（清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084）

微機(jī)械陀螺是一種重要的慣性傳感器，用于測量運(yùn)動(dòng)物體的旋轉(zhuǎn)角速度或角度?；竟ぷ髟硎峭ㄟ^敏感質(zhì)量塊在旋轉(zhuǎn)角速度作用下產(chǎn)生哥氏力，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)和檢測2個(gè)振動(dòng)模態(tài)之間的能量轉(zhuǎn)換。雙質(zhì)量音叉式線振動(dòng)微機(jī)械陀螺可以有效抑制在差動(dòng)振動(dòng)方向作用的外界加速度的干擾，但是一般只能在驅(qū)動(dòng)或檢測一個(gè)軸向?qū)崿F(xiàn)差動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[1-3]。

本文設(shè)計(jì)了一種驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸的工作模態(tài)均為差動(dòng)振動(dòng)，并且實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)到檢測和檢測到驅(qū)動(dòng)雙向位移解耦的線振動(dòng)微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)。研究了雙質(zhì)量線振動(dòng)陀螺的動(dòng)力學(xué)模型，重點(diǎn)是驅(qū)動(dòng)-檢測耦合傳遞函數(shù)和在工作頻率處的驅(qū)動(dòng)-檢測綜合耦合系數(shù)。測試了陀螺在不同氣壓下的頻率響應(yīng)特性，并與耦合模型對(duì)比。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與仿真

1.1 驅(qū)動(dòng)與檢測雙差動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

為了抑制加速度對(duì)硅微機(jī)械陀螺輸出的干擾，一般采用雙質(zhì)量音叉式敏感結(jié)構(gòu)形式。音叉式結(jié)構(gòu)一般只能在驅(qū)動(dòng)或檢測一個(gè)方向上實(shí)現(xiàn)差動(dòng)[4-5]。另外由于結(jié)構(gòu)加工誤差和熱應(yīng)力引起結(jié)構(gòu)變形等因素，驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸之間存在正交耦合，需要在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上減小這種耦合[6-10]。設(shè)計(jì)了一種雙質(zhì)量微機(jī)械陀螺，其驅(qū)動(dòng)軸、檢測軸均為差動(dòng)式振動(dòng)并且運(yùn)動(dòng)位移解耦，原理結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 雙質(zhì)量陀螺敏感結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Sketch of the dual-mass gyroscope

陀螺結(jié)構(gòu)由2個(gè)質(zhì)量塊、每一個(gè)質(zhì)量塊的驅(qū)動(dòng)電極和檢測電極、2個(gè)質(zhì)量塊的耦合連接和基座組成。驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸均有獨(dú)立的質(zhì)量塊和彈性梁，分別連接到中心的質(zhì)量塊上。質(zhì)量塊和梳齒質(zhì)量間通過U型梁連接。

驅(qū)動(dòng)梳齒和檢測梳齒均為差動(dòng)電容，陀螺工作時(shí)，在驅(qū)動(dòng)梳齒上差動(dòng)的加載有直流偏置的交流電壓，使兩邊的驅(qū)動(dòng)質(zhì)量沿著驅(qū)動(dòng)軸做線性振動(dòng)，當(dāng)有角速度輸入時(shí)，左右兩邊的檢測質(zhì)量分別受到哥氏力作用，也會(huì)做線性振動(dòng)，梳齒電容發(fā)生變化，通過差動(dòng)檢測電容變化量可以得到輸入的角速率。

陀螺驅(qū)動(dòng)方向和檢測方向均存在2個(gè)自由度，分別為共模振動(dòng)和差模振動(dòng)，選擇差動(dòng)運(yùn)動(dòng)的模態(tài)為工作模態(tài)。當(dāng)陀螺在驅(qū)動(dòng)模態(tài)下振動(dòng)時(shí)，無角速度輸入，檢測方向不產(chǎn)生振動(dòng)；當(dāng)陀螺在檢測模態(tài)下振動(dòng)時(shí)，由于驅(qū)動(dòng)的位移檢測為差動(dòng)式，因此通過疊加輸出，可以消除驅(qū)動(dòng)方向的振動(dòng)。同時(shí)，通過疊加2個(gè)質(zhì)量塊的分別輸出，可以有效地抵消由加速度等引起的共模干擾。因此理想情況下，驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸的位移解耦。但由于工藝條件限制、加工誤差和殘余應(yīng)力的影響，敏感結(jié)構(gòu)會(huì)存在剛度耦合和阻尼耦合，從而導(dǎo)致陀螺的工作軸之間存在耦合。

