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        兩類不定積分巧解

        2016-01-18 10:30:36張玉斌
        企業(yè)導(dǎo)報(bào) 2015年15期

        張玉斌

        摘 ?要:本文就高等數(shù)學(xué)中的兩類不定積分的計(jì)算給出了更簡(jiǎn)捷的方法,以期幫助讀者提高解題效率。

        關(guān)鍵詞:分部積分;表格法;循環(huán)積分

        在高等數(shù)學(xué)中,當(dāng)被積函數(shù)函數(shù)出現(xiàn)兩類不同類型的函數(shù)乘積時(shí),一般要用分部積分公式計(jì)算。但對(duì)于以下兩類積分,如果按照常規(guī)的方法來求解計(jì)算量會(huì)很大,而且也不易得出正確結(jié)果。為了提高解題效率,筆者就給出更簡(jiǎn)捷的方法,供廣大讀者參考。

        一、■pn(x)v■(x)dx型積分的解題技巧

        對(duì)于■pn(x)v■(x)dx型積分,其中pn(x)為變量的次多項(xiàng)式,函數(shù)v■(x)為具有n+1階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)vx的n+1階導(dǎo)函數(shù),直接運(yùn)用不定積分的分部積分公式的求解過程如下:

        ■pn(x)v■(x)dx=■pn(x)dv■(x)=pn(x)v■(x)-■v■(x)dpn(x)

        =pn(x)v■(x)-■v■(x)Pn-1(x)dx=pn(x)v■(x)-■pn-1(x)dv■(x)

        =pn(x)v■(x)-■pn-1(x)dv■(x)

        =pn(x)v■(x)-[pn-1(x)v■(x)-■v■(x)dPn-1(x)]

        =pn(x)v■(x)-pn-1(x)v■(x)+■v■(x)Pn-2(x)dx ? ? ? ? ? (1)

        在(1)式中, pn-1(x)是一個(gè)n-1次多項(xiàng)式,這里,我們也用Pn-1(x)來表示函數(shù)pn(x)的導(dǎo)函數(shù).類似地,Pn-1(x)是一個(gè)n-i次多項(xiàng)式,也表示次多項(xiàng)式Pi(x)的導(dǎo)函數(shù)(i=1,2,…,n-1).

        對(duì)(1)式等號(hào)右邊的積分,再應(yīng)用分部積分公式次,得到下列結(jié)果:■pn(x)v■(x)dx=-pn(x)v■(x)-pn-1(x)v■(x)+pn-2(x)

        v■(x)-…+(-1)n+1P0(x)v(x) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)

        不難看出,上述解法解題計(jì)算量大,雖過程重復(fù)單一,但會(huì)很繁瑣.

        觀察(2)式,我們不難發(fā)現(xiàn),(2)式有以下特點(diǎn):

        (1)積分運(yùn)算式有項(xiàng);

        (2)除函數(shù)本身所帶符號(hào)外,符號(hào)正負(fù)相間;

        (3)各項(xiàng)的第一個(gè)因式由pn(x)及其各階導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成,且導(dǎo)函數(shù)由pn(x)始降階排列;第二個(gè)因式由對(duì)v■(x)的1次,2次,…,次積分的一個(gè)原函數(shù)構(gòu)成.

        注意到上述規(guī)律,我們可以列一個(gè)表格如下:

        (3)

        表格的第一行豎線右邊的函數(shù)是依次對(duì)pn(x)求導(dǎo)數(shù)得到的各階導(dǎo)函數(shù),第二行是對(duì)依次求積分得到的一個(gè)原函數(shù).v■(x)這樣,(2)式的結(jié)果可以通過(3)式表格交錯(cuò)相乘,符號(hào)正負(fù)相間得到。我們不妨把這種方法稱為表格法.

        下面通過兩個(gè)例子來說明表格法的應(yīng)用.

        【例1】求不定積分.

        【解】 列表如下:

        根據(jù)上表,得到

        ? ? ? ? ? ? ? ? .

        【例2】求不定積分■v■ln2xdx.

        【解】此題如果直接利用表格法計(jì)算也較為困難,我們來做一個(gè)變換:lnx=t,則x=et,dx=etdt,于是

        對(duì)上式最后一個(gè)積分使用表格法,列表如下:

        .

        二、一類循環(huán)積分的解題技巧

        在使用分部積分公式解題時(shí),如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積,則此類積分會(huì)出現(xiàn)循環(huán),我們不妨稱之為循環(huán)積分.

        對(duì)于循環(huán)積分,直接計(jì)算計(jì)算量也較大,因此,筆者也就循環(huán)積分給出一種簡(jiǎn)捷計(jì)算公式.

        公式一:

        ,其中a2+c2≠0.

        公式二:

        ,其中a2+c2≠0.

        上述兩個(gè)公式利用分部積分法不難得出,這里證明從略.

        【例3】計(jì)算不定積分.

        【解】利用公式一得到:

        參考文獻(xiàn):

        [1] 《高等數(shù)學(xué)》高等教育出版社 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編 (第六版).

        [2] 黃慶懷《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義》.

        [3] 陳文燈 世界圖書出版社 ?《考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南(理工類)》

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