一類冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及極限公式的推導(dǎo)

劉家保1，余國鋒2，朱家明3

( 1.安徽新華學(xué)院公共課程部，安徽合肥230088；2.安徽工商職業(yè)學(xué)院教務(wù)處，安徽 合肥231131；

3．安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030)

[摘要]通過對(duì)一般冪值函數(shù)y=u(x)v(x),(u(x)>0)的求導(dǎo),推導(dǎo)出更復(fù)雜的冪指函數(shù)y=f(x)u(x)v(x),(f(x),u(x)>0)的求導(dǎo)公式與極限運(yùn)算，得出了極限運(yùn)算定理，并通過實(shí)例驗(yàn)證其正確性.

[關(guān)鍵詞]冪指函數(shù)；導(dǎo)數(shù)公式；極限[收稿日期]2015-08-05

[基金項(xiàng)目]安徽省重點(diǎn)自然科學(xué)

[作者簡介]劉家保(1982-)，男，安徽六安人，安徽新華學(xué)院公共課程部副教授，博士，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與圖論的研究.

[中圖分類號(hào)]O171 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

0引言

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)為區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)，其中f(x)>0,x∈D稱形如y=f(x)g(x)的函數(shù)為定義在D上的冪指函數(shù).冪指函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，對(duì)于冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極限的求法，有很多相關(guān)的研究成果[1-8].對(duì)于更復(fù)雜的冪指函數(shù)y=f(x)u(x)v(x),(f(x),u(x)>0)在經(jīng)濟(jì)管理中也經(jīng)常出現(xiàn)，但對(duì)于這類冪指函數(shù)的求導(dǎo)和求極限運(yùn)算一直是個(gè)難點(diǎn)，故本文總結(jié)了復(fù)雜冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，并給出了冪指函數(shù)各種類型未定式的極限求法.

1冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法

1.1求冪指函數(shù)y=f(x)u(x)v(x),(f(x),u(x)>0)的導(dǎo)數(shù)

方法2：對(duì)y=f(x)u(x)v(x),(f(x),u(x)>0)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即Iny=u(x)v(x)Inf(x),然后兩邊同時(shí)再取對(duì)數(shù)，即In(Iny)=v(x)Inu(x)+In(Inf(x)),兩邊同時(shí)再關(guān)于求導(dǎo)，即可得：

例1：設(shè)y=xxx,求y'.

兩邊同乘以，可得y'=xxx[xxInx(Inx+1)+xx-1].

方法2：公式法：公式中f(x)=u(x)=v(x)=x,代入上式可得y'=xxx[xxInx(Inx+1)+xx-1].

2冪指函數(shù)的極限求法

3小結(jié)

冪指函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，它在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到.因此，更進(jìn)一步地了解和掌握冪指函數(shù)的各種性質(zhì)，對(duì)解決一些實(shí)際問題非常重要.

參考文獻(xiàn)

[1] 陳傳璋, 金福臨.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京:高等教育出版社,1983:81-93.

[2] 張勇軍.一類冪指函數(shù)求導(dǎo)公式的推導(dǎo)[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào),2012,2(1):18-20.

[3] 蔡俊亮等.一類冪指函數(shù)列的分析性質(zhì)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,4(2):10-12.

[4] 程裕強(qiáng).關(guān)于型冪指函數(shù)極限的快捷方法[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,2(1):19-21.

[5] 韓新社.高等數(shù)學(xué)[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2006:1-24.

[6] 鄒國輝.一類冪指函數(shù)問題的探討——以冪指函數(shù)y=xx為例[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)，2012,(1):121-122.

[7] 張喜善，周雪艷.冪指函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)的求法[J].山西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，4(35):169-172.

[8] 王建莉.關(guān)于冪指函數(shù)的研究[J].黑龍江科技信息,2014,28:140-144.

[責(zé)任編輯：房永磊]

Derivation of Power Exponential Function Derivate and Limit Formula

LIU Jia-bao1，YU Guo-feng2，ZHU Jia-ming3

(1. Department of Public Courses，Anhui Xinhua University，Hefei 230088，China；2. Academic Affairs

Office，Anhui Business Vocational College，Hefei 231131，China；3. Institute of statistics and applied

mathematics.Anhui university of finance and economics, Bengbu , 233030，China)

Abstract：Based on the derivation methods of general power exponent function and the derivation of y=u(x)v(x),(u(x)>0),the correct derivation method and limit formula for y=f(x)u(x)v(x),(f(x),u(x)>0)were obtained.

Key words：power exponential function，derivative formula，limit