1.2 模態(tài)仿真

利用Ansys軟件進(jìn)行了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)仿真，模態(tài)仿真結(jié)果如圖2所示。第2和第3振動(dòng)模態(tài)分別為質(zhì)量塊在x和y方向上的反向振動(dòng)，作為陀螺工作的驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測模態(tài)。其余模態(tài)為（a）驅(qū)動(dòng)共模模態(tài)，（d）檢測共模模態(tài)，（e）（f）為質(zhì)量塊沿 z軸的振動(dòng)模態(tài)，（g）（h）為xy平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)。由圖2（b）可見，在驅(qū)動(dòng)模態(tài)下，沒有明顯的檢測模態(tài)運(yùn)動(dòng)。由圖2（c）可見，在檢測模態(tài)下，單獨(dú)看上、下驅(qū)動(dòng)檢測梳齒，有x方向平動(dòng)，但是同一質(zhì)量塊對(duì)應(yīng)的上下兩部分梳齒運(yùn)動(dòng)方向相反，所以它們的平均值，或者說質(zhì)量塊的質(zhì)心在x方向的位移相對(duì)于y方向位移是很小的。由此驗(yàn)證了驅(qū)動(dòng)、檢測運(yùn)動(dòng)雙向解耦。

圖2 振動(dòng)模態(tài)仿真Fig.2 Simulation of the vibration modes

2 動(dòng)力學(xué)分析

將雙質(zhì)量陀螺的質(zhì)量塊看作剛體，對(duì)陀螺的驅(qū)動(dòng)軸進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可以簡化為一個(gè)雙自由度質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of drive mode and sense mode

驅(qū)動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)模型如圖 3（a）所示，m1，m2為左右質(zhì)量塊和驅(qū)動(dòng)梳齒質(zhì)量的和，即等效的驅(qū)動(dòng)質(zhì)量；k1，k2，k3分別為梁等效成的彈簧剛度；c1，c2分別為阻尼系數(shù)；x1，x2為兩質(zhì)量塊的位移；Fd為驅(qū)動(dòng)力。則雙質(zhì)量陀螺驅(qū)動(dòng)方向的動(dòng)力學(xué)方程為

為便于分析，考慮陀螺為理想情況，即兩質(zhì)量塊質(zhì)量相同，對(duì)稱的梁加工一致，則可以簡化驅(qū)動(dòng)的2個(gè)固有振動(dòng)頻率為

檢測軸的反向振動(dòng)固有頻率比同向振動(dòng)固有頻率低，當(dāng)陀螺驅(qū)動(dòng)軸工作在反相模態(tài)時(shí)，沿垂直于驅(qū)動(dòng)和檢測平面的方向輸入角速度，2個(gè)質(zhì)量塊在檢測軸的響應(yīng)是反向振動(dòng)。考慮陀螺的自由度，當(dāng)敏感方向有角速度輸入時(shí)，該陀螺的運(yùn)動(dòng)方程為

其中：x，y，φ分別為驅(qū)動(dòng)軸、檢測軸的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角；mx，my，J分別為陀螺敏感結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)質(zhì)量、檢測質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；b，k分別為阻尼耦合系數(shù)和剛度耦合系數(shù)，腳標(biāo)代表從某一工作軸耦合到另一工作軸；fx，fy，Tφ分別為驅(qū)動(dòng)軸、檢測軸的加載力和轉(zhuǎn)動(dòng)軸的扭矩。陀螺工作時(shí)驅(qū)動(dòng)方向加載驅(qū)動(dòng)力，檢測軸和轉(zhuǎn)動(dòng)軸無力或扭矩輸入，因此對(duì)工作狀態(tài)下的陀螺響應(yīng)進(jìn)行拉普拉斯變換：

上式中第一個(gè)等式為驅(qū)動(dòng)方向的響應(yīng)，由于檢測軸的耦合運(yùn)動(dòng)相比于驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)為小量，可以忽略，轉(zhuǎn)動(dòng)軸自然頻率大約為驅(qū)動(dòng)自然頻率的2倍，在陀螺工作頻率下轉(zhuǎn)動(dòng)軸響應(yīng)很小，也可以忽略。因此驅(qū)動(dòng)軸仍可以看作典型的二階系統(tǒng)。因此檢測軸位移和驅(qū)動(dòng)力的關(guān)系為

由于剛度耦合項(xiàng)相比主剛度為高階小量，等式中部分系數(shù)可以忽略。等式中阻尼耦合項(xiàng)相比于剛度耦合較小，尤其在抽真空條件下，因此阻尼耦合項(xiàng)可以忽略。化簡關(guān)系式為

可以看出：1）理想條件下，當(dāng)結(jié)構(gòu)不存在誤差時(shí)，敏感結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)軸、檢測軸和轉(zhuǎn)動(dòng)軸彼此獨(dú)立、無耦合，當(dāng)外界無角速度輸入時(shí)，敏感質(zhì)量不會(huì)產(chǎn)生檢測方向的平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)；2）實(shí)際情況下，驅(qū)動(dòng)模態(tài)到檢測模態(tài)的耦合由兩部分組成，一部分是驅(qū)動(dòng)軸到檢測軸的直接耦合，另一部分是驅(qū)動(dòng)軸耦合到轉(zhuǎn)動(dòng)軸，再從轉(zhuǎn)動(dòng)軸耦合到檢測軸。主要考慮陀螺在驅(qū)動(dòng)自然頻率處的工作狀態(tài)和耦合特性，定義驅(qū)動(dòng)自然頻率處綜合耦合系數(shù)

