質(zhì)量-彈簧-帶摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的分岔特性及其控制研究

李小彭，孫德華，岳冰，王丹，聞邦椿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819)

摘要：為了深入研究摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的非光滑動(dòng)力學(xué)機(jī)理，建立了含有Stribeck摩擦模型的具有代表性的質(zhì)量-彈簧-帶摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。利用數(shù)值仿真方法分析了自激振動(dòng)系統(tǒng)在不同參數(shù)下的分岔特性，仿真結(jié)果表明：進(jìn)給速度、阻尼系數(shù)和動(dòng)靜摩擦系數(shù)比均是影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的主要因素；進(jìn)給速度較低時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)周期振動(dòng)，當(dāng)進(jìn)給速度達(dá)到0.4944時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)超臨界Hopf分岔現(xiàn)象；阻尼系數(shù)和動(dòng)靜摩擦系數(shù)比變化時(shí)系統(tǒng)有與進(jìn)給速度變化時(shí)類(lèi)似的特性。針對(duì)系統(tǒng)中存在的分岔現(xiàn)象，提出了Washout濾波器方法對(duì)其進(jìn)行分岔控制。對(duì)比引入Washout濾波器前后系統(tǒng)的相圖，得到Washout濾波器能使受控系統(tǒng)的自激振動(dòng)振幅明顯減小，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到明顯改善，這間接的表明了在原系統(tǒng)中加入Washout濾波器設(shè)計(jì)的非線性控制器對(duì)摩擦系統(tǒng)進(jìn)行分岔控制是一種比較有效的方法。

關(guān)鍵詞：自激振動(dòng)；摩擦模型；Washout濾波器；分岔控制

中圖分類(lèi)號(hào):TH113.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2014-10-31修改稿收到日期：2015-12-26

基金項(xiàng)目：國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)子課題(2011ZX05056)資助項(xiàng)目

收稿日期：2014-02-26修改稿收到日期：2014-06-19

Bifurcation characteristics and control of a mass-spring-belt friction self-excited vibration system

LIXiao-peng,SUNDe-hua,YUEBing,WANGDan,WENBang-chun(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:In order to deeply study the non-smooth dynamic mechanism of a friction self-excited vibration system, a nonlinear dynamic model for a typical mass-spring-belt friction self-excited vibration system containing a Stribeck friction model was established. Secondly, the bifurcation characteristics of the system under different parameters were analyzed by using the numerical simulation method. The results showed that feed speed, damping coefficient and ratio of dynamic-static friction coefficients are the main factors affecting the system motion state; quasi-period vibration happens when the feed speed is lower and the supercritical Hopf bifurcation appears when the feed speed is 0.4944; the system’s characteristics with variation of damping coefficient and ratio of dynamic-static friction coefficients are similar to those with variation of feed speed. Thirdly, Washout filter method was used to control bifurcation phenomena existing in the system. By comparing the phase diagrams of the system behore and after introducing Washout filter, the results showed that the amplitude of the controlled system is reduced and its topologic structure is improved obviously after introducing Washout filter, so adding Washout filter into the system is a more effective method for bifurcation control of a mass-spring-belt friction self-excited vibration system with nonlinear controllers.

Key words:self-excited vibration; friction model; Washout filter; bifurcation control

