一種驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與分析方法

周馳1， 丁煒琦2， 桂良進(jìn)1， 范子杰1

(1.清華大學(xué)汽車工程系汽車安全與節(jié)能國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100084； 2.陜西漢德車橋有限公司，西安710201)

摘要：為準(zhǔn)確分析驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，指導(dǎo)驅(qū)動(dòng)橋產(chǎn)品的減振降噪設(shè)計(jì)，提出一種考慮箱體影響的驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與分析方法，基于經(jīng)典的非線性軸承理論、有限元方法和模態(tài)綜合方法，建立包含主減速器總成、差速器總成、輪轂總成和橋殼等部件的完整驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)模態(tài)分析，計(jì)算在單位諧波齒輪傳動(dòng)誤差激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，研究驅(qū)動(dòng)橋箱體對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。以某后驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例進(jìn)行的動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果表明，箱體對(duì)驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有重要影響，在分析時(shí)必須予以準(zhǔn)確考慮。

關(guān)鍵詞：驅(qū)動(dòng)橋；箱體；準(zhǔn)雙曲面齒輪；傳動(dòng)誤差；動(dòng)力學(xué)分析

中圖分類號(hào):TH132.46；U463.218文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamic modeling and analysis for a drive axle gear transmission system

ZHOUChi1,DINGWei-qi2,GUILiang-jin1,FANZi-jie1(1. State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Department of Automotive Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;2.Shaanxi Hande Axle Co., Ltd., Xi’an 710201, China)

Abstract:In order to analyze the dynamic behavior of a drive axle gear transmission system more accurately and guide vibration and noise reduction design of drive axle products, an efficient strategy based on nonlinear bearing theory, the finite element method and the modal synthesis method were proposed to analyze the drive axle gear transmission dynamic system considering effects of housing. The whole drive axle transmission system’s dynamic finite element model including final drive gear transmission assembly, differential gear transmission assembly, hub assembly and housing etc. was built. The modal analysis of the whole system was performed. The response of the system to a unit harmonic gear transmission error under the hypoid gear mesh was calculated. The effects of housing on the gear transmission system’s dynamic features were studied. An example for dynamic analysis of a rear drive axle gear transmission system showed that the effects of housing on the dynamic features of the drive axle gear transmission system are significant.

Key words:drive axle; housing; hypoid gear; transmission error; dynamic analysis

隨著用戶對(duì)驅(qū)動(dòng)橋產(chǎn)品振動(dòng)噪聲性能要求的日益提高，驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的相關(guān)研究也越來(lái)越深入。研究表明，主減速器弧齒錐齒輪的傳動(dòng)誤差是驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)振動(dòng)噪聲的主要激勵(lì)源[1]，一方面?zhèn)鲃?dòng)誤差會(huì)引起齒輪自身的嘯叫問(wèn)題，另一方面齒輪傳動(dòng)誤差產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)激勵(lì)經(jīng)過(guò)傳動(dòng)軸、軸承傳遞至箱體，傳動(dòng)系與箱體相互影響，形成整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲問(wèn)題。因此對(duì)驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究具有重要意義?，F(xiàn)有學(xué)者對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的相關(guān)研究[1-5]，大多采用簡(jiǎn)化的集中參數(shù)模型，如文獻(xiàn)[2]中提出的14自由度準(zhǔn)雙曲面齒輪集中參數(shù)模型，這種模型無(wú)法準(zhǔn)確體現(xiàn)軸系的尺寸特征，將軸承外圈考慮為接地，沒有考慮箱體對(duì)系統(tǒng)的影響，無(wú)法準(zhǔn)確體現(xiàn)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。郭年程等[6]直接建立包含驅(qū)動(dòng)橋所有零部件的實(shí)體單元有限元模型，采用有限元接觸計(jì)算方法分析驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，但是這種方法的建模過(guò)程十分復(fù)雜，系統(tǒng)模型的規(guī)模過(guò)大，接觸分析需要消耗大量的計(jì)算資源，分析效率低。

針對(duì)現(xiàn)有方法的不足，本文提出了一種考慮驅(qū)動(dòng)橋箱體影響的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模和分析方法。以某驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例，建立了考慮主減速器總成、差速器總成、輪轂總成和橋殼等部件的完整驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了振動(dòng)模態(tài)分析和單位諧波齒輪傳動(dòng)誤差激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)分析，研究了箱體對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。本文提出的方法能夠準(zhǔn)確高效地分析驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，為驅(qū)動(dòng)橋產(chǎn)品的減振降噪提供指導(dǎo)，縮短產(chǎn)品的研發(fā)周期和制造成本，并可用于其它類似齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析。

