學(xué)?？蒲袉咏?jīng)費(HIT(WH)201411)資助課題

收稿日期：2015-03-12；修回日期：2015-07-15；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-08-18。