摩擦引起的振動(dòng)問(wèn)題廣泛存在于工程領(lǐng)域和日常生活中，并且以多種方式影響著機(jī)械系統(tǒng)的性能。這些問(wèn)題通常會(huì)引起機(jī)械零部件的磨損，從而降低被加工件的精度和質(zhì)量，還會(huì)降低控制系統(tǒng)的精度[1]。為此，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始摩擦系統(tǒng)的建模和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面的研究。在建模方面，人們建立了一系列的摩擦模型，如庫(kù)侖摩擦模型[2]、Stribeck摩擦模型[3]、Karnopp摩擦模型[4]、Dahl摩擦模型[5]以及LuGre摩擦模型[6]。在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面，F(xiàn)eeny[7]用實(shí)驗(yàn)和仿真相對(duì)比的方法研究了含有干摩擦的振子的混沌行為。Gdaniec[8]等通過(guò)采用LuGre摩擦模型進(jìn)行單自由度的摩擦振子的研究，發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同的進(jìn)給速度和摩擦系數(shù)會(huì)有產(chǎn)生摩擦誘發(fā)振動(dòng)的分岔和混沌現(xiàn)象，而且大部分的運(yùn)動(dòng)都為混沌運(yùn)動(dòng)。Madeleine[9]研究了一個(gè)兩自由度的質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)在受到間歇加載時(shí)的摩擦激振現(xiàn)象。

雖然考慮摩擦的機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究已經(jīng)有很長(zhǎng)的歷史，但是摩擦自激振動(dòng)等非光滑動(dòng)力學(xué)機(jī)理還未被深入研究，關(guān)于自激振動(dòng)的理論研究缺乏系統(tǒng)性，沒(méi)有得出一定的具有系統(tǒng)性的規(guī)律。而高速列車(chē)的減振[10]、飛機(jī)機(jī)翼的顫振[11]、高速切削的振動(dòng)問(wèn)題[12]以及汽輪發(fā)電機(jī)組的油膜振動(dòng)[13]都與自激振動(dòng)有關(guān)。自激振動(dòng)往往帶來(lái)危害，人們?cè)谄湟种坪涂刂品矫嬉苍谝恢碧剿鱗14]。文獻(xiàn)[15]中表明，對(duì)非自治自激振動(dòng)系統(tǒng)，可從約束分岔理論的角度得出其穩(wěn)態(tài)解分岔圖譜，這些結(jié)果對(duì)此類(lèi)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。正因?yàn)樽约ふ駝?dòng)在工程中廣泛存在，低能耗、高效的自激振動(dòng)控制器將有極大的工程應(yīng)用價(jià)值[16]。左曙光[17]研究了輪胎胎面的自激振動(dòng)現(xiàn)象，得出在一定參數(shù)條件下，只有當(dāng)車(chē)速在一定范圍內(nèi)時(shí)，輪胎胎面才能產(chǎn)生自激振動(dòng)，前束角對(duì)自激振動(dòng)的影響與車(chē)速類(lèi)似，兩者都有一個(gè)對(duì)應(yīng)于自激振動(dòng)的取值范圍。另外自激振動(dòng)的產(chǎn)生往往與系統(tǒng)中的Hopf分岔有關(guān)，因而自激振動(dòng)控制，還與非線性動(dòng)力學(xué)研究熱點(diǎn)問(wèn)題之一分岔的控制密切相關(guān)。因此，對(duì)摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究具有重要的理論和實(shí)際意義。

本文以典型的機(jī)床切削系統(tǒng)和進(jìn)給系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)機(jī)械系統(tǒng)中存在的摩擦引起的自激振動(dòng)現(xiàn)象的分岔特性進(jìn)行了深入的研究，并提出了可行的Washout濾波器控制方法，對(duì)于促進(jìn)摩擦動(dòng)力學(xué)的發(fā)展、研究和解決由于摩擦而產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題具有重要的價(jià)值。

1摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)模型建立

對(duì)重要的摩擦現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)建模，一直是慣有的一種研究方法。對(duì)于自激振動(dòng)機(jī)理，國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了一些典型的模型。但是這些模型所應(yīng)用的場(chǎng)合各不相同，雖然這些物理模型能夠解釋一些現(xiàn)象，但是它們還存在著缺點(diǎn)：

(1)不易構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，給爬行的數(shù)學(xué)分析帶來(lái)了困難；