1齒輪傳動(dòng)系有限元建模

圖1為某后驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)系，主減速器齒輪為準(zhǔn)雙曲面齒輪，小輪由一個(gè)圓柱滾子軸承和一對(duì)圓錐滾子軸承支撐，大輪與差速器殼通過(guò)螺栓連接，差速器殼由一對(duì)圓錐滾子軸承支撐。輸入轉(zhuǎn)矩作用在小輪軸上，經(jīng)由大輪、差速器殼、十字軸、差速器齒輪、半軸，最終傳遞至車輪。主減速器滾子軸承的內(nèi)圈與軸系連接，外圈安裝在主減速器殼軸承座上，輪轂軸承的內(nèi)圈安裝在半軸套管上，外圈與輪轂連接。

圖1　驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)系平面圖 Fig.1 Schematic of drive axle hypoid gear transmission system

1.1軸建模

小輪軸、大輪、差速器殼、十字軸、半軸、行星輪軸和太陽(yáng)輪軸等部件均為軸對(duì)稱部件，采用考慮剪切變形的歐拉-伯努利空間梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模，可以準(zhǔn)確體現(xiàn)軸系的尺寸特征和力學(xué)特性。為了驗(yàn)證本文梁?jiǎn)卧Ｐ偷臏?zhǔn)確性，以長(zhǎng)100mm，截面直徑10mm懸臂梁模型為例，對(duì)比梁?jiǎn)卧腕w單元模態(tài)分析計(jì)算結(jié)果見表1。

表1　懸臂梁模態(tài)分析對(duì)比

在驅(qū)動(dòng)橋每個(gè)軸部件模型上劃分若干梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧孛娉叽鐓⒄赵O(shè)計(jì)圖紙，材料參數(shù)為部件的真實(shí)材料參數(shù)，保證模型的精度準(zhǔn)確可靠，以小輪軸為例，將小輪位置的梁?jiǎn)卧獛缀螀?shù)定義為小輪節(jié)錐幾何參數(shù)，見圖2。以體現(xiàn)小輪的剛度和質(zhì)量屬性?？紤]剪切變形的歐拉-伯努利空間梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖beam[7]和一致質(zhì)量矩陣Mbeam[8]在對(duì)應(yīng)的文獻(xiàn)中均有詳細(xì)的計(jì)算公式，這里不再贅述。各個(gè)軸上的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣組集得到軸的剛度矩陣Ks和質(zhì)量矩陣Ms。

圖2　小輪軸梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ?Fig.2 Schematic of pinion shaft beam element model

實(shí)際中，大輪軸通過(guò)螺栓安裝在差速器殼上，在模型中將大輪軸與差速器殼螺栓連接位置對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)之間建立線性彈簧單元，用來(lái)模擬實(shí)際的螺栓連接關(guān)系。

1.2滾子軸承建模

滾子軸承模型基于非線性軸承理論，采用空間彈簧單元進(jìn)行建模，其剛度矩陣由軸承受載和變形關(guān)系計(jì)算得到，因此具有耦合性和非線性剛度特性，該方法已被驗(yàn)證能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)滾子軸承的剛度特性，且利于編程實(shí)現(xiàn)，被廣泛使用[9-10]。滾子軸承各方向的受載與變形關(guān)系表達(dá)式如式(1)～式(6)，其中，軸承的局部坐標(biāo)系z(mì)軸為軸承的軸向，如圖3所示，F(xiàn)x和Fy為徑向力，F(xiàn)z為軸向力，Mx和My為徑向力矩，Mz為軸向力矩，Z為滾子數(shù)，α為接觸角，對(duì)于圓柱滾子軸承接觸角為零，ψj為第j個(gè)滾子的方位角，Dpw為滾子的節(jié)圓直徑，ns為每個(gè)滾子沿長(zhǎng)度方向上劃分的單元數(shù)，計(jì)算時(shí)取40，xk為每個(gè)滾子第k個(gè)單元距離滾子中心的距離，Kn為滾子與內(nèi)外圈的綜合接觸剛度，其計(jì)算公式如式(7)，E為軸承材料的彈性模量，ν為軸承材料的泊松比，Lwe為滾子的有效作用長(zhǎng)度，δj,k為第j個(gè)滾子的第k個(gè)單元的法向變形量，其計(jì)算公式如式(8)，δx和δy為軸承的徑向變形，δz為軸承的軸向變形，θx和θy為軸承的徑向轉(zhuǎn)角，在軸承的非線性迭代計(jì)算時(shí)，只有當(dāng)δj,k大于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的滾子單元才起承載的作用，若δj,k小于0，則取δj,k等于0。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Mz=0

