董建偉，婁光譜

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系， 河南　鄭州　450015)

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一個半導體器件模型熱平衡解的唯一性

董建偉，婁光譜

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系， 河南鄭州450015)

[摘要]研究一個耦合的四階橢圓方程組，此方程組來源于半導體器件中一維雙極量子流體動力學模型的熱平衡狀態(tài). 在某些條件下利用一些不等式證明了此方程組解的唯一性.

[關(guān)鍵詞]量子流體動力學模型；熱平衡解；唯一性

1引言和主要結(jié)果

隨著半導體器件尺寸的不斷縮小，宏觀量子模型成為數(shù)學工作者的研究熱點[1-12].此類模型利用宏觀量如粒子濃度、粒子速度、電流密度和電位勢等來描述半導體器件中的載流子運動規(guī)律. 量子流體動力學模型是重要的半導體宏觀量子模型之一. 文獻[12]在一維有界區(qū)域(0,1)上研究了如下雙極量子流體動力學模型熱平衡狀態(tài)的混合邊值問題：

=eu-ev-C(x)，

(1)

=-eu+ev+C(x)， x∈(0,1)

(2)

u(0)=u(1)=0，ux(0)=ux(1)=0

(3)

v(0)=v(1)=0，vx(0)=vx(1)=0

(4)

其中：eu、ev分別表示電子濃度和空穴濃度，δ>0表示標度的普朗克常數(shù)，C(x)表示帶電粒子雜質(zhì)的濃度.α,β≥1為常數(shù).

文獻[12]得到了問題(1)～(4)解的存在性結(jié)果：

定理1設(shè)C(x)∈L2(0,1)，α,β≥1，滿足

(5)

其中M1，M2分別是

(6)

和

(7)

‖u‖L∞(0,1)≤M1， ‖v‖L∞(0,1)≤M2.

(8)

我們將證明問題(1)～(4)解的唯一性.主要結(jié)果是：

定理2設(shè)定理1中的條件成立，且α-1，β-1，δ，‖C(x)‖L2(0,1)充分小，使得

(9)

(10)

注1由(6)式和(7)式可知，當‖C(x)‖L2(0,1)充分小時，M1，M2也會充分小，從而可使(9)式及(10)式中,

2定理2的證明

(11)

所以

(12)

(13)

這里(12)式中用到了M1的定義(見(6)式)，從而再由邊界條件(3)式，Holder不等式及Young不等式知，

(14)

同理可證

(15)

=eu1-ev1-C(x)

與

=eu2-ev2-C(x)

的試驗函數(shù)并兩式相減，得

(16)

由(14)式及Young不等式知，

(17)

由微分中值定理及(8)式，得

e(α-1)u1-e(α-1)u2

其中θ∈(0,1).所以再由(8)、(14)式，Holder不等式及Poincare不等式知：

(18)

由函數(shù)f(x)=ex的單調(diào)遞增性知

(eu1-eu2)(u1-u2)≥0，

所以再由微分中值定理、(8)式、Young不等式及Poincare不等式，得

(19)

其中θ∈(0,1).

由(16)～(19)式可得：

(20)

同理，用v1-v2分別作為

=-eu1+ev1+C(x)

與

=-eu2+ev2+C(x)

的試驗函數(shù)且兩式相減，并進行類似以上估計可得

(21)

由(20)與(21)式兩邊相加，得

(22)

所以再由條件(9)和(10)式知u1=u2，v1=v2.定理2得證.

[參考文獻]

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(責任編輯穆剛)

Uniqueness of thermal equilibrium solutions to

a semiconductor device model

DONG Jianwei, LOU Guangpu

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou Henan 450015, China)

Abstract：A coupled fourth-order elliptic system is studied, which originates from the one-dimensional bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductor device in thermal equilibrium state. The uniqueness of the solutions to the system is proved under some conditions by using some inequality techniques.

Key words：quantum hydrodynamic model; thermal equilibrium solutions; uniqueness

[中圖分類號]O175.29

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-8004(2015)05-0022-04

[作者簡介]董建偉(1980—)，男，山東菏澤人，副教授，碩士，主要從事偏微分方程方面的研究.

[基金項目]河南省教育廳科學技術(shù)研究重點項目(12A110024)；鄭州航空工業(yè)管理學院青年科研基金項目(2013111001，2014113002，2015113001)；2013年河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃項目 (132300410373)；航空科學基金(2013ZD55006)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目(2013GGJS-142).

[收稿日期]2015-01-06