(2)較難進(jìn)行數(shù)值仿真分析，動(dòng)態(tài)仿真較難實(shí)現(xiàn)；

(3)以往的研究?jī)H僅集中在實(shí)驗(yàn)方面，對(duì)進(jìn)給速度變化引起的研究比較多，而對(duì)其他參數(shù)的變化對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響研究較少；

(4)已經(jīng)完成的研究均假設(shè)系統(tǒng)法向載荷是不變的，而實(shí)際上摩擦副的表面粗糙度、表面波紋度等因素會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)件在垂直方向上下起伏，所以在坐標(biāo)系中的垂直方向上運(yùn)動(dòng)件是存在振動(dòng)的。

圖1　質(zhì)量-彈簧-帶自激振動(dòng)系統(tǒng)模型 Fig.1 Model of the friction self-excited vibration system of mass-spring-belt

因此，需要基于一個(gè)模型來(lái)深入研究。由于狀態(tài)參數(shù)的變化與系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼、摩擦因素和法向振動(dòng)有直接的關(guān)系，根據(jù)機(jī)床切削系統(tǒng)和進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)行的實(shí)際情況，電機(jī)經(jīng)聯(lián)軸器、絲杠螺母驅(qū)動(dòng)滑動(dòng)塊運(yùn)動(dòng)，可將聯(lián)軸器、絲杠螺母簡(jiǎn)化為剛度為k的彈簧和一個(gè)阻尼為c的等效阻尼，工作臺(tái)與導(dǎo)軌之間的的摩擦力為F。因此建立了如圖1所示的質(zhì)量-彈簧-帶自激振動(dòng)系統(tǒng)模型。此模型常用于分析機(jī)械進(jìn)給系統(tǒng)的粘滑運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量塊m位于以常速v0運(yùn)行的傳動(dòng)帶上，進(jìn)給系統(tǒng)固定端剛度為k的彈簧和阻尼系數(shù)為c的阻尼器連接，質(zhì)量塊和帶間的摩擦力F為質(zhì)量塊提供驅(qū)動(dòng)力。

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

將式(1)無(wú)量綱化，得到：

(2)

本文摩擦模型采用Stribeck摩擦模型，這個(gè)模型非常經(jīng)典，可以用來(lái)描述一般機(jī)械部件運(yùn)動(dòng)結(jié)合面之間的摩擦行為。該模型的表達(dá)式為：

(3)

式中，vm為對(duì)應(yīng)于最小動(dòng)摩擦的速度，μs，μm分別為靜動(dòng)摩擦系數(shù)，且μs≥μm。

由常微分方程理論可知，正規(guī)型高階微分方程可以化為等價(jià)的一階微分方程組。在此對(duì)微分方程進(jìn)行等價(jià)變換，令

(4)

則方程(3)代入方程(2)后，將所得到方程化為一階微分方程組：

(5)

2不同參數(shù)下摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的分岔數(shù)值仿真

Hopf分岔是指系統(tǒng)參數(shù)變化經(jīng)過(guò)臨界點(diǎn)時(shí)，平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定并從中生長(zhǎng)出極限環(huán)。它是一種比較重要的動(dòng)態(tài)分岔問(wèn)題，與工程中自激振動(dòng)的產(chǎn)生有著密切聯(lián)系。

系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定為：μs=0.4，μm=0.25，vm=0.5，分別以進(jìn)給速度、阻尼系數(shù)、傳動(dòng)剛度和靜動(dòng)摩擦系數(shù)比為分岔參數(shù)，得到如圖2～圖5的分岔圖。

(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X圖2 以進(jìn)給速度為分岔參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig.2Thesystembifurcationdiagramwithfeedspeedasthebifurcationparameter圖3 以阻尼系數(shù)為分岔參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig.3Thesystembifurcationdiagramwithdampingcoefficientasthebifurcationparameter