(6)

(7)

(-δxsinψj+δycosψj)cosα+

xk(-θxcosψj-θysinψj)

(8)

滾子軸承的受載對(duì)變形求偏導(dǎo)，即得到滾子軸承的非線性耦合剛度矩陣Kb，表達(dá)式如式(9)。

(9)

圖3　圓錐滾子軸承 的二維示意圖 Fig.3 Schematic of tapered roller bearing

式(1)～式(9)充分體現(xiàn)出軸承剛度的非線性特性和各方向受載與變形的耦合特性。軸承的上述尺寸參數(shù)均由軸承的設(shè)計(jì)圖紙得到，保證軸承模型的精度可靠。

將軸承的內(nèi)外圈根據(jù)軸承的實(shí)際尺寸等效為圓環(huán)，和軸一樣以空間梁?jiǎn)卧男问竭M(jìn)行建模，獲得軸承的質(zhì)量矩陣為Mb。

上述軸承單元模型可以準(zhǔn)確的體現(xiàn)軸承的結(jié)構(gòu)尺寸特征，考慮滾子與內(nèi)、外圈之間的受力關(guān)系，模擬軸承各方向受載和變形的耦合關(guān)系及非線性剛度特性。

1.3齒輪建模

采用等效嚙合模型對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行建模，能夠較為準(zhǔn)確的模擬準(zhǔn)雙曲面齒輪的力學(xué)特性[1]。表2為主減速器準(zhǔn)雙曲面齒輪副的尺寸和工況信息。

表2　準(zhǔn)雙曲面齒輪參數(shù)

準(zhǔn)雙曲面齒輪的尺寸特征通過(guò)梁?jiǎn)卧慕孛娉叽珞w現(xiàn)，即將小輪和大輪所在位置對(duì)應(yīng)的梁?jiǎn)卧叽缍x為齒輪的節(jié)錐尺寸。進(jìn)一步模擬齒輪嚙合的剛度耦合關(guān)系，分別在小輪和大輪的理論嚙合位置建立等效嚙合節(jié)點(diǎn)，其坐標(biāo)位置根據(jù)準(zhǔn)雙曲面齒輪的幾何參數(shù)計(jì)算得到[1]，計(jì)算公式如式(10)所示。

(10)

式(10)中，規(guī)定驅(qū)動(dòng)橋主減速器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)采用標(biāo)準(zhǔn)汽車坐標(biāo)系作為全局坐標(biāo)系，即汽車前進(jìn)方向?yàn)閤軸正向，汽車左側(cè)方向?yàn)閥軸正向，豎直向上為z軸正向，坐標(biāo)原點(diǎn)為差速器十字軸中心位置；△x1、△y1和△z1分別為等效嚙合點(diǎn)相對(duì)小輪中心節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)在全局坐標(biāo)系x、y和z方向上的偏移量；γ1和γ2分別為小輪和大輪的節(jié)錐角；Eg為準(zhǔn)雙曲面齒輪的偏置距；Rm2為大輪的平均節(jié)圓半徑；k1和k2分別為小輪和大輪的朝向系數(shù)，當(dāng)小輪朝前時(shí)，k1取1，反之k1取-1，當(dāng)大輪朝右時(shí)，k2取1，反之k2取-1；kh為小輪的旋向系數(shù)，當(dāng)小輪右旋時(shí)，kh取1，反之kh取-1。

(11)

(12)

差速器直齒錐齒輪由4個(gè)行星輪和2個(gè)太陽(yáng)輪組成，相關(guān)參數(shù)如表3所示，行星輪和太陽(yáng)輪共有8個(gè)齒輪嚙合對(duì)傳遞載荷，同樣采用等效嚙合模型對(duì)差速器齒輪進(jìn)行建模，獲得差速器齒輪剛度矩陣Kd和嚙合剛度矩陣Kdm。