其中：Y′（s）為檢測到的位移經(jīng)過電路放大后的輸出電壓；γ為驅(qū)動(dòng)力到檢測軸電壓信號(hào)之間的綜合耦合系數(shù)；A、B是關(guān)于陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)和振動(dòng)特性的復(fù)數(shù)，但在驅(qū)動(dòng)自然頻率處相角接近于0。

3 試驗(yàn)測試

3.1 驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸掃頻測試

參考圖1，每個(gè)質(zhì)量塊的上面和下面都有驅(qū)動(dòng)檢測梳齒，可分別檢測質(zhì)量塊上端和下端的位移，上下兩端位移的平均值為驅(qū)動(dòng)軸位移信號(hào)，上下兩端位移之差除以敏感質(zhì)量塊長度則為轉(zhuǎn)動(dòng)信號(hào)。在不同的氣壓下對(duì)陀螺的頻率響應(yīng)特性進(jìn)行了測試。圖4為在大氣壓下驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸的差模振動(dòng)頻率特性曲線。表1為大氣壓和100 Pa下驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸的自然頻率和品質(zhì)因數(shù)?？梢娕c大氣壓相比，在100 Pa下驅(qū)動(dòng)軸Q值提高了11倍，檢測軸Q值提高了25倍。

圖4 驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸響應(yīng)（大氣壓）Fig.4 Frequency response of drive mode and sense mode

表1 驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸頻率響應(yīng)Tab.1 System resulting data of standard experiment

3.2 驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸耦合測試

陀螺實(shí)際加工存在一定誤差，因此驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸之間存在耦合。驅(qū)動(dòng)陀螺振動(dòng)，分別檢測每個(gè)質(zhì)量塊在檢測軸的輸出，通過掃頻得到耦合特性曲線如圖5所示。由于在驅(qū)動(dòng)工作模態(tài)時(shí)兩質(zhì)量塊反向運(yùn)動(dòng)，耦合狀態(tài)下兩質(zhì)量塊檢測運(yùn)動(dòng)的相位相反，因此將輸出結(jié)果疊加，可以抵消很大一部分的耦合。100 Pa和1 Pa下的耦合響應(yīng)類似，由于真空度提高后陀螺Q值升高，可以在驅(qū)動(dòng)到檢測的耦合曲線上觀察到4個(gè)峰，從左到右分別為驅(qū)動(dòng)共模模態(tài)（4400 Hz左右）、驅(qū)動(dòng)工作模態(tài)（4940 Hz）、檢測工作模態(tài)（4995 Hz）、檢測共模模態(tài)（5700 Hz左右），與設(shè)計(jì)的預(yù)期較為相符，滿足了驅(qū)動(dòng)和檢測的干擾模態(tài)與各自的工作模態(tài)相差500 Hz以上。

圖5 驅(qū)動(dòng)軸和檢測軸耦合響應(yīng)Fig.5 Coupling response of drive mode and sense mode

3.3 綜合耦合系數(shù)

考慮陀螺工作在驅(qū)動(dòng)自然頻率下，式（4）中阻尼矩陣的對(duì)角線參數(shù)可以通過掃頻求得的品質(zhì)因數(shù)計(jì)算，剛度矩陣對(duì)角線參數(shù)可以通過諧振頻率和質(zhì)量計(jì)算。在驅(qū)動(dòng)自然頻率下，檢測軸的阻尼項(xiàng)相比剛度項(xiàng)為小量，可以忽略。因此根據(jù)試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)和由式（5）、式（6）得到的陀螺驅(qū)動(dòng)輸出、檢測輸出和轉(zhuǎn)動(dòng)輸出與驅(qū)動(dòng)力的關(guān)系，代入到式（7）中可以計(jì)算出驅(qū)動(dòng)、檢測、轉(zhuǎn)動(dòng)之間的剛度耦合參數(shù)。在大氣壓下和100 Pa下求得的剛度及阻尼系數(shù)如表2所示。

表2 剛度及阻尼系數(shù)Tab.2 Stiffness coefficient and damp coefficient

在式（4）中，剛度系數(shù)和剛度耦合系數(shù)是由梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的，與氣壓無關(guān)。從表2可以看到，用大氣壓下和100 Pa下的測試數(shù)據(jù)計(jì)算得到的陀螺的剛度系數(shù)和剛度耦合系數(shù)的相對(duì)誤差均不大于5.151%。綜合耦合系數(shù)在大氣壓和100 Pa下分別為5.234和5.012，相對(duì)變化4.24%。這種在不同試驗(yàn)條件下得到的剛度耦合系數(shù)表現(xiàn)出的一致性也驗(yàn)證了式（5）驅(qū)動(dòng)-檢測耦合模型的正確性。

4 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)了一種雙差動(dòng)雙解耦的微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析并建立了耦合模型，定義了工作頻率處的綜合耦合系數(shù)。測試了敏感結(jié)構(gòu)在不同氣壓下的驅(qū)動(dòng)軸、檢測軸和驅(qū)動(dòng)-檢測耦合的頻率響應(yīng)特性，計(jì)算了剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和剛度耦合系數(shù)。試驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)的工作原理，獲得了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性、耦合特性及它們的特征參數(shù)。

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