(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X圖4 以傳動(dòng)剛度為分岔參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig.4Thesystembifurcationdiagramwithtransmissionstiffnessasthebifurcationparameter圖5 以靜動(dòng)摩擦系數(shù)比為分岔參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig.5Thesystembifurcationdiagramwiththeratioofdynamic-staticfrictioncoefficientasthebifurcationparameter

由圖2可以看出，當(dāng)進(jìn)給速度達(dá)到0.494 4時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)超臨界Hopf分岔現(xiàn)象，平衡點(diǎn)由不穩(wěn)定焦點(diǎn)變成了穩(wěn)定焦點(diǎn)，極限環(huán)消失，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。分岔圖可以分為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)、單值曲線區(qū)兩部分，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)在進(jìn)給速度v0等于0～0.494 4之間，單值曲線區(qū)則在v0等于0.494 4～1之間。這表明當(dāng)v0達(dá)到臨界速度vb1時(shí)，由初始的自激振動(dòng)產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)；進(jìn)給速度較低時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)周期振動(dòng)，當(dāng)大到一定程度時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始趨向于穩(wěn)定。

同樣地，由圖3可以看出，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)在β等于0～0.2之間，單值曲線區(qū)則在β等于0.2～1之間，說(shuō)明準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)主要發(fā)生在小阻尼系數(shù)區(qū)域，當(dāng)阻尼系數(shù)大到一定程度時(shí)不穩(wěn)定狀態(tài)就會(huì)消除，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。由圖4得，剛度對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響并不是很大，僅僅會(huì)減小粘滯階段的比例，至于會(huì)不會(huì)消除和抑制自激振動(dòng)并沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)。由圖5得，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)在μm/μs等于0～0.9之間，單值曲線區(qū)則在μm/μs等于0.9～1之間，說(shuō)明當(dāng)動(dòng)靜摩擦系數(shù)差別較大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生自激振動(dòng)現(xiàn)象，而當(dāng)差別小到一定程度時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

3摩擦自激振動(dòng)的分岔控制

3.1Washout濾波器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

由圖6可以看出，當(dāng)速度大于等于0.49時(shí)，系統(tǒng)極限環(huán)的幅值突然減小，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；而小于0.49時(shí)，系統(tǒng)極限環(huán)幅值相對(duì)很大，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)處于穩(wěn)定狀態(tài)。因此系統(tǒng)在速度減小的過(guò)程中，極限環(huán)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，而平衡點(diǎn)則由不穩(wěn)定變成了穩(wěn)定狀態(tài)。由系統(tǒng)穩(wěn)定性分析得[18]，速度經(jīng)過(guò)0.49時(shí)發(fā)生了亞臨界Hopf分岔。因此，要想減小系統(tǒng)極限環(huán)的幅值，可在此處引入Washout濾波器進(jìn)行控制[19]。

圖6　不同進(jìn)給速度下的相圖 Fig.6 The phase diagram with different feed speed

當(dāng)摩擦力僅僅采用線性部分時(shí)，原摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)可以寫(xiě)成如下形式：

(6)

這里只對(duì)y實(shí)施Washout filter控制，控制系統(tǒng)可以寫(xiě)為：

(7)

將控制器設(shè)計(jì)為如下的形式：

u=g(v;K)=k1v+k2v3

(8)

式中，K=(k1,k2)為控制向量，k1為線性增益，k2為非線性增益。線性部分可以控制Hopf分岔的產(chǎn)生，立方項(xiàng)可以控制極限環(huán)的幅值，將方程(7)代入方程(6)得到：

系統(tǒng)的線性部分Jacobian矩陣為：

(10)

Jacobian矩陣的特征方程為：

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(11)

-3.6×0.49=-1.764<0

(12)

當(dāng)v0=0.49時(shí)，求解如下特征量：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(13)～式(19)得極限環(huán)的曲率系數(shù)[18]為：

(20)

當(dāng)k3<0.6時(shí)，σ1<0。由σ1<0和α′(0)<0可知，系統(tǒng)會(huì)在v=0.49處發(fā)生超臨界Hopf分岔，分岔方向?yàn)関<0.49的方向。