表3　差速器齒輪參數(shù)

1.4連接部件模型

驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)中還包含有若干連接部件，如差速器行星輪與十字軸之間的墊圈，半軸與太陽(yáng)輪之間的花鍵等，在建模時(shí)均采用線性彈簧單元模擬，耦合相互作用的節(jié)點(diǎn)自由度。

(13)

2驅(qū)動(dòng)橋箱體有限元建模與試驗(yàn)驗(yàn)證

軸系均通過(guò)滾子軸承支撐在驅(qū)動(dòng)橋箱體上，在系統(tǒng)建模時(shí)必須準(zhǔn)確建立箱體的模型。整個(gè)驅(qū)動(dòng)橋箱體包括橋殼、主減速器殼、軸承座、板簧座、推力桿座、半軸套管等，采用四節(jié)點(diǎn)四面體單元對(duì)箱體的幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元尺寸為4mm，各部件之間的焊接關(guān)系通過(guò)共用節(jié)點(diǎn)的方式模擬，主減速器殼與軸承座及橋殼之間的螺栓連接通過(guò)梁?jiǎn)卧投帱c(diǎn)約束剛性單元模擬。約束板簧和推力桿座對(duì)應(yīng)的自由度，作為系統(tǒng)邊界約束。建立的箱體有限元模型如圖4所示，共包含706913個(gè)節(jié)點(diǎn)，3057036個(gè)四節(jié)點(diǎn)四面體單元，20個(gè)用于模擬螺栓的空間梁?jiǎn)卧?，以?4個(gè)RBE2單元。

為了驗(yàn)證箱體有限元模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)行了自由振動(dòng)模態(tài)試驗(yàn)，如圖5所示。

表4為有限元計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，可知箱體的有限元模型準(zhǔn)確。

表4　箱體的固有振動(dòng)特性

3系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

在建立齒輪傳動(dòng)系和箱體有限元模型后，需要將兩部分進(jìn)行連接，建立完整系統(tǒng)的有限元模型。箱體有限元模型包含大量節(jié)點(diǎn)自由度，無(wú)法直接與傳動(dòng)系模型連接，需要進(jìn)行縮維處理，采用Craig-Bampton固定界面模態(tài)綜合法[12]對(duì)箱體的有限元模型進(jìn)行縮維計(jì)算。Craig-Bampton方法將有限元模型中的節(jié)點(diǎn)自由度分為邊界自由度o和內(nèi)部自由度i，計(jì)算得到的縮維剛度矩陣為：

(14)

縮維質(zhì)量矩陣為：

(15)

式中，c為邊界自由度數(shù)，n為內(nèi)部自由度保留的主模態(tài)階數(shù)。

箱體有限元模型的邊界自由度為軸承座與軸承固定端連接節(jié)點(diǎn)的自由度，分別在9個(gè)軸承中心位置建立主節(jié)點(diǎn)，用RBE2剛性單元與軸承座的相關(guān)節(jié)點(diǎn)耦合，定義軸承中心節(jié)點(diǎn)為邊界節(jié)點(diǎn)，每個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)包含6個(gè)自由度，因此整個(gè)箱體有限元模型包含54個(gè)邊界自由度。

采用模態(tài)綜合法進(jìn)行模型縮維計(jì)算時(shí)保留200階主模態(tài)，保證獲得的縮維剛度矩陣和質(zhì)量矩陣具有足夠的精度，能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)箱體結(jié)構(gòu)的模態(tài)屬性。

將箱體軸承中心的邊界節(jié)點(diǎn)與傳動(dòng)系梁?jiǎn)卧獙?duì)應(yīng)的軸承安裝節(jié)點(diǎn)自由度之間用滾子軸承剛度矩陣Kb耦合，即實(shí)現(xiàn)箱體有限元模型與傳動(dòng)系有限元模型的組裝，獲得完整的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(16)

式中,δ為節(jié)點(diǎn)自由度時(shí)域位移向量；f為動(dòng)態(tài)載荷向量；M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，由梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣Ms、軸承質(zhì)量矩陣Mb和箱體縮維質(zhì)量矩陣Mh組集而成；C為系統(tǒng)阻尼矩陣；K為系統(tǒng)剛度矩陣，由梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖s、軸承剛度矩陣Kb、齒輪剛度矩陣Kg、齒輪嚙合剛度矩陣Km和箱體縮維剛度矩陣Kh和連接部件剛度矩陣Kc組集而成。

