孟曉玲，王戰(zhàn)偉，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系， 河南　鄭州　450015)

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離散非線性系統(tǒng)的有限時間控制

孟曉玲，王戰(zhàn)偉，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系， 河南鄭州450015)

[摘要]本文針對一類離散非線性系統(tǒng)的有限時間控制問題，利用線性矩陣不等式以及有限時間有界的概念，給出了離散非線性系統(tǒng)有限時間有界的充分性條件.

[關(guān)鍵詞]有限時間；穩(wěn)定；有界

在實(shí)際工程中，常常要求控制系統(tǒng)的軌跡不超出一定的界限.該問題引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-6].文獻(xiàn)[7]討論了兩類不確定線性系統(tǒng)的有限時間控制問題，并將問題的可解性歸結(jié)為線性矩陣不等式.文獻(xiàn)[8]研究了離散奇異系統(tǒng)的有限時間控制問題.文獻(xiàn)[9]研究了一類不確定線性離散系統(tǒng)有限時間觀測器設(shè)計.本文針對一類離散非線性系統(tǒng)的有限時間控制問題，給出了離散非線性系統(tǒng)有限時間有界的充分性條件.

1主要結(jié)果

考慮如下離散非線性系統(tǒng)

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+f(x(k))

(1)

假設(shè)1非線性函數(shù)f(x(k))滿足條件：‖f(x(k))‖≤l‖x(k)‖，其中l(wèi)為大于零的常數(shù).

定義1給定正數(shù)δ,ε，且δ<ε，以及N∈N+，正定矩陣R，系統(tǒng)(1)關(guān)于(δ,ε,R,N)稱為有限時間穩(wěn)定的，若：

xT(0)Rx(0)≤δ2?xT(k)Rx(k)<ε2,

?k∈{1,2,…,N} .

考慮如下帶有擾動的系統(tǒng)

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+f(x(k))+ω(k)

(2)

ω(k+1)=Fω(k)

(3)

定義2給定正數(shù)δ、ε、d，且δ<ε以及N∈N+，正定矩陣R，系統(tǒng)(2)、(3)關(guān)于(δ,ε,R,N,d)稱為有限時間有界的，若：

xT(0)Rx(0)≤δ2?xT(k)Rx(k)<ε2,

?ω(k):ωT(k)ω(k)≤d，?k∈{1,2,…,N}

1)s<0；

定理1系統(tǒng)(1)關(guān)于(δ,ε,R,N)稱為有限時間穩(wěn)定的，若存在對稱正定矩陣P，及反饋控制律u(k)=Kx(k)，使得下列不等式成立：

(A + BK)TP(A +BK) + (l2-1)P +

l[(A +BK)TP +P(A +BK)]≤0

(4)

(5)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(x(k))=xT(k)Px(k),則有：

V(x(k+1))-V(x(k))

=xT(k+1)Px(k+1)-xT(k)Px(k)

=[(A +BK)x(k) +f(x(k))]TP[(A +BK)×

x(k) +f(x(k))]-xT(k)Px(k)

≤xT(k){(A+BK)TP(A+BK)+(l2-1)P+

l[(A+BK)TP+P(A+BK)]}x(k)

由(4)可知

V(k+1)-V(k)≤0

(6)

對(6)從0到k-1求和，可得V(k)-V(0)≤0即:

xT(k)Px(k)≤xT(0)Px(0)?

xT(k)Rx(k)≤xT(k)Px(k)≤

若

xT(0)Rx(0)≤δ2?xT(k)Rx(k)<ε2，

從而系統(tǒng)(1)關(guān)于(δ,ε,R,N)稱為有限時間穩(wěn)定的.

定理2系統(tǒng)(1)是可解的，若存在對稱正定矩陣P，及反饋控制律u(k)=Kx(k)，使得下列不等式成立：

(7)

其中：Q=l[(A+BK)TP+P(A+BK)].

證明由定理1可知系統(tǒng)(1)關(guān)于(δ,ε,R,N)稱為有限時間穩(wěn)定的充分條件為：

(A+BK)TP(A+BK)+(l2-1)P+

l[(A+BK)TP+P(A+BK)]≤0

(8)

對(8)利用引理1，得到(8)等價于如下矩陣不等式：

(9)

很容易得到(7).

定理3系統(tǒng)(2)、(3)關(guān)于(δ,ε,R,N,d)稱為有限時間有界的，若存在對稱正定矩陣P、Q及反饋控制律u(k)=Kx(k)，使得下列不等式成立：

(10)

P≤R

(11)

δ2+λmax(Q)d<ε2

(12)

Ω1=(A+BK)TP(A+BK)+(l2-1)P+

l[(A+BK)TP+P(A+BK)]

Ω2=FTQF-Q+P，I為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V(x(k))=xT(k)Px(k)+ωT(k)Qω(k),

則

V(x(k+1))-V(x(k))

=xT(k+1)Px(k+1)+

ωT(k+1)Qω(k+1)-xT(k)Px(k)-ωT(k)Qω(k)

≤[(A +BK)x(k) +f(x(k)) + ω(k)]T

P[(A+BK)x(k) +f(x(k)) +ω(k)]

-xT(k)Px(k) +ωT(k)(FTQF-Q)ω(k)

≤0

由(10)可知

V(k+1)-V(k)≤0

(13)

對(13)從0到k-1求和，可得V(k)-V(0)≤0，即：

xT(k)Px(k) + ωT(k)Qω(k)

≤xT(k)Rx(k) + ωT(k)Qω(k)

≤xT(0)Rx(0) + ωT(0)Qω(0)

≤δ2+λmax(Q)d

若

xT(0)Rx(0)≤δ2?

xT(k)Rx(k)≤δ2+λmax(Q)d<ε2，

從而滿足定義2.

2結(jié)論

本文針對一類離散非線性系統(tǒng)的有限時間控制問題，得到了系統(tǒng)有限時間有界的條件，結(jié)論以線性矩陣不等式形式給出，便于利用Matlab求解.該問題的有限時間混沌同步是需要進(jìn)一步研究的課題.

[參考文獻(xiàn)]

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[9]朱琳，沈艷軍. 一類不確定線性離散系統(tǒng)有限時間觀測器設(shè)計[J].電機(jī)與控制學(xué)報，2008,12(1)：99-108.

[10]俞立. 魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

(責(zé)任編輯穆剛)

Finite-time control of discrete-time nonlinear system

MENG Xiaoling, WANG Zhanwei, MAO Beixing

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou He’nan 450015, China)

Abstract：The paper deals with the problem of finite-time control for one kind of nonlinear discrete systems. Using LMI and finite-time bounded conception the sufficient conditions of finite-time control were obtained.

Key words：finite-time; stable; bounded

[中圖分類號]O482.4

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-8004(2015)05-0030-03

[作者簡介]孟曉玲 (1976—)，女，安徽安慶人，講師，碩士，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與混沌同步方面的研究.

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(51072184)；國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項目(11226337)；航空基金項目(2013ZD55006)；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計劃項目(2013GGJS-142)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年基金項目(2014113002)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項目(15B110011).

[收稿日期]2014-11-05