因此，在0.49處引入Washout濾波器之后，系統(tǒng)在0.49處系統(tǒng)性質(zhì)發(fā)生了變化，由亞臨界Hopf分岔控制為了超臨界Hopf分岔。

3.2分岔控制的數(shù)值仿真驗(yàn)證

引入Washout濾波器前，在失穩(wěn)臨界速度v0=0.49處，平衡點(diǎn)發(fā)生了超臨界Hopf分岔，而由第2節(jié)進(jìn)給速度的分岔圖可以看出，在進(jìn)給速度減小到大約等于v0=0.49處，質(zhì)量塊位移幅值發(fā)生了顯著的變化，其值突然增大，這時(shí)候發(fā)生了亞臨界分岔。

而引入Washout濾波器后，在帶速度為0.49處系統(tǒng)的平衡點(diǎn)仍然發(fā)生超臨界Hopf分岔，因在速度超過(guò)0.49時(shí)系統(tǒng)平衡點(diǎn)開(kāi)始穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定；而在v0=0.49時(shí)，系統(tǒng)位移幅值減小了，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)亞臨界分岔現(xiàn)象已得到控制。

取分岔前的帶速度v0=0.4，得到在不同的k1和k2時(shí)，引入Washout濾波器后系統(tǒng)的相圖，如圖7所示。

圖7　不同參數(shù)下受控系統(tǒng)的相圖 Fig.7 The phase diagram with different parameters

由圖7可以看出，調(diào)整控制器的參數(shù)，能夠達(dá)到改變極限環(huán)的幅值的目的，也可以使得系統(tǒng)的極限環(huán)消失，并且在原有的Hopf分岔處不再存在Hopf分岔，因此通過(guò)調(diào)整參數(shù)能夠控制這一類(lèi)的自治系統(tǒng)的Hopf分岔。這也說(shuō)明了本文在原系統(tǒng)中加入Washout濾波器設(shè)計(jì)的非線性控制器對(duì)摩擦系統(tǒng)進(jìn)行分岔控制是可行的。

4結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)機(jī)床切削系統(tǒng)和進(jìn)給系統(tǒng)等摩擦振動(dòng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行分析，建立了含有Stribeck摩擦模型的質(zhì)量-彈簧-帶自激振動(dòng)系統(tǒng)模型。并且分別以進(jìn)給速度、阻尼系數(shù)、傳動(dòng)剛度和動(dòng)靜摩擦系數(shù)比為分岔參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了分岔與混沌分析。仿真結(jié)果表明，進(jìn)給速度、阻尼系數(shù)和動(dòng)靜摩擦系數(shù)比均是影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的主要因素；進(jìn)給速度較低時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)周期振動(dòng)，當(dāng)進(jìn)給速度達(dá)到0.494 4時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)超臨界Hopf分岔現(xiàn)象；阻尼系數(shù)和動(dòng)靜摩擦系數(shù)比變化時(shí)系統(tǒng)也有類(lèi)似的特性。

對(duì)比引入Washout濾波器前后系統(tǒng)的相圖，得到Washout濾波器方法使系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)由原來(lái)的亞臨界Hopf分岔變成了超臨界Hopf分岔，而且自激振動(dòng)振幅明顯減小，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到了明顯的改善。因此，通過(guò)在原系統(tǒng)中加入Washout濾波器設(shè)計(jì)的非線性控制器對(duì)摩擦系統(tǒng)進(jìn)行分岔控制是一種比較有效的方法，這為實(shí)際生產(chǎn)中自激振動(dòng)的控制提供了參考。

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第一作者夏東超男，碩士生，1990年生

通信作者李萬(wàn)莉女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1965年生

第一作者朱會(huì)杰男，博士生，1987年1月生

通信作者王新晴男，博士，教授，1963年7月生