注意，由于滾子軸承的剛度矩陣為非線性，在動(dòng)力學(xué)分析之前需要根據(jù)系統(tǒng)所受外載荷計(jì)算得到靜平衡狀態(tài)下的軸承剛度矩陣，采用Newton-Raphson方法[13]對(duì)系統(tǒng)靜力學(xué)方程進(jìn)行非線性迭代求解：

Kδ=f0

(17)

計(jì)算收斂得到軸承的剛度矩陣Kb。軸承剛度主要受系統(tǒng)傳遞的載荷影響，可以認(rèn)為系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)軸承剛度基本不變，以靜力平衡時(shí)的軸承剛度矩陣作為線性剛度，進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析。因此，在動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)考慮為線性系統(tǒng)。

最終建立的包含完整箱體的驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型有209個(gè)節(jié)點(diǎn)和200階箱體主模態(tài)自由度，共1454個(gè)自由度。

4系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)分析

系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程如式(18)所示，系統(tǒng)模態(tài)分析實(shí)際上是求解其特征方程的特征根ω和特征向量φ[13]。

(18)

對(duì)驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行自由振動(dòng)模態(tài)分析，通常關(guān)心的齒輪激振頻率范圍[1]為0～2000 Hz，對(duì)比2000 Hz以內(nèi)的系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率如圖6所示?？芍豢紤]箱體時(shí)，軸承固定端接地，導(dǎo)致系統(tǒng)邊界剛化，從而丟失箱體模態(tài)數(shù)據(jù)。

圖6　驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率對(duì)比 Fig.6 Comparison of system natural frequency

5傳動(dòng)誤差激勵(lì)下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

準(zhǔn)雙曲面齒輪單位諧波傳動(dòng)誤差為E=Aejωt，振幅A=1μm，則激振力為

fg=kmE

(19)

引起的動(dòng)態(tài)嚙合力：

Fmesh=Dmeshδmesh

(20)

式中δmesh為在激振力激勵(lì)下小輪和大輪嚙合點(diǎn)沿齒輪嚙合力作用線方向上的相對(duì)位移響應(yīng)，Dmesh為齒輪沿嚙合力作用線方向上的動(dòng)態(tài)剛度，由小輪和大輪的動(dòng)態(tài)柔度決定：

Dmesh=[Cp+Cg]-1

(21)

齒輪動(dòng)態(tài)柔度即單位諧波力激勵(lì)下齒輪嚙合點(diǎn)在嚙合力作用線方向上的位移響應(yīng)幅值[14]，Cp和Cg分別為小輪和大輪的動(dòng)態(tài)柔度。求解小輪和大輪的動(dòng)態(tài)柔度時(shí)，需要將齒輪嚙合關(guān)系解耦，即齒輪的等效嚙合剛度系數(shù)km=0，分別在小輪和大輪嚙合節(jié)點(diǎn)上施加沿嚙合力作用線方向的單位諧波力eiωt，則在齒輪嚙合節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自由度上，受到的力為：

Fg(t)=[n,-n]ejωt

(22)

由于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為線性模型，由模態(tài)疊加法可知，正則振型下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)：

(23)

圖7　準(zhǔn)雙曲面齒輪柔度頻響特性 Fig.7 Hypoid gear compliance frequency response

將齒輪單位諧波傳動(dòng)誤差引起的激振力施加在齒輪耦合傳動(dòng)系統(tǒng)中，分別作用在小輪和大輪的嚙合點(diǎn)上：

fg(t)=kmE[n,-n]ejωt

(24)

同樣采用振型疊加法計(jì)算獲得系統(tǒng)的響應(yīng)：

(25)

由δ可進(jìn)一步計(jì)算小輪和大輪嚙合點(diǎn)沿齒輪嚙合力作用線方向上的合位移響應(yīng)δmesh，則計(jì)算得到單位諧波傳動(dòng)誤差引起的齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力Fmesh的頻響特性曲線如圖8所示。

圖8　準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力頻響特性 Fig.8 Hypoid gear dynamic mesh force frequency response

圖8虛線表示不考慮驅(qū)動(dòng)橋箱體時(shí)的準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力頻響特性曲線，對(duì)應(yīng)模型的軸承固定端節(jié)點(diǎn)接地，表5列出了0～2000 Hz范圍內(nèi)的峰值模態(tài)信息。當(dāng)激振頻率與系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的固有振動(dòng)頻率接近時(shí)，齒輪會(huì)產(chǎn)生較大的動(dòng)態(tài)嚙合力響應(yīng)。

許多研究和事實(shí)表明，有效的教學(xué)過(guò)程不能排除游戲的“必然”和“自然”成分。游戲，像實(shí)驗(yàn)、練習(xí)和考試一樣，是一種教學(xué)的方法或技術(shù)媒介。教學(xué)游戲是一種非常實(shí)用的教學(xué)手段，教學(xué)游戲有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效率。

表5　不考慮箱體模型的動(dòng)態(tài)嚙合力對(duì)應(yīng)的峰值模態(tài)

圖8實(shí)線表示考慮驅(qū)動(dòng)橋箱體時(shí)的準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力頻響特性曲線，對(duì)應(yīng)模型的軸承固定端節(jié)點(diǎn)自由度與驅(qū)動(dòng)橋箱體縮維有限元模型的邊界節(jié)點(diǎn)自由度耦合，表6列出了0～2000 Hz范圍內(nèi)的峰值模態(tài)信息。當(dāng)激振頻率與系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的固有振動(dòng)頻率接近時(shí)，齒輪會(huì)產(chǎn)生較大的動(dòng)態(tài)嚙合力響應(yīng)。

對(duì)比可知如果不考慮驅(qū)動(dòng)橋箱體的影響，上述系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)分析會(huì)丟失大量的動(dòng)態(tài)特性信息，分析得到的動(dòng)力學(xué)特性與考慮箱體時(shí)的偏差很大，峰值頻率和峰值力均不準(zhǔn)確。

表6　考慮箱體模型的動(dòng)態(tài)嚙合力對(duì)應(yīng)的峰值模態(tài)

通過(guò)分析得到動(dòng)態(tài)嚙合力的峰值頻率，可以進(jìn)一步計(jì)算得到系統(tǒng)的危險(xiǎn)頻率和對(duì)應(yīng)的危險(xiǎn)轉(zhuǎn)速工況，從而在設(shè)計(jì)和使用時(shí)對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪的嘯叫及系統(tǒng)振動(dòng)噪聲問(wèn)題予以避免。設(shè)小輪的輸入轉(zhuǎn)速為n1(r/min)，小輪的齒數(shù)為z1，可知齒輪傳動(dòng)誤差的激振頻率基頻：

(26)

以某型重卡為例，車輪滾動(dòng)半徑為0.526m，常用車速為50km/h，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)雙曲面齒輪基頻為155.49 Hz，由表6可知系統(tǒng)第14階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率與該車速下的齒輪基頻非常接近，該階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振型為準(zhǔn)雙曲面齒輪的嚙合振動(dòng)，因此容易產(chǎn)生振動(dòng)噪聲問(wèn)題，因此在實(shí)際使用時(shí)應(yīng)盡量避免50km/h車速，或?qū)ο到y(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)以調(diào)整系統(tǒng)固有振動(dòng)模態(tài)特性。

6結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)考慮箱體的驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的理論研究，獲得如下結(jié)論：

(1)提出了包含主減速器總成、差速器總成和輪轂總成和橋殼等部件的完整驅(qū)動(dòng)橋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模和分析方法，能準(zhǔn)確高效地體現(xiàn)整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，采用matlab編程計(jì)算，采用雙核4G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)在幾分鐘內(nèi)即可完成計(jì)算，避免了未考慮箱體的集中參數(shù)模型無(wú)法真實(shí)反映系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的缺點(diǎn)和建立整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)體單元有限元模型進(jìn)行接觸分析時(shí)計(jì)算量過(guò)大，效率低的問(wèn)題。

(2)對(duì)比了模型中是否考慮箱體時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果，可知在對(duì)驅(qū)動(dòng)橋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模和分析時(shí)，箱體的影響不可忽略。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)模態(tài)分析，并計(jì)算了傳動(dòng)誤差激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，求得的齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力頻響特性曲線能夠有效的指導(dǎo)驅(qū)動(dòng)橋的減振降噪設(shè)計(jì)，為解決準(zhǔn)雙曲面齒輪嘯叫等問(wèn)題提供有效的分析手段，求得的箱體邊界節(jié)點(diǎn)響應(yīng)可進(jìn)一步用于箱體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，為箱體的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化提供依據(